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Analysis » Maßtheorie » Messbarkeit einer Abbildung mit Hausdorff-Maß
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Universität/Hochschule Messbarkeit einer Abbildung mit Hausdorff-Maß
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  Themenstart: 2022-04-03

Hi! Ich habe gegeben: $A\subset \mathbb{R}^n$ offen. Ich stelle mir gerade die Frage, ob folgende Abbildung messbar ist: $t\mapsto\mathcal{H}^{n-1}\{A \cap \partial\{x:u(x)>t \}\}$ (**), für $t\in\mathbb{R},\,$wobei $u\in L^1(A)$ und $\mathcal{H}^{n-1}$ das übliche $(n-1)$-dimensionale Hausdorff-Maß. Zunächst mal ohne genau Begründung hatte ich mir überlegt (mit einer Skizze erstmal nur), dass folgendes gelten sollte: $\partial\{x:u(x)>t \} = \{x:u(x)=t \} = u^{-1}(t)$. Da $u\in L^1(A)$ gilt, ist $u$ insbesondere messbar. Ich hatte es dann klassisch damit probiert, dass ich mir das Urbild eines Erzeugers der Borel'schen Sigma-Algebra (beispielsweise $(-\infty,a]$ bzw. in dem Fall $[0,a]$ für $a \in\mathbb{R}$ beliebig) unter der Abbildung (**) betrachte und die Messbarkeit von $u$ verwende, jedoch finde ich das Hausdorff-Maß da irgendwie unangenehm mit umzugehen. Ist das eine Trivialität oder doch etwas schwieriger als es den Anschein macht? Danke schon mal und schönen Abend!

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