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Ingenieurwesen » Signale und Systeme » Approximation id. TP durch kausale LTI-Systeme
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Universität/Hochschule Approximation id. TP durch kausale LTI-Systeme
Sinnfrei
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Folgendes ist im Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke gegeben $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t) \cdot \operatorname{rect}\left({t\over 2 t_0}\right)\right] \star \delta(t-t_0) \qquad(1)$$ Die Übertragungsfunktion ergibt sich durch die Fourier-Transformation zu $$H_k(f) = \left[\operatorname{rect}({f\over 2 f_g})\star 2 t_0\operatorname{si}(2\pi t_0 f)\right]\cdot e^{-j 2 \pi t_0 f} \qquad(2)$$ Jetzt steht dazu folgendes Es zeigt sich, dass die eigentlich gewünschte Übertragungsfunktion $\operatorname{rect}[f/2 f_g]$ mit einer si-Funktion gefaltet wird. Spaltet man die Rechteckfunktion in zwei Sprungfunktionen auf, dann zeigt sich, dass $H_k(f)$ aus der Überlagerung zweier im Frequenzbereich bei $\pm f_g$ in ungerader Symmetrie angeordneter Si-Funktionen besteht. Frage: Ich komme noch auf die Abspaltung in Sprungfunktionen $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t) \cdot [\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2 t_0)]\right] \star \delta(t-t_0) \qquad(3)$$ aber wie man dabei auf den Integralsinus kommt weiss ich nicht. Beim Betrags- und Phasengang weiss ich nicht wie man dabei auf folgende Darstellung zusammen mit dem Dämpfungsmaß kommt. Ich denke das sich der Verlauf des Betrags anhand der Überlagerung mit $Si$-Funktionen ergibt aber wie ergibt sich der Verlauf des Dämpfungsmaßes? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_BetragsPhasengangD_mpfungsma_.png Rechts ist das Dämpfungsmaß sowie links der Betrags- und Phasengang eingezeichnet.


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rlk
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-11

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Frage: Ich komme noch auf die Abspaltung in Sprungfunktionen $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t) \cdot [\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2 t_0)]\right] \star \delta(t-t_0)$$ aber wie man dabei auf den Integralsinus kommt weiss ich nicht. \quoteoff warum ist aus der Faltung mit $\operatorname{rect}$ ein Produkt geworden und woher kommt die Delta-Funktion? \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Beim Betrags- und Phasengang weiss ich nicht wie man dabei auf folgende Darstellung zusammen mit dem Dämpfungsmaß kommt. Ich denke das sich der Verlauf des Betrags anhand der Überlagerung mit $Si$-Funktionen ergibt aber wie ergibt sich der Verlauf des Dämpfungsmaßes? \quoteoff Wie hängt das Dämpfungsmaß mit dem Betrag der Übertragungsfunktion zusammen? Servus, Roland


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Sinnfrei
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-12

\quoteon(2022-04-11 15:37 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Frage: Ich komme noch auf die Abspaltung in Sprungfunktionen $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t) \cdot [\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2 t_0)]\right] \star \delta(t-t_0)$$ aber wie man dabei auf den Integralsinus kommt weiss ich nicht. \quoteoff warum ist aus der Faltung mit $\operatorname{rect}$ ein Produkt geworden und woher kommt die Delta-Funktion? \quoteoff Man hätte auch schreiben können $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g (t-t_0)\cdot \operatorname{rect}\left({t-t_0 \over 2 t_0}\right)\right]$$ Die Impulsantwort, die zeitabhängig ist, hat als Vorfaktor wie im \quoteonThemenstart geschrieben ja auch die Multiplikation vor dem $\operatorname{rect}$\quoteoff $\delta(t-t_0)$ sollte die zeitliche Verschiebung vom id.-TP im Spektralbereich- sowie im Zeitbereich angeben - Ist etwas schwierig das ganze ohne Fehler und sauber zu schreiben, hoffe jedoch das ich das irgendwie nachvollziehbar rüberbringen kann. Beide, sowohl id.-TP im Frequenzbereich, als auch Impulsantwort $\operatorname{si}$-Funktion im Zeitbereich, werden um $t_0$ nach rechts verschoben, damit es annähernd ein kausales System ergibt - Also laut Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke, wie im folgenden Bild dargestellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_kausales_System.png Warum mit $\delta$ gefaltet wurde verstehe ich an der Stelle auch nicht, da ja bereits eine Impulsantwort $h_k(t)$ angegeben wird. Ich hätte hier vielleicht noch gesagt, dass $\delta(t - t_0)$ die Impulsantwort eines Systems wäre aber kann man denn Impulsantworten schachteln, so dass in einer Impulsantwort mit einer Impulsantwort eines Systems gerechnet wurde? Ich denke, dass die $\delta$ Distribution hier nur zur Übersicht dient, damit man hier die Phasenverschiebung nach Fourier Transformation, für den Phasengang direkt ablesen kann. Sicher bin ich mir hierbei jedoch nicht. \quoteon(2022-04-11 15:37 - rlk in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Beim Betrags- und Phasengang weiss ich nicht wie man dabei auf folgende Darstellung zusammen mit dem Dämpfungsmaß kommt. Ich denke das sich der Verlauf des Betrags anhand der Überlagerung mit $Si$-Funktionen ergibt aber wie ergibt sich der Verlauf des Dämpfungsmaßes? \quoteoff Wie hängt das Dämpfungsmaß mit dem Betrag der Übertragungsfunktion zusammen? \quoteoff \quoteoff Das Dämpfungsmaß ist ja wie folgt definiert $$a(f) = -20dB \lg|H(f)|$$ Hier wäre es dann $$a(f) = -20dB \lg|H_k(f)| = -20dB \lg\left|\left[\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right) \star 2 t_0\operatorname{si}(2\pi t_0 f)\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ Ich wüsste jetzt aber auch nicht wie ich die Faltung berechnen könnte. Mann kann die $\operatorname{si}$-Funktion mit der $\operatorname{rect}$ Funktion falten, dann würde man ja nur den $\operatorname{rect}$ spiegeln und nach rechts verschieben. Die $\operatorname{si}$-Funktion ist ja an keiner Stelle $0$ und nur an der Stelle für $f=0$ wäre die maximale Überlappung. Gibt es da einen Trick, wie man die Faltung vereinfachen kann?


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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-14

Hallo Sinnfrei, es geht um die Berechnung der Übertragungsfunktion (2). Ist Dir klar, wie man diese aus der Impulsantwort (1) bestimmt? \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-04-11 15:37 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Frage: Ich komme noch auf die Abspaltung in Sprungfunktionen $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t) \cdot [\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2 t_0)]\right] \star \delta(t-t_0)$$ aber wie man dabei auf den Integralsinus kommt weiss ich nicht. \quoteoff warum ist aus der Faltung mit $\operatorname{rect}$ ein Produkt geworden und woher kommt die Delta-Funktion? \quoteoff \quoteoff Hier habe ich leider übersehen, dass Du wieder zur Impulsantwort zurückgekehrt bist. Die Umformung ist zwar richtig, hilft aber nicht, die Übertragungsfunktion zu vereinfachen. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Man hätte auch schreiben können $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g (t-t_0)\color{red}{)}\cdot \operatorname{rect}\left({t-t_0 \over 2 t_0}\right)\right] \qquad(4)$$ \quoteoff Diese Darstellung finde ich besser als (1), weil sofort zu sehen ist, dass das Produkt aus $\operatorname{si}$-Funktion und dem Rechteckfenster um $t_0$ verzögert wurde. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Die Impulsantwort, die zeitabhängig ist, hat als Vorfaktor wie im Themenstart geschrieben ja auch die Multiplikation vor dem $\operatorname{rect}$ $\delta(t-t_0)$ sollte die zeitliche Verschiebung vom id.-TP im Spektralbereich- sowie im Zeitbereich angeben - Ist etwas schwierig das ganze ohne Fehler und sauber zu schreiben, hoffe jedoch das ich das irgendwie nachvollziehbar rüberbringen kann. \quoteoff Die Faltung mit $\delta(t-t_0)$ verschiebt die Impulsantwort im Zeitbereich. Im Frequenzbereich entspricht dieser Faltung eine Multiplikation mit der Fouriertransformierten $$\mathcal{F}\delta(t-t_0)=\exp(-j2\pi t_0 f)$$ also keiner Verschiebung. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Beide, sowohl id.-TP im Frequenzbereich, als auch Impulsantwort $\operatorname{si}$-Funktion im Zeitbereich, werden um $t_0$ nach rechts verschoben, damit es annähernd ein kausales System ergibt. \quoteoff Das System ist nicht annähernd, sondern exakt kausal, wie auch an dem Bild zu erkennen ist: die Impulsantwort hat für $t<0$ den Wert 0. Dass es sich bei dem so konstruierten Filter um eine Näherung handelt, liegt daran, dass Teile der ursprünglichen Impulsantwort durch die Multiplikation mit dem Rechteckfenster entfernt wurden. In der Aufgabe geht es darum, die Abweichungen zwischen der Übertragungsfunktion der Näherung von jener des idealen Filters zu untersuchen. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Also laut Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke, wie im folgenden Bild dargestellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_kausales_System.png Warum mit $\delta$ gefaltet wurde verstehe ich an der Stelle auch nicht, da ja bereits eine Impulsantwort $h_k(t)$ angegeben wird. Ich hätte hier vielleicht noch gesagt, dass $\delta(t - t_0)$ die Impulsantwort eines Systems wäre aber kann man denn Impulsantworten schachteln, so dass in einer Impulsantwort mit einer Impulsantwort eines Systems gerechnet wurde? \quoteoff Das erste Argument verstehe ich nicht, die Impulsantwort $h_k(t)$ entsteht ja durch die Faltung mit $\delta(t - t_0)$. Auch Deine Frage wundert mich, weil Du doch oben erklärt hast, dass die Delta-Funktion die zeitliche Verschiebung der Impulsantwort angibt. Willst Du eigentlich wissen, warum man verschiebt? \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Ich denke, dass die $\delta$ Distribution hier nur zur Übersicht dient, damit man hier die Phasenverschiebung nach Fourier Transformation, für den Phasengang direkt ablesen kann. Sicher bin ich mir hierbei jedoch nicht. \quoteoff Ob die Darstellung mit $\delta$ übersichtlicher ist als (4), wo $t$ durch $t-t_0$ ersetzt wurde ist Ansichtssache. Zusammen mit dem Wissen, dass der Ideale Tiefpass eine relle Übertragungsfunktion hat kann man tatsächlich den linear frequenzabhängigen Phasengang des genäherten Filters bestimmen. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-04-11 15:37 - rlk in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Beim Betrags- und Phasengang weiss ich nicht wie man dabei auf folgende Darstellung zusammen mit dem Dämpfungsmaß kommt. Ich denke das sich der Verlauf des Betrags anhand der Überlagerung mit $Si$-Funktionen ergibt aber wie ergibt sich der Verlauf des Dämpfungsmaßes? \quoteoff Wie hängt das Dämpfungsmaß mit dem Betrag der Übertragungsfunktion zusammen? \quoteoff Das Dämpfungsmaß ist ja wie folgt definiert $$a(f) = -20dB \lg|H(f)|$$ Hier wäre es dann $$a(f) = -20dB \lg|H_k(f)| = -20dB \lg\left|\left[\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right) \star 2 t_0\operatorname{si}(2\pi t_0 f)\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ Ich wüsste jetzt aber auch nicht wie ich die Faltung berechnen könnte. Mann kann die $\operatorname{si}$-Funktion mit der $\operatorname{rect}$ Funktion falten, dann würde man ja nur den $\operatorname{rect}$ spiegeln und nach rechts verschieben. Die $\operatorname{si}$-Funktion ist ja an keiner Stelle $0$ und nur an der Stelle für $f=0$ wäre die maximale Überlappung. Gibt es da einen Trick, wie man die Faltung vereinfachen kann? \quoteoff Die Funktion $\operatorname{si}(x)$ hat Nullstellen bei $x=n\pi$ für $n\in \IZ\setminus 0$, aber was hat das mit der Berechnung der Faltung zu tun? Ein Vorschlag zur Berechnung steht ja schon im Buch: \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Es zeigt sich, dass die eigentlich gewünschte Übertragungsfunktion $\operatorname{rect}[f/2 f_g]$ mit einer si-Funktion gefaltet wird. Spaltet man die Rechteckfunktion in zwei Sprungfunktionen auf, dann zeigt sich, dass $H_k(f)$ aus der Überlagerung zweier im Frequenzbereich bei $\pm f_g$ in ungerader Symmetrie angeordneter Si-Funktionen besteht. \quoteoff Zerlege die Rechteckfunktion in der Übertragungsfunktion in eine Differenz von Sprungfunktionen. Faltungen mit Sprungfunktionen sind ja Integrale über den Frequenzbereich, in dem das Argument der Sprungfunktion positiv ist. Ich hoffe, das hilft Dir, Roland


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-15

\quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Hallo Sinnfrei, es geht um die Berechnung der Übertragungsfunktion (2). Ist Dir klar, wie man diese aus der Impulsantwort (1) bestimmt? \quoteoff Das ist mir bereits klar. Also das ist ja einfach nur die Fourier-Transformation der beiden Funktionen und da wir ja als Impulsantwort den $\operatorname{rect}$ sowie die $\operatorname{si}$-Funktion vorliegen haben, haben wir im Frequenzbereich erneut $\operatorname{rect}$ und $\operatorname{si}$ vorliegen. Es sieht so aus als hätten beide nur Ihre Plätze getauscht und aus dem $t$ wurde ein $f$ aber eigentlich wurde hier der Ähnlichkeitssatz angewandt. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) \quoteon(2022-04-11 15:37 - rlk in Beitrag No. 1) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Frage: Ich komme noch auf die Abspaltung in Sprungfunktionen $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t) \cdot [\varepsilon(t) - \varepsilon(t-2 t_0)]\right] \star \delta(t-t_0)$$ aber wie man dabei auf den Integralsinus kommt weiss ich nicht. \quoteoff warum ist aus der Faltung mit $\operatorname{rect}$ ein Produkt geworden und woher kommt die Delta-Funktion? \quoteoff \quoteoff \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Hier habe ich leider übersehen, dass Du wieder zur Impulsantwort zurückgekehrt bist. Die Umformung ist zwar richtig, hilft aber nicht, die Übertragungsfunktion zu vereinfachen. \quoteoff Ich hatte es so verstanden, dass man die $\operatorname{rect}$-Funktion bereits in der Impulsantwortfunktion $h_k(t)$ in die Sprungfunktionen aufteilen soll. Würde wahrscheinlich auch klappen aber so wäre es denke ich einfacher, wenn man die Aufteilung dann bei der Übertragungsfunktion $H_k(f)$ vornimmt. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Man hätte auch schreiben können $$h_k(t) = \left[2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g (t-t_0)\color{red}{)}\cdot \operatorname{rect}\left({t-t_0 \over 2 t_0}\right)\right] \qquad(4)$$ \quoteoff Diese Darstellung finde ich besser als (1), weil sofort zu sehen ist, dass das Produkt aus $\operatorname{si}$-Funktion und dem Rechteckfenster um $t_0$ verzögert wurde. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Die Impulsantwort, die zeitabhängig ist, hat als Vorfaktor wie im Themenstart geschrieben ja auch die Multiplikation vor dem $\operatorname{rect}$ $\delta(t-t_0)$ sollte die zeitliche Verschiebung vom id.-TP im Spektralbereich- sowie im Zeitbereich angeben - Ist etwas schwierig das ganze ohne Fehler und sauber zu schreiben, hoffe jedoch das ich das irgendwie nachvollziehbar rüberbringen kann. \quoteoff \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Die Faltung mit $\delta(t-t_0)$ verschiebt die Impulsantwort im Zeitbereich. Im Frequenzbereich entspricht dieser Faltung eine Multiplikation mit der Fouriertransformierten $$\mathcal{F}\delta(t-t_0)=\exp(-j2\pi t_0 f)$$ also keiner Verschiebung. \quoteoff Ja genau. Also zeitliche Verschiebung mit Faltung $\delta$ wird im Spektralbereich eine Phasenverschiebung. So hatte ich es eigentlich auch verstanden nur das selber wiedergeben ist manchmal so eine Sache. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Also laut Buch Signalübertragung von Ohm/Lüke, wie im folgenden Bild dargestellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_kausales_System.png Warum mit $\delta$ gefaltet wurde verstehe ich an der Stelle auch nicht, da ja bereits eine Impulsantwort $h_k(t)$ angegeben wird. Ich hätte hier vielleicht noch gesagt, dass $\delta(t - t_0)$ die Impulsantwort eines Systems wäre aber kann man denn Impulsantworten schachteln, so dass in einer Impulsantwort mit einer Impulsantwort eines Systems gerechnet wurde? \quoteoff \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Das erste Argument verstehe ich nicht, die Impulsantwort $h_k(t)$ entsteht ja durch die Faltung mit $\delta(t - t_0)$. Auch Deine Frage wundert mich, weil Du doch oben erklärt hast, dass die Delta-Funktion die zeitliche Verschiebung der Impulsantwort angibt. Willst Du eigentlich wissen, warum man verschiebt? \quoteoff Zum ersten Satz: Könnte man denn nicht auch einfach die Faltung weglassen und so wie ich oben geschrieben habe, die Verschiebung in die beiden Funktionen $\operatorname{rect}$ und $\operatorname{si}$ einsetzen, um dann damit die Übertragungsfunktion zu bestimmen. Also ganz ohne Faltung mit $\delta$? Zur Frage im letzten Satz: Mich verwirrt die Bezeichnung. Ich könnte also nicht ohne die Faltung mit $\delta$ sagen, dass das ganze eine Impulsantwortfunktion $h_k(t)$ ist? Es liest sich zumindest so. Das Ergebnis der Faltung ist ja wieder die Darstellung mit $2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g (t-t_0)) \cdot \operatorname{rect}({t-t_0 \over 2 t_0})$ Warum macht man denn hier die Faltung mit $\delta$? Um das ganze Systemtheoretisch festzuhalten? Dann wäre doch $\delta(t - t_0)$ auch eine Impulsantwortfunktion $h(t)$ eines Systems oder? \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Es zeigt sich, dass die eigentlich gewünschte Übertragungsfunktion $\operatorname{rect}[f/2 f_g]$ mit einer si-Funktion gefaltet wird. Spaltet man die Rechteckfunktion in zwei Sprungfunktionen auf, dann zeigt sich, dass $H_k(f)$ aus der Überlagerung zweier im Frequenzbereich bei $\pm f_g$ in ungerader Symmetrie angeordneter Si-Funktionen besteht. \quoteoff Zerlege die Rechteckfunktion in der Übertragungsfunktion in eine Differenz von Sprungfunktionen. Faltungen mit Sprungfunktionen sind ja Integrale über den Frequenzbereich, in dem das Argument der Sprungfunktion positiv ist. \quoteoff Ich bin da jetzt wie folgt vorgegangen $$H_k(f) = \left[\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right)\star 2 t_0 \operatorname{2\pi t_0 f}\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\quad(1)$$ $$= [(\varepsilon(f) - \varepsilon(f-2 f_g))\star 2 t_0 \operatorname{si}(2\pi t_0 f)]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\quad(2)$$ Anwendung des Kommutativgesetzes der Faltung $$= [2 t_0 \operatorname{si}(2\pi t_0 f)\star \varepsilon(f) - 2 t_0 \operatorname{si}(2\pi t_0 f)\star \varepsilon(f-2 f_g)]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\quad(3)$$ Ab hier nur noch das was in den eckigen Klammern steht: $$2 t_0 \int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{si}(2\pi t_0 \tau)\varepsilon(f-\tau)d\tau - 2 t_0 \int_{-\infty}^{\infty}\operatorname{si}(2\pi t_0 \tau)\varepsilon(f-f_g-\tau)d\tau\quad(4)$$ Im ersten Integral muss, damit die Sprungfunktion $1$ ist $\tau \leq f$ sein und im zweiten Integral $\tau \leq f-f_g$ Dann sehen die Integrale wie folgt aus $$= 2 t_0 \int_{-\infty}^{f}\operatorname{si}(2\pi t_0 \tau)d\tau - 2 t_0 \int_{-\infty}^{f-f_g}\operatorname{si}(2\pi t_0 \tau)d\tau\quad(5)$$ Substitution: $x=2\pi t_0\tau$ $dx = 2\pi t_0 d\tau$ $$= {2 t_0 \over 2\pi t_0}\int_{-\infty}^{2\pi t_0 f}\operatorname{si}(x)dx - {2 t_0 \over 2 \pi t_0}\int_{-\infty}^{2\pi t_0 (f-f_g)}\operatorname{si}(x)dx\quad(6)$$ $$= {1\over \pi}\left[\int_{-\infty}^{0}\operatorname{si}(x)dx + \int_{0}^{2\pi t_0 f}\operatorname{si}(x)dx\right] - {1\over\pi}\left[\int_{-\infty}^{0}\operatorname{si}(x)dx + \int_{0}^{2\pi t_0(f-f_g)}\operatorname{si}(x)dx\right]\quad(7)$$ $$= {1\over\pi}\left[-\operatorname{Si}(\infty) + \operatorname{Si}(2\pi t_0 f)\right] - {1\over\pi}\left[-\operatorname{Si}(\infty) + \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right]\quad(8)$$ $$H_k(f)= {1\over\pi}\left[\operatorname{Si}(2\pi t_0 f) - \operatorname{Si}(2\pi t_0(f-f_g))\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\quad(9)$$ Müsste hier nicht irgendwie was mit $\operatorname{Si}(f+f_g)$ und $\operatorname{Si}(f-f_g)$ stehen? Oder wie ist das mit der Überlagerung zweier im Frequenzbereich bei $\pm f_g$ in ungerader Symmetrie angeordneter Si-Funktionen gemeint?


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rlk
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-17

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-15 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Hallo Sinnfrei, es geht um die Berechnung der Übertragungsfunktion (2). Ist Dir klar, wie man diese aus der Impulsantwort (1) bestimmt? \quoteoff Das ist mir bereits klar. Also das ist ja einfach nur die Fourier-Transformation der beiden Funktionen und da wir ja als Impulsantwort den $\operatorname{rect}$ sowie die $\operatorname{si}$-Funktion vorliegen haben, haben wir im Frequenzbereich erneut $\operatorname{rect}$ und $\operatorname{si}$ vorliegen. Es sieht so aus als hätten beide nur Ihre Plätze getauscht und aus dem $t$ wurde ein $f$ aber eigentlich wurde hier der Ähnlichkeitssatz angewandt. \quoteoff die Reihenfolge der Faktoren spielt keine Rolle, weil Multiplikation und Faltung kommutativ sind. \quoteon(2022-04-15 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Ich hatte es so verstanden, dass man die $\operatorname{rect}$-Funktion bereits in der Impulsantwortfunktion $h_k(t)$ in die Sprungfunktionen aufteilen soll. Würde wahrscheinlich auch klappen aber so wäre es denke ich einfacher, wenn man die Aufteilung dann bei der Übertragungsfunktion $H_k(f)$ vornimmt. \quoteoff Es geht um die Vereinfachung der Übertragungsfunktion, die Ohm und Lüke bereits berechnet haben. Wenn Du die Impulsantwort umformst, musst Du selbst die Fouriertransformation berechnen. \quoteon(2022-04-15 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Die Faltung mit $\delta(t-t_0)$ verschiebt die Impulsantwort im Zeitbereich. Im Frequenzbereich entspricht dieser Faltung eine Multiplikation mit der Fouriertransformierten $$\mathcal{F}\delta(t-t_0)=\exp(-j2\pi t_0 f)$$ also keiner Verschiebung. \quoteoff Ja genau. Also zeitliche Verschiebung mit Faltung $\delta$ wird im Spektralbereich eine Phasenverschiebung. So hatte ich es eigentlich auch verstanden nur das selber wiedergeben ist manchmal so eine Sache. \quoteoff Einen Sachverhalt mit eigenen Worten zu beschreiben ist eine gute Kontrolle, wie gut man ihn verstanden hat. \quoteon(2022-04-12 21:44 - Sinnfrei in Beitrag No. 2) Warum mit $\delta$ gefaltet wurde verstehe ich an der Stelle auch nicht, da ja bereits eine Impulsantwort $h_k(t)$ angegeben wird. Ich hätte hier vielleicht noch gesagt, dass $\delta(t - t_0)$ die Impulsantwort eines Systems wäre aber kann man denn Impulsantworten schachteln, so dass in einer Impulsantwort mit einer Impulsantwort eines Systems gerechnet wurde? \quoteoff Du kannst $h_k(t)=h_a(t)\star\delta(t - t_0)=h_a(t-t_0)$ als die Impulsantwort der Kettenschaltung zweier Systeme mit den Impulsantworten $h_a(t)$ und $\delta(t - t_0)$ auffassen. Durch die Verzögerung um $t_0$ wird aus der akausalen Impulsantwort $h_a(t)=\operatorname{rect}(\frac{t}{2t_0})\cdot 2f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t)$ die kausale Impulsantwort $h_k(t)$. \quoteon(2022-04-15 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) Das erste Argument verstehe ich nicht, die Impulsantwort $h_k(t)$ entsteht ja durch die Faltung mit $\delta(t - t_0)$. Auch Deine Frage wundert mich, weil Du doch oben erklärt hast, dass die Delta-Funktion die zeitliche Verschiebung der Impulsantwort angibt. Willst Du eigentlich wissen, warum man verschiebt? \quoteoff Zum ersten Satz: Könnte man denn nicht auch einfach die Faltung weglassen und so wie ich oben geschrieben habe, die Verschiebung in die beiden Funktionen $\operatorname{rect}$ und $\operatorname{si}$ einsetzen, um dann damit die Übertragungsfunktion zu bestimmen. Also ganz ohne Faltung mit $\delta$? \quoteoff Man kann die Faltung ausrechnen und erhält dann eine andere Darstellung derselben Funktion. Wenn Du die Faltung weglässt, bleibt die akausale Impulsantwort $h_a(t)$, die keinem realisierbaren System entspricht. \quoteon(2022-04-15 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) Zur Frage im letzten Satz: Mich verwirrt die Bezeichnung. Ich könnte also nicht ohne die Faltung mit $\delta$ sagen, dass das ganze eine Impulsantwortfunktion $h_k(t)$ ist? Es liest sich zumindest so. Das Ergebnis der Faltung ist ja wieder die Darstellung mit $2 f_g\operatorname{si}(2\pi f_g (t-t_0)) \cdot \operatorname{rect}({t-t_0 \over 2 t_0})$ Warum macht man denn hier die Faltung mit $\delta$? Um das ganze Systemtheoretisch festzuhalten? Dann wäre doch $\delta(t - t_0)$ auch eine Impulsantwortfunktion $h(t)$ eines Systems oder? \quoteoff Welche Bezeichnung verwirrt Dich und warum? Die Funktion $h_k(t)$ ist die Impulsantwort des Systems, das wir hier untersuchen. Wie oben beschrieben, kann man sie als Faltung darstellen oder diese berechnen und eine Darstellung ohne $\delta$ erhalten. \quoteon(2022-04-15 03:34 - Sinnfrei in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-04-14 11:05 - rlk in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-04-11 12:22 - Sinnfrei im Themenstart) Es zeigt sich, dass die eigentlich gewünschte Übertragungsfunktion $\operatorname{rect}[f/2 f_g]$ mit einer si-Funktion gefaltet wird. Spaltet man die Rechteckfunktion in zwei Sprungfunktionen auf, dann zeigt sich, dass $H_k(f)$ aus der Überlagerung zweier im Frequenzbereich bei $\pm f_g$ in ungerader Symmetrie angeordneter Si-Funktionen besteht. \quoteoff Zerlege die Rechteckfunktion in der Übertragungsfunktion in eine Differenz von Sprungfunktionen. Faltungen mit Sprungfunktionen sind ja Integrale über den Frequenzbereich, in dem das Argument der Sprungfunktion positiv ist. \quoteoff Ich bin da jetzt wie folgt vorgegangen $$H_k(f) = \left[\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right)\star 2 t_0 \operatorname{2\pi t_0 f}\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\quad(1)$$ $$= [(\varepsilon(f) - \varepsilon(f-2 f_g))\star 2 t_0 \operatorname{si}(2\pi t_0 f)]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\quad(2)$$ \quoteoff Der Betrag der Übertragungsfunktion ist gerade, die Sprünge müssen daher bei $-f_g$ und $+f_g$ liegen: $$\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right)=\varepsilon(f+f_g)-\varepsilon(f-f_g).$$ Im nächsten Schritt meinst Du wohl das Distributivgesetz der Faltung. Den Rest der Rechnung habe ich nicht im Detail geprüft, aber er sieht plausibel aus. Mit den richtigen Positionen der Sprünge erhältst Du das gesuchte Ergebnis. Frohe Ostern, Roland


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\quoteon(2022-04-17 12:56 - rlk in Beitrag No. 5) Du kannst $h_k(t)=h_a(t)\star\delta(t - t_0)=h_a(t-t_0)$ als die Impulsantwort der Kettenschaltung zweier Systeme mit den Impulsantworten $h_a(t)$ und $\delta(t - t_0)$ auffassen. Durch die Verzögerung um $t_0$ wird aus der akausalen Impulsantwort $h_a(t)=\operatorname{rect}(\frac{t}{2t_0})\cdot 2f_g\operatorname{si}(2\pi f_g t)$ die kausale Impulsantwort $h_k(t)$. \quoteoff Wäre dann folgendes Bild richtig? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Kettenschaltung.png \quoteon(2022-04-17 12:56 - rlk in Beitrag No. 5) Welche Bezeichnung verwirrt Dich und warum? Die Funktion $h_k(t)$ ist die Impulsantwort des Systems, das wir hier untersuchen. Wie oben beschrieben, kann man sie als Faltung darstellen oder diese berechnen und eine Darstellung ohne $\delta$ erhalten. \quoteoff Wenn das oben als Kettenschaltung dargestellte System richtig ist, dann hat sich das geklärt. Ich habe da irgendwie Probleme mir vorzustellen wie das als System aussieht, wenn mehrere Impulsantworten gefaltet werden. Also warum ergibt $h_a(t)$ gefaltet mit $\delta(t-t_0)$ wieder eine Impulsantwortfunktion, in diesem Fall $h_k(t)$, wäre es hier nicht $g(t)$? Habe jetzt keine Stelle im Buch gefunden, wo aus mehreren gefalteten Impulsantworten, wieder eine Impulsantwort erhält. Ist damit vielleicht gemeint das $g(t) = h_k(t)$ ist, sprich das Ausgangssignal ist immer eine Impulsantwortfunktion? Vielleicht liegt da mein Problem, worin sich Impulsantwortfunktion und Ausgangssignal unterscheiden? \quoteon(2022-04-17 12:56 - rlk in Beitrag No. 5) Der Betrag der Übertragungsfunktion ist gerade, die Sprünge müssen daher bei $-f_g$ und $+f_g$ liegen: $$\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right)=\varepsilon(f+f_g)-\varepsilon(f-f_g).$$ Im nächsten Schritt meinst Du wohl das Distributivgesetz der Faltung. Den Rest der Rechnung habe ich nicht im Detail geprüft, aber er sieht plausibel aus. Mit den richtigen Positionen der Sprünge erhältst Du das gesuchte Ergebnis. \quoteoff Ahhh jo, stimmt! Hab mich dabei auf das Bild im Zeitbereich konzentriert, obwohl die Zerlegung in Sprungfunktionen im Frequenzbereich und mit der Phasenverschiebung passiert. Dann komme ich auf folgendes Ergebnis $$H_k(f) = {1\over \pi}\left[\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g))-\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}$$ Der Betragsgang der Übertragungsfunktion $H_k(f)$ wäre dann $$|H_k(f)| = \left|{1\over \pi}\right|\cdot \left|\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0(f-f_g))\right|\cdot \left|e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ Aber irgendwie passt das doch gar nicht, mit dem Bild des Betragsganges, da die maximal Werte oberhalb der $1$ sind und laut der Rechnung müssten die Amplitudenwerte mit dem Vorfaktor ${1\over \pi}$ unterhalb der $1$ liegen oder und wie war das nochmal mit dem Betrag einer Phasenverschiebung, kann ich das irgendwie in Real- und Imaginärteil aufschreiben? Dann wäre der Term $\left|e^{-j2\pi t_0 f}\right| = \left|\cos(2\pi t_0 f)- j\sin(2\pi t_0 f)\right| = \sqrt{\underbrace{\cos^2(2\pi t_0 f) + \sin^2(2\pi t_0 f)}_{=1}} = 1$ somit könnte man den Betrag der Phasenverschiebung für den Betragsgang weglassen und für den Betragsgang gilt dann $$|H_k(f)| = {1\over \pi}\cdot \left[\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f+f_g) - \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g)\right]$$ Und das Dämpfungsmaß wäre dann $$a(f) = -20dB\cdot \lg|H_k(f)| = -20dB\cdot \lg\left|{1\over \pi}\left[\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ $$a(f) = -20dB\cdot \left[\lg\left|{1\over \pi}\right| + \lg\left|\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right|+ \underbrace{\lg\underbrace{\left|e^{-j2\pi t_0 f}\right|}_{1}}_{0}\right]$$ $$= 20dB [\lg(\pi) -\lg(\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g))- \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g)))]$$ Hier verstehe ich auch noch nicht, wie man auf das Bild des Dämpfungsmaßes von Ohm/Lüke kommt. Wie geht man beim Zeichnen der Verläufe $|H_k(f)|$ und $a(f)$ vor? Viele Grüße und Frohe Ostern zurück


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Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Wäre dann folgendes Bild richtig? https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_Kettenschaltung.png \quoteoff ja, wobei die Bezeichnungen $s(t)$ und $g(t)$ redundant sind. \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-04-17 12:56 - rlk in Beitrag No. 5) Welche Bezeichnung verwirrt Dich und warum? Die Funktion $h_k(t)$ ist die Impulsantwort des Systems, das wir hier untersuchen. Wie oben beschrieben, kann man sie als Faltung darstellen oder diese berechnen und eine Darstellung ohne $\delta$ erhalten. \quoteoff Wenn das oben als Kettenschaltung dargestellte System richtig ist, dann hat sich das geklärt. Ich habe da irgendwie Probleme mir vorzustellen wie das als System aussieht, wenn mehrere Impulsantworten gefaltet werden. Also warum ergibt $h_a(t)$ gefaltet mit $\delta(t-t_0)$ wieder eine Impulsantwortfunktion, in diesem Fall $h_k(t)$, wäre es hier nicht $g(t)$? \quoteoff Wenn Du zwei Systeme mit den Impulsantworten $h_1$ und $h_2$ in Kette schaltest und das Eingangssignal $x$ anlegst, ergibt sich am Ausgang das Signal \[ y=x\star h_1 \star h_2. \] Für $x=\delta$ ergibt sich die Impulsantwort \[ h=\delta\star h_1 \star h_2 = h_1 \star h_2 \] der Kettenschaltung. \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Habe jetzt keine Stelle im Buch gefunden, wo aus mehreren gefalteten Impulsantworten, wieder eine Impulsantwort erhält. Ist damit vielleicht gemeint das $g(t) = h_k(t)$ ist, sprich das Ausgangssignal ist immer eine Impulsantwortfunktion? Vielleicht liegt da mein Problem, worin sich Impulsantwortfunktion und Ausgangssignal unterscheiden? \quoteoff Die Impulsantwort ist jenes Ausgangssignal, das Du erhältst, wenn Du am Eingang den Impuls $\delta(t)$ anlegst. Welche Vorstellung hast Du von der Impulsantwort? \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) \quoteon(2022-04-17 12:56 - rlk in Beitrag No. 5) Der Betrag der Übertragungsfunktion ist gerade, die Sprünge müssen daher bei $-f_g$ und $+f_g$ liegen: $$\operatorname{rect}\left({f\over 2 f_g}\right)=\varepsilon(f+f_g)-\varepsilon(f-f_g).$$ Im nächsten Schritt meinst Du wohl das Distributivgesetz der Faltung. Den Rest der Rechnung habe ich nicht im Detail geprüft, aber er sieht plausibel aus. Mit den richtigen Positionen der Sprünge erhältst Du das gesuchte Ergebnis. \quoteoff Ahhh jo, stimmt! Hab mich dabei auf das Bild im Zeitbereich konzentriert, obwohl die Zerlegung in Sprungfunktionen im Frequenzbereich und mit der Phasenverschiebung passiert. Dann komme ich auf folgendes Ergebnis $$H_k(f) = {1\over \pi}\left[\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g))-\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}$$ \quoteoff Wie habt ihr den Integralsinus $\operatorname{Si}(x)$ definiert? Welchen Wert haben die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty}\operatorname{Si}(x)$ und $\lim_{x\to \infty}\operatorname{Si}(x)$? \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Der Betragsgang der Übertragungsfunktion $H_k(f)$ wäre dann $$|H_k(f)| = \left|{1\over \pi}\right|\cdot \left|\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0(f-f_g))\right|\cdot \left|e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ Aber irgendwie passt das doch gar nicht, mit dem Bild des Betragsganges, da die maximal Werte oberhalb der $1$ sind und laut der Rechnung müssten die Amplitudenwerte mit dem Vorfaktor ${1\over \pi}$ unterhalb der $1$ liegen oder und wie war das nochmal mit dem Betrag einer Phasenverschiebung, kann ich das irgendwie in Real- und Imaginärteil aufschreiben? \quoteoff Für den Betrag musst Du auch die Werte von $\operatorname {Si}$ berücksichtigen, dabei spielen die oben erwähnten Grenzwerte eine Rolle. Der Faktor $\exp(-j2\pi t_0 f)$ ist eine Zahl auf dem Einheitskreis, ihr Betrag hat den Wert 1. Den Faktor musst Du von der Phasenverschiebung $\arg(H_k(f)) = -2\pi t_0 f$ unterscheiden. \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Dann wäre der Term $\left|e^{-j2\pi t_0 f}\right| = \left|\cos(2\pi t_0 f)- j\sin(2\pi t_0 f)\right| = \sqrt{\underbrace{\cos^2(2\pi t_0 f) + \sin^2(2\pi t_0 f)}_{=1}} = 1$ somit könnte man den Betrag der Phasenverschiebung für den Betragsgang weglassen und für den Betragsgang gilt dann $$|H_k(f)| = {1\over \pi}\cdot \left[\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f+f_g) - \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g)\right]$$ Und das Dämpfungsmaß wäre dann $$a(f) = -20dB\cdot \lg|H_k(f)| = -20dB\cdot \lg\left|{1\over \pi}\left[\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right]\cdot e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ $$a(f) = -20dB\cdot \left[\lg\left|{1\over \pi}\right| + \lg\left|\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g))\right|+ \underbrace{\lg\underbrace{\left|e^{-j2\pi t_0 f}\right|}_{1}}_{0}\right]$$ $$= 20dB [\lg(\pi) -\lg(\operatorname{Si}(2\pi t_0(f+f_g))- \operatorname{Si}(2\pi t_0 (f-f_g)))]$$ Hier verstehe ich auch noch nicht, wie man auf das Bild des Dämpfungsmaßes von Ohm/Lüke kommt. Wie geht man beim Zeichnen der Verläufe $|H_k(f)|$ und $a(f)$ vor? \quoteoff Du brauchst dazu die Werte der Funktion $\operatorname{Si}(x)$, ich nehme an, dass es im Buch zumindest eine Skizze des Graphen gibt. Im Durchlassbereich des Filters ist $|H_k(f)|\approx 1$, daher ist dort $a(f) \approx 0~\mathrm{dB}$. Im Sperrbereich hat $|H_k(f)|$ Nullstellen, an denen die Dämpfung gegen $\infty$ geht. Servus, Roland


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\quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Die Impulsantwort ist jenes Ausgangssignal, das Du erhältst, wenn Du am Eingang den Impuls $\delta(t)$ anlegst. Welche Vorstellung hast Du von der Impulsantwort? \quoteoff Im Buch Signalübertragung wird der Anschein geweckt, dass auch eine Sprungfunktion eine Impulsantwort sein kann, wie zum Beispiel bei einem Integrator. Dort wird die Impulsantwort eines LTI-Systems als die Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ interpretiert, was ich auch sehr verwirrend finde, da hierbei allgemein das Signal $s(t)$ als Eingangssignal betrachtet wird. Weiterhin wird dazu gesagt, dass durch das Kommutativgesetz, das Faltungsprodukt $s(t) \star \varepsilon(t)$ vertauscht werden kann, was ja auch verständlich ist. Der Text wiederrum verwirrt mich dann: "Die Antwort eines Systems mit Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$, die so genannte Sprungantwort, ergibt sich als laufendes Integral der Impulsantwort $s(t)$. Als Gegenstück zum Integrator, dessen Impulsantwort die Sprungfunktion ist, kann man auch ein LTI-System definieren, dessen Sprungantwort der Dirac-Impuls ist." Hier wird im ersten Satz gesagt, dass die Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$ ... Hier wird der Begriff Impulsantwort mehrdeutig/allgemein für die Sprungfunktion als Signal am Eingang verwendet und so wie du ja gesagt hast, ist die Impulsantwort ja die Antwort auf einen Dirac-Impuls, der am Eingang angelegt wurde. Demnach wäre zum Beispiel die Impulsantwort auf einen Exponential-Impuls ja wieder eine Impulsantwort, der hier dann irgendwie Exponential-Antwort oder so lauten würde. Im Buch von Carsten Roppel - Grundlagen der digitalen Kommunikationstechnik wird hier aber genau das wiedergegeben, was du bereits gesagt hast, also das die Impulsantwort eines Systems, die Antwort/Reaktion auf einen Dirac-Impuls $\delta(t)$ am Eingang darstellt. Vielleicht ist mein Problem, was ich derzeit noch habe etwas klarer geworden. \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Wie habt ihr den Integralsinus $\operatorname{Si}(x)$ definiert? Welchen Wert haben die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty}\operatorname{Si}(x)$ und $\lim_{x\to \infty}\operatorname{Si}(x)$? \quoteoff $$\lim \limits_{x\to\infty}\operatorname{Si}(x) = {\pi\over 2}$$ und $$\lim\limits_{x\to -\infty}\operatorname{Si}(x) = -{\pi\over 2}$$ \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Der Betragsgang der Übertragungsfunktion $H_k(f)$ wäre dann $$|H_k(f)| = \left|{1\over \pi}\right|\cdot \left|\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0(f-f_g))\right|\cdot \left|e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ Aber irgendwie passt das doch gar nicht, mit dem Bild des Betragsganges, da die maximal Werte oberhalb der $1$ sind und laut der Rechnung müssten die Amplitudenwerte mit dem Vorfaktor ${1\over \pi}$ unterhalb der $1$ liegen oder und wie war das nochmal mit dem Betrag einer Phasenverschiebung, kann ich das irgendwie in Real- und Imaginärteil aufschreiben? \quoteoff Für den Betrag musst Du auch die Werte von $\operatorname {Si}$ berücksichtigen, dabei spielen die oben erwähnten Grenzwerte eine Rolle. Der Faktor $\exp(-j2\pi t_0 f)$ ist eine Zahl auf dem Einheitskreis, ihr Betrag hat den Wert 1. Den Faktor musst Du von der Phasenverschiebung $\arg(H_k(f)) = -2\pi t_0 f$ unterscheiden. \quoteoff Aber inwiefern spielen denn beim Endergebnis, die Grenzwerte des $\operatorname{Si}$ noch eine Rolle? Bei der Umformung mit Sprungfunktionen und anschließender Integration, sind die Grenzwerte bereits mit eingeflossen und bei der jetzigen Überlagerung wäre das ja so ähnlich, wie wenn ich aus zwei Sprungfunktionen eine Rechteckfunktion bastle, die als feature noch ein paar Schwingungen und einen Anstieg hat, der monoton steigt. \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Im Durchlassbereich des Filters ist $|H_k(f)|\approx 1$, daher ist dort $a(f) \approx 0~\mathrm{dB}$. \quoteoff Das verstehe ich zum Teil. Warum geht dann die Dämpfung nicht auch ab $-f_g$ gegen unendlich, wenn doch $|H_k(f)|\approx 1$ zwischen $-f_g$ und $f_g$ symmetrisch ist? \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Im Sperrbereich hat $|H_k(f)|$ Nullstellen, an denen die Dämpfung gegen $\infty$ geht. \quoteoff Der Sperrbereich für $|H_k(f)|$ fängt doch erst bei $f \geq |f_g|$ an, dann müsste die Dämpfung doch auch symmetrisch sein oder?


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-04-21

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Die Impulsantwort ist jenes Ausgangssignal, das Du erhältst, wenn Du am Eingang den Impuls $\delta(t)$ anlegst. Welche Vorstellung hast Du von der Impulsantwort? \quoteoff Im Buch Signalübertragung wird der Anschein geweckt, dass auch eine Sprungfunktion eine Impulsantwort sein kann, wie zum Beispiel bei einem Integrator. Dort wird die Impulsantwort eines LTI-Systems als die Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ interpretiert, was ich auch sehr verwirrend finde, da hierbei allgemein das Signal $s(t)$ als Eingangssignal betrachtet wird. Weiterhin wird dazu gesagt, dass durch das Kommutativgesetz, das Faltungsprodukt $s(t) \star \varepsilon(t)$ vertauscht werden kann, was ja auch verständlich ist. Der Text wiederrum verwirrt mich dann: "Die Antwort eines Systems mit Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$, die so genannte Sprungantwort, ergibt sich als laufendes Integral der Impulsantwort $s(t)$. Als Gegenstück zum Integrator, dessen Impulsantwort die Sprungfunktion ist, kann man auch ein LTI-System definieren, dessen Sprungantwort der Dirac-Impuls ist." Hier wird im ersten Satz gesagt, dass die Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$ ... \quoteoff nein, das wird nicht gesagt. Vielleicht wird es klarer, wenn Du den grau markierten Satzteil weglässt? "Die Antwort eines Systems mit Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$, die so genannte Sprungantwort, ergibt sich als laufendes Integral der Impulsantwort $s(t)$." \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) Hier wird der Begriff Impulsantwort mehrdeutig/allgemein für die Sprungfunktion als Signal am Eingang verwendet und so wie du ja gesagt hast, ist die Impulsantwort ja die Antwort auf einen Dirac-Impuls, der am Eingang angelegt wurde. Demnach wäre zum Beispiel die Impulsantwort auf einen Exponential-Impuls ja wieder eine Impulsantwort, der hier dann irgendwie Exponential-Antwort oder so lauten würde. Im Buch von Carsten Roppel - Grundlagen der digitalen Kommunikationstechnik wird hier aber genau das wiedergegeben, was du bereits gesagt hast, also das die Impulsantwort eines Systems, die Antwort/Reaktion auf einen Dirac-Impuls $\delta(t)$ am Eingang darstellt. Vielleicht ist mein Problem, was ich derzeit noch habe etwas klarer geworden. \quoteoff Nein, die Impulsantwort ist immer die Antwort auf einen Diracimpuls, die Sprungantwort die Antwort auf einen Sprung. Man kann auch Antworten auf andere Eingangssignale definieren, aber das kommt nicht oft vor. Dass ein Integrator $y(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau) \, \dd \tau$ auf einen Diracimpuls $x(t)=\delta(t)$ mit der Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ reagiert, kannst Du leicht nachrechnen. \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Wie habt ihr den Integralsinus $\operatorname{Si}(x)$ definiert? Welchen Wert haben die Grenzwerte $\lim_{x\to-\infty}\operatorname{Si}(x)$ und $\lim_{x\to \infty}\operatorname{Si}(x)$? \quoteoff $$\lim \limits_{x\to\infty}\operatorname{Si}(x) = {\pi\over 2}$$ und $$\lim\limits_{x\to -\infty}\operatorname{Si}(x) = -{\pi\over 2}$$ \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-04-18 15:43 - Sinnfrei in Beitrag No. 6) Der Betragsgang der Übertragungsfunktion $H_k(f)$ wäre dann $$|H_k(f)| = \left|{1\over \pi}\right|\cdot \left|\operatorname{Si}(2\pi t_0 (f+f_g)) - \operatorname{Si}(2\pi t_0(f-f_g))\right|\cdot \left|e^{-j2\pi t_0 f}\right|$$ Aber irgendwie passt das doch gar nicht, mit dem Bild des Betragsganges, da die maximal Werte oberhalb der $1$ sind und laut der Rechnung müssten die Amplitudenwerte mit dem Vorfaktor ${1\over \pi}$ unterhalb der $1$ liegen oder und wie war das nochmal mit dem Betrag einer Phasenverschiebung, kann ich das irgendwie in Real- und Imaginärteil aufschreiben? \quoteoff Für den Betrag musst Du auch die Werte von $\operatorname {Si}$ berücksichtigen, dabei spielen die oben erwähnten Grenzwerte eine Rolle. Der Faktor $\exp(-j2\pi t_0 f)$ ist eine Zahl auf dem Einheitskreis, ihr Betrag hat den Wert 1. Den Faktor musst Du von der Phasenverschiebung $\arg(H_k(f)) = -2\pi t_0 f$ unterscheiden. \quoteoff Aber inwiefern spielen denn beim Endergebnis, die Grenzwerte des $\operatorname{Si}$ noch eine Rolle? Bei der Umformung mit Sprungfunktionen und anschließender Integration, sind die Grenzwerte bereits mit eingeflossen und bei der jetzigen Überlagerung wäre das ja so ähnlich, wie wenn ich aus zwei Sprungfunktionen eine Rechteckfunktion bastle, die als feature noch ein paar Schwingungen und einen Anstieg hat, der monoton steigt. \quoteoff Für $f \ll -f_g$ haben beide $\operatorname{Si}$-Terme Werte um $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz schwankt daher um den Wert 0. Bei $f=-f_g$ hat der erste Term den Wert 0, der zweite noch immer Werte um $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz ist daher ungefähr $\frac{\pi}{2}$, mit dem Faktor $\frac{1}{\pi}$ ergibt sich $|H_k(-f_g)|\approx 0.5$. Mit ähnlichen Überlegungen kannst Du die Werte $|H_k(f)|\approx 1$ im Durchlassbereich $-f_g < f < f_g$ und $|H_k(f_g)|\approx 0.5$ ermitteln. Für $f \gg f_g$ haben beide $\operatorname{Si}$-Terme Werte um $\frac{\pi}{2}$, die Differenz schwankt daher um den Wert 0. An den Nullstellen von $|H_k(f)|$ ist die Dämpfung unendlich, dazwischen nimmt sie kleinere Werte an. \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Im Durchlassbereich des Filters ist $|H_k(f)|\approx 1$, daher ist dort $a(f) \approx 0~\mathrm{dB}$. \quoteoff Das verstehe ich zum Teil. Warum geht dann die Dämpfung nicht auch ab $-f_g$ gegen unendlich, wenn doch $|H_k(f)|\approx 1$ zwischen $-f_g$ und $f_g$ symmetrisch ist? \quoteoff Der Betrag $|H_k(f)|$ ist eine gerade Funktion von $f$, daher sind auch Durchlass- und Sperrbereich symmetrisch zu $f=0$. \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Im Sperrbereich hat $|H_k(f)|$ Nullstellen, an denen die Dämpfung gegen $\infty$ geht. \quoteoff Der Sperrbereich für $|H_k(f)|$ fängt doch erst bei $f \geq |f_g|$ an, dann müsste die Dämpfung doch auch symmetrisch sein oder? \quoteoff Ja natürlich. Als Fouriertransformierte der rellwertigen Impulsantwort hat die Übertragungsfunktion eine gerade Funktion als Betrag. In dem Bild im Startbeitrag ist nur der Verlauf für $f>0$ eingezeichnet. Servus, Roland


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\quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Nein, die Impulsantwort ist immer die Antwort auf einen Diracimpuls, die Sprungantwort die Antwort auf einen Sprung. Man kann auch Antworten auf andere Eingangssignale definieren, aber das kommt nicht oft vor. Dass ein Integrator $y(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau) \, \dd \tau$ auf einen Diracimpuls $x(t)=\delta(t)$ mit der Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ reagiert, kannst Du leicht nachrechnen. \quoteoff Im Buch Signalübertragung wird das so definiert, wenn man $\varepsilon(t)$ mit $\delta(t)$ faltet, erhält man als Antwort des Systems, am Ausgang die Sprungfunktion oder was meinst du? Aus dem Integral an sich, würde ich jetzt nicht per se erkennen, dass das laufende Integral der Impulsantwort $x(t)$, die Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ ergibt. \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Mit ähnlichen Überlegungen kannst Du die Werte $|H_k(f)|\approx 1$ im Durchlassbereich $-f_g < f < f_g$ \quoteoff Den Teil verstehe ich noch nicht. Also zwischen $-f_g$ und $f_g$ muss es ja größer 1, bzw. $\approx\pi/2$ sein - laut Bild. \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) und $|H_k(f_g)|\approx 0.5$ ermitteln. Für $f \gg f_g$ haben beide $\operatorname{Si}$-Terme Werte um $\frac{\pi}{2}$, die Differenz schwankt daher um den Wert 0. \quoteoff Ich denke mal, dass es sich hier analog zu dem Fall $f \ll -f_g$ handelt oder? \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Ja natürlich. Als Fouriertransformierte der rellwertigen Impulsantwort hat die Übertragungsfunktion eine gerade Funktion als Betrag. In dem Bild im Startbeitrag ist nur der Verlauf für $f>0$ eingezeichnet. \quoteoff Achso, das konnte ich jetzt nicht aus dem Bild oder aus dem Text entnehmen. Es wird aber auch gar nicht erwähnt, dass der Verlauf der Dämpfung nur für $f > 0$ dargestellt wird.


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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-04-25

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Nein, die Impulsantwort ist immer die Antwort auf einen Diracimpuls, die Sprungantwort die Antwort auf einen Sprung. Man kann auch Antworten auf andere Eingangssignale definieren, aber das kommt nicht oft vor. Dass ein Integrator $y(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau) \, \dd \tau$ auf einen Diracimpuls $x(t)=\delta(t)$ mit der Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ reagiert, kannst Du leicht nachrechnen. \quoteoff Im Buch Signalübertragung wird das so definiert, wenn man $\varepsilon(t)$ mit $\delta(t)$ faltet, erhält man als Antwort des Systems, am Ausgang die Sprungfunktion oder was meinst du? Aus dem Integral an sich, würde ich jetzt nicht per se erkennen, dass das laufende Integral der Impulsantwort $x(t)$, die Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ ergibt. \quoteoff nein, ich wollte nocheinmal betonen, dass mit der Sprungantwort die Antwort eines Systems auf einen Sprung gemeint ist. Dass sich diese Sprungantwort aus der Faltung von Eingangssignals (hier die Sprungfunktion) mit der Impulsantwort ergibt, sollte nichts überraschendes sein, diesen Zusammenhang haben wir doch für andere Eingangssignale schon mehrfach verwendet. Hast Du versucht, das Ausgangssignal \[ s(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) \, \dd \tau \] zu berechnen? Dabei kommt die Siebeigenschaft der $\delta$-Funktion zur Anwendung, die wir in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257861 ausführlich diskutiert haben. Oder ist es etwas anderes, das Dir Verständnisschwierigkeiten bereitet? \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Mit ähnlichen Überlegungen kannst Du die Werte $|H_k(f)|\approx 1$ im Durchlassbereich $-f_g < f < f_g$ \quoteoff Den Teil verstehe ich noch nicht. Also zwischen $-f_g$ und $f_g$ muss es ja größer 1, bzw. $\approx\pi/2$ sein - laut Bild. \quoteoff Was genau meinst Du mit "es"? Der Betrag $|H_k(f)|$ der Übertragungsfunktion hat im Durchlassbereich des Filters $-f_g < f 1$ ist, aber auch solche, bei denen $|H_k(f)| < 1$ gilt. \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) und $|H_k(f_g)|\approx 0.5$ ermitteln. Für $f \gg f_g$ haben beide $\operatorname{Si}$-Terme Werte um $\frac{\pi}{2}$, die Differenz schwankt daher um den Wert 0. \quoteoff Ich denke mal, dass es sich hier analog zu dem Fall $f \ll -f_g$ handelt oder? \quoteoff Warum zweifelst Du daran? Was hält Dich davon ab, die einfachen Überlegungen nachzuvollziehen? \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Ja natürlich. Als Fouriertransformierte der rellwertigen Impulsantwort hat die Übertragungsfunktion eine gerade Funktion als Betrag. In dem Bild im Startbeitrag ist nur der Verlauf für $f>0$ eingezeichnet. \quoteoff Achso, das konnte ich jetzt nicht aus dem Bild oder aus dem Text entnehmen. Es wird aber auch gar nicht erwähnt, dass der Verlauf der Dämpfung nur für $f > 0$ dargestellt wird. \quoteoff Du siehst doch, dass die Kurve für die Dämpfung $a(f)$ bei $f=0$ beginnt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_BetragsPhasengangD_mpfungsma_.png Was denkst Du über das Verhalten der Funktion \[ a(f) = -20~\mathrm{dB} \log_{10}\left(|H_k(f)|\right) \] für $f<0$? Servus, Roland


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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-25

\quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Hast Du versucht, das Ausgangssignal \[ s(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) \, \dd \tau \] zu berechnen? Dabei kommt die Siebeigenschaft der $\delta$-Funktion zur Anwendung, die wir in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257861 ausführlich diskutiert haben. \quoteoff Also laut der Siebeigenschaft würde der Dirac an der Stelle $t = 0$ ausgewertet werden, da er sonst an jeder anderen Stelle ja $0$ ist. Wüsste jetzt aber auch nicht wie man hierbei die Siebeigenschaft anwendet, ohne die Definition anzuwenden, da die obere Intervallgrenze $t$ und nicht laut der Definition des Dirac-Impulses $\infty$, als obere Intervallgrenze hat, damit das Integral dafür als $1$ wird. Also laut den Intervallgrenzen, wäre die Sprungfunktion in dem Bereich zwischen $(-\infty, t]$ ja $1$. Daher kann man den im Integral weglassen. Schreibe ich das stattdessen hin für $s(t) = \delta(t)$ wie folgt $$s(t)\star\varepsilon(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)\varepsilon(t - \tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(\tau)\delta(t-\tau) = \varepsilon(t)$$ War das so gemeint? \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Oder ist es etwas anderes, das Dir Verständnisschwierigkeiten bereitet? \quoteoff Das Problem ist hier, dass in mehreren Literaturen vorkommt, dass bei allgemeinen Eingangssignalen $s(t)$ die Impulsantwort des Systems allgemein als $h(t)$ aufgefasst wird, wobei das Ausgangssignal dann die Art der Antwort auf ein Eingangssignal darstellt. Wenn man dabei das Eingangssignal kennt, kann man direkt sagen, wie die Antwort am Ausgang $g(t)$ oder $y(t)$ genannt wird. Die Impulsantwort hat dann für allgemeine Eingangssignale noch eine weitere Bedeutung, undzwar das es sich hierbei um die Impulsantwort $h(t)$ des Systems handelt und nicht um die Antwort am Ausgang des Systems $g(t)$. Bei einem Eingangssignal das offensichtlich der Dirac-Impuls ist, stellt das Ausgangssignal dann die Antwort auf einen Dirac-Impuls am Eingang, welches Impulsantwort genannt wird, dar. Allgemein stellt die Impulsantwort $h(t)$ aber der mittlere Teil eines LTI-Systems dar, wie im folgenden Bild dargestellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_LTI_Blockschaltbild.png \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Mit ähnlichen Überlegungen kannst Du die Werte $|H_k(f)|\approx 1$ im Durchlassbereich $-f_g < f < f_g$ \quoteoff Den Teil verstehe ich noch nicht. Also zwischen $-f_g$ und $f_g$ muss es ja größer 1, bzw. $\approx\pi/2$ sein - laut Bild. \quoteoff Was genau meinst Du mit "es"? Der Betrag $|H_k(f)|$ der Übertragungsfunktion hat im Durchlassbereich des Filters $-f_g < f 1$ ist, aber auch solche, bei denen $|H_k(f)| < 1$ gilt. \quoteoff Mit "es", ist ja offensichtlich der Betragsgang $|H_k(f)|$ gemeint. Zum nächsten Satz, stimmt das ja nur für die $\operatorname{Si}$ Terme im inneren Teil des Betrages. Der Vorfaktor ist aber hier ${1\over\pi}$ und die Werte müssten dann ja im Durchlassbereich kleiner sein als um $1$ herum, was das Bild ja laut der Rechnung nicht wiedergibt. Sie gibt ja im Durchlassbereich Werte um $1$ herum wieder aber was ist hier mit dem Vorfaktor ${1\over\pi}$. Der wurde dann ja nicht berücksichtigt. \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) Du siehst doch, dass die Kurve für die Dämpfung $a(f)$ bei $f=0$ beginnt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_BetragsPhasengangD_mpfungsma_.png Was denkst Du über das Verhalten der Funktion \[ a(f) = -20~\mathrm{dB} \log_{10}\left(|H_k(f)|\right) \] für $f<0$? \quoteoff Für $f < 0$ wäre der Verlauf der Dämpfung ja Achsen-symmetrisch zu $f>0$ oder auch einfach nur gespiegelt, so ähnlich wie ein, auf dem Kopf gedrehtes Rechteck, für $f$ aus $(-\infty,\infty)$. Ist es denn üblich, dass man die Dämpfung nur aus dem Bereich $f>0$ betrachtet oder ist das hier lediglich eine Ausnahme?


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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-04-26

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Hast Du versucht, das Ausgangssignal \[ s(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) \, \dd \tau \] zu berechnen? Dabei kommt die Siebeigenschaft der $\delta$-Funktion zur Anwendung, die wir in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257861 ausführlich diskutiert haben. \quoteoff Also laut der Siebeigenschaft würde der Dirac an der Stelle $t = 0$ ausgewertet werden, da er sonst an jeder anderen Stelle ja $0$ ist. Wüsste jetzt aber auch nicht wie man hierbei die Siebeigenschaft anwendet, ohne die Definition anzuwenden, da die obere Intervallgrenze $t$ und nicht laut der Definition des Dirac-Impulses $\infty$, als obere Intervallgrenze hat, damit das Integral dafür als $1$ wird. \quoteoff Leider kehrst Du wieder zu der speziellen Form der Siebeigenschaft zurück, bei der von $-\infty$ bis $\infty$ integriert wird. Ich meinte die allgemeine Form \quoteon(2022-03-10 20:13 - rlk in Beitrag No. 3) Es geht darum, dass $\delta$ einen Funktionswert aussiebt und alle anderen ignoriert. Für eine bei $t=0$ stetige Funktion $f$ und $a < 0 < b$ gilt \[ \int_a^b f(t) \delta(t)\,\dd t = f(0). \] \quoteoff Wenn 0 nicht im Intervall $(a,b)$ enthalten ist, also in unserem Fall für $t<0$, liefert das Integral den Wert 0, für $t>0$ liegt 0 im Integrationsbereich und wir erhalten den Wert 1 und die gesuchte Sprungantwort $s(t)=\varepsilon(t)$. Du hast dieses Ergebnis auf einem anderen Weg erhalten, bitte versuche das in Zukunft gleich. \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Also laut den Intervallgrenzen, wäre die Sprungfunktion in dem Bereich zwischen $(-\infty, t]$ ja $1$. Daher kann man den im Integral weglassen. Schreibe ich das stattdessen hin für $s(t) = \delta(t)$ wie folgt $$s(t)\star\varepsilon(t) = \int_{-\infty}^{\infty}s(\tau)\varepsilon(t - \tau)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(\tau)\delta(t-\tau) = \varepsilon(t)$$ War das so gemeint? \quoteoff Das ist ein anderer Weg zum selben Ziel. Es ist ungünstig, das Eingangssignal hier $s(t)$ zu nennen, wenn dieser Name schon für die Sprungantwort verwendet wird. Es ist auch gar nicht notwendig, dem Eingangssignal $\delta(t)$ einen anderen Namen zu geben. Mit diesem Ergebnis können wir auch den Zusammenhang \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ eines LTI-Systems zeigen. Der Integrator macht aus einem Diracimpuls eine Sprungfunktion, wir können zur Ermittlung der Sprungantwort daher einen Integrator vor das System mit der Impulsantwort $h$ schalten. Die Impulsantwort der Kettenschaltung ist die gesuchte Sprungantwort $s$. Wegen der Kommutativität der Faltung können wir die Reihenfolge der beiden Systeme vertauschen. Mit einem Diracimpuls am Eingang liefert das jetzt erste System seine Impulsantwort $h$ und der Integrator berechnet das Integral in $(13.1)$, das daher gleich der Sprungantwort $s(t)$ ist. \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Oder ist es etwas anderes, das Dir Verständnisschwierigkeiten bereitet? \quoteoff Das Problem ist hier, dass in mehreren Literaturen vorkommt, dass bei allgemeinen Eingangssignalen $s(t)$ die Impulsantwort des Systems allgemein als $h(t)$ aufgefasst wird, wobei das Ausgangssignal dann die Art der Antwort auf ein Eingangssignal darstellt. Wenn man dabei das Eingangssignal kennt, kann man direkt sagen, wie die Antwort am Ausgang $g(t)$ oder $y(t)$ genannt wird. \quoteoff Ich würde das anders formulieren: ein LTI-System wird durch eine vom Eingangssignal unabhängige Funktion $h(t)$ beschrieben, das Ausgangssignal erhält man durch die Faltung des Eingangssignal mit $h(t)$. Welche Symbole man für Ein- und Ausgangssignale verwendet, ist egal, man sollte aber darauf achten, keine bereits verwendeten Symbole zu wählen. Weil der Dirac-Impuls das neutrale Element der Faltung ist, ergibt sich für das Eingangssignal $\delta(t)$ das Ausgangssignal $h(t)$, deshalb nennt man diese Funktion die Impulsantwort des Systems. Wo genau ist das Problem? \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) Die Impulsantwort hat dann für allgemeine Eingangssignale noch eine weitere Bedeutung, undzwar das es sich hierbei um die Impulsantwort $h(t)$ des Systems handelt und nicht um die Antwort am Ausgang des Systems $g(t)$. Bei einem Eingangssignal das offensichtlich der Dirac-Impuls ist, stellt das Ausgangssignal dann die Antwort auf einen Dirac-Impuls am Eingang, welches Impulsantwort genannt wird, dar. Allgemein stellt die Impulsantwort $h(t)$ aber der mittlere Teil eines LTI-Systems dar, wie im folgenden Bild dargestellt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_LTI_Blockschaltbild.png \quoteoff Die weitere Bedeutung ist eine Folge des Zusammenhangs zwischen Ein- und Ausgangssignal. \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 00:27 - Sinnfrei in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Mit ähnlichen Überlegungen kannst Du die Werte $|H_k(f)|\approx 1$ im Durchlassbereich $-f_g < f < f_g$ \quoteoff Den Teil verstehe ich noch nicht. Also zwischen $-f_g$ und $f_g$ muss es ja größer 1, bzw. $\approx\pi/2$ sein - laut Bild. \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Was genau meinst Du mit "es"? Der Betrag $|H_k(f)|$ der Übertragungsfunktion hat im Durchlassbereich des Filters $-f_g < f 1$ ist, aber auch solche, bei denen $|H_k(f)| < 1$ gilt. \quoteoff \quoteoff Mit "es", ist ja offensichtlich der Betragsgang $|H_k(f)|$ gemeint. Zum nächsten Satz, stimmt das ja nur für die $\operatorname{Si}$ Terme im inneren Teil des Betrages. Der Vorfaktor ist aber hier ${1\over\pi}$ und die Werte müssten dann ja im Durchlassbereich kleiner sein als um $1$ herum, was das Bild ja laut der Rechnung nicht wiedergibt. Sie gibt ja im Durchlassbereich Werte um $1$ herum wieder aber was ist hier mit dem Vorfaktor ${1\over\pi}$. Der wurde dann ja nicht berücksichtigt. \quoteoff Der Faktor $\frac{1}{\pi}$ wurde sehr wohl berücksichtigt: im Durchlassbereich haben die beiden $\operatorname{Si}$-Funktionen Werte um $\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz ist daher nicht weit von $\pi$ entfernt, das Produkt aus dieser Differenz und dem Vorfaktor ${1\over\pi}$ ist daher ungefähr 1. Wenn Du versucht hättest, diese einfache Rechnung nachzuvollziehen, würden solche Missverständnisse gar nicht aufkommen. :-( \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Du siehst doch, dass die Kurve für die Dämpfung $a(f)$ bei $f=0$ beginnt. https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54796_BetragsPhasengangD_mpfungsma_.png Was denkst Du über das Verhalten der Funktion \[ a(f) = -20~\mathrm{dB} \log_{10}\left(|H_k(f)|\right) \] für $f<0$? \quoteoff Für $f < 0$ wäre der Verlauf der Dämpfung ja Achsen-symmetrisch zu $f>0$ oder auch einfach nur gespiegelt, so ähnlich wie ein, auf dem Kopf gedrehtes Rechteck, für $f$ aus $(-\infty,\infty)$. Ist es denn üblich, dass man die Dämpfung nur aus dem Bereich $f>0$ betrachtet oder ist das hier lediglich eine Ausnahme? \quoteoff Mit dieser Überlegung, die Du auch ohne meine Hilfe anstellen könntest, solltest Du erkennen, dass der Teil für $f < 0$ des Graphen von $a(f)$ weggelassen wurde. War das der Grund für Deine Schwierigkeiten, diesen Graphen zu skizzieren? Warum nur die Hälfte des Graphen gezeichnet wurde, ist unklar. Häufig verwendet man eine doppeltlogarithmische Darstellung, wo auf der Abszisse $\log(f)$ aufgetragen, in diesem Fall kann man nur den Teil des Graphen darstellen, bei dem $f > 0$ ist. Servus, Roland


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\quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Hast Du versucht, das Ausgangssignal \[ s(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) \, \dd \tau \] zu berechnen? Dabei kommt die Siebeigenschaft der $\delta$-Funktion zur Anwendung, die wir in https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=257861 ausführlich diskutiert haben. \quoteoff Also laut der Siebeigenschaft würde der Dirac an der Stelle $t = 0$ ausgewertet werden, da er sonst an jeder anderen Stelle ja $0$ ist. Wüsste jetzt aber auch nicht wie man hierbei die Siebeigenschaft anwendet, ohne die Definition anzuwenden, da die obere Intervallgrenze $t$ und nicht laut der Definition des Dirac-Impulses $\infty$, als obere Intervallgrenze hat, damit das Integral dafür als $1$ wird. \quoteoff Leider kehrst Du wieder zu der speziellen Form der Siebeigenschaft zurück, bei der von $-\infty$ bis $\infty$ integriert wird. Ich meinte die allgemeine Form \quoteon(2022-03-10 20:13 - rlk in Beitrag No. 3) Es geht darum, dass $\delta$ einen Funktionswert aussiebt und alle anderen ignoriert. Für eine bei $t=0$ stetige Funktion $f$ und $a < 0 < b$ gilt \[ \int_a^b f(t) \delta(t)\,\dd t = f(0). \] \quoteoff Wenn 0 nicht im Intervall $(a,b)$ enthalten ist, also in unserem Fall für $t<0$, liefert das Integral den Wert 0, für $t>0$ liegt 0 im Integrationsbereich und wir erhalten den Wert 1 und die gesuchte Sprungantwort $s(t)=\varepsilon(t)$. \quoteoff Ich habe glatt vergessen, dass die obere Grenze $t$ ja variabel ist. Dann entstehen daraus ja die Fälle für die stückweise definierte Funktion aber Die Sprungfunktion ist ja so definiert \[\varepsilon(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t < 0\\ 1, & t \geq 0\end{array}\right.\] und wenn ich aber für $s(t)$ \[s(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t < 0\\ 1, & t > 0\end{array}\right.\] habe ist das dann nicht gerade ungleich der Sprungfunktion oder spielt es aufgrund des Integrals keine Rolle, ob ich schreibe $t>0$ oder $t\geq 0$. Den Teil verstehe ich noch nicht. Das Ergebnis der Faltung ist ja eine stückweise definierte Funktion aber die Sprungfunktion ist es ja noch nicht ganz. \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Mit diesem Ergebnis können wir auch den Zusammenhang \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ eines LTI-Systems zeigen. Der Integrator macht aus einem Diracimpuls eine Sprungfunktion, wir können zur Ermittlung der Sprungantwort daher einen Integrator vor das System mit der Impulsantwort $h$ schalten. Die Impulsantwort der Kettenschaltung ist die gesuchte Sprungantwort $s$. Wegen der Kommutativität der Faltung können wir die Reihenfolge der beiden Systeme vertauschen. Mit einem Diracimpuls am Eingang liefert das jetzt erste System seine Impulsantwort $h$ und der Integrator berechnet das Integral in $(13.1)$, das daher gleich der Sprungantwort $s(t)$ ist. \quoteoff Nur mal so als Tipp für die Zukunft. Einige Sachen kann man besser erklären, wenn einige Sachverhalte auch als Blockschaltbild/System visualisiert/skizziert sind. So fällt es mir schwer diesen Sachverhalt nachzuvollziehen. \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Oder ist es etwas anderes, das Dir Verständnisschwierigkeiten bereitet? \quoteoff Das Problem ist hier, dass in mehreren Literaturen vorkommt, dass bei allgemeinen Eingangssignalen $s(t)$ die Impulsantwort des Systems allgemein als $h(t)$ aufgefasst wird, wobei das Ausgangssignal dann die Art der Antwort auf ein Eingangssignal darstellt. Wenn man dabei das Eingangssignal kennt, kann man direkt sagen, wie die Antwort am Ausgang $g(t)$ oder $y(t)$ genannt wird. \quoteoff Ich würde das anders formulieren: ein LTI-System wird durch eine vom Eingangssignal unabhängige Funktion $h(t)$ beschrieben, das Ausgangssignal erhält man durch die Faltung des Eingangssignal mit $h(t)$. Welche Symbole man für Ein- und Ausgangssignale verwendet, ist egal, man sollte aber darauf achten, keine bereits verwendeten Symbole zu wählen. Weil der Dirac-Impuls das neutrale Element der Faltung ist, ergibt sich für das Eingangssignal $\delta(t)$ das Ausgangssignal $h(t)$, deshalb nennt man diese Funktion die Impulsantwort des Systems. Wo genau ist das Problem? \quoteoff Naja, wenn du das Problem erkannt hättest, würdest du das jetzt nicht Fragen daher belasse ich das einfach an der Stelle, da ich gerade feststelle, dass wir uns wieder im Kreis drehen. Schade! \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Der Faktor $\frac{1}{\pi}$ wurde sehr wohl berücksichtigt: im Durchlassbereich haben die beiden $\operatorname{Si}$-Funktionen Werte um $\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz ist daher nicht weit von $\pi$ entfernt, das Produkt aus dieser Differenz und dem Vorfaktor ${1\over\pi}$ ist daher ungefähr 1. Wenn Du versucht hättest, diese einfache Rechnung nachzuvollziehen, würden solche Missverständnisse gar nicht aufkommen. :-( \quoteoff Oh doch und das habe ich sehr wohl. Es hätte ganz "EINFACH" ein Link gereicht, der den Verlauf der Integralsinusfunktion für negative und positive Frequenzen darstellt. Das wäre schon die Hilfe gewesen! In meiner Literatur ist der Integralsinus lediglich für positive Frequenzen dargestellt und man erkennt nicht wirklich ob der Wert des $\operatorname{Si}$ an der Stelle $f=0$ wirklich $0$ ist. Ein Link, der diesen Verlauf darstellt, hätte dir auch den nachfolgenden Block aus Beitrag No.9, der eher geschadet als geholfen hat, gespart. Wirklich sehr schade, warum man so einfache Dinge, so kompliziert erklären muss. Manchmal ist wirklich weniger mehr. Ich sage das ungern aber an der Stelle Frage ich mich wirklich, ob du den Leuten helfen oder schaden willst. Bei mir solltest du das ja zumindest so langsam wissen. Sehr Schade! \quoteon(2022-04-21 17:27 - rlk in Beitrag No. 9) Für $f \ll -f_g$ haben beide $\operatorname{Si}$-Terme Werte um $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz schwankt daher um den Wert 0. Bei $f=-f_g$ hat der erste Term den Wert 0, der zweite noch immer Werte um $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz ist daher ungefähr $\frac{\pi}{2}$, mit dem Faktor $\frac{1}{\pi}$ ergibt sich $|H_k(-f_g)|\approx 0.5$. Mit ähnlichen Überlegungen kannst Du die Werte $|H_k(f)|\approx 1$ im Durchlassbereich $-f_g < f < f_g$ und $|H_k(f_g)|\approx 0.5$ ermitteln. Für $f \gg f_g$ haben beide $\operatorname{Si}$-Terme Werte um $\frac{\pi}{2}$, die Differenz schwankt daher um den Wert 0. An den Nullstellen von $|H_k(f)|$ ist die Dämpfung unendlich, dazwischen nimmt sie kleinere Werte an. \quoteoff


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Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11421
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-04-28

Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Mit diesem Ergebnis können wir auch den Zusammenhang \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ eines LTI-Systems zeigen. Der Integrator macht aus einem Diracimpuls eine Sprungfunktion, wir können zur Ermittlung der Sprungantwort daher einen Integrator vor das System mit der Impulsantwort $h$ schalten. Die Impulsantwort der Kettenschaltung ist die gesuchte Sprungantwort $s$. Wegen der Kommutativität der Faltung können wir die Reihenfolge der beiden Systeme vertauschen. Mit einem Diracimpuls am Eingang liefert das jetzt erste System seine Impulsantwort $h$ und der Integrator berechnet das Integral in $(13.1)$, das daher gleich der Sprungantwort $s(t)$ ist. \quoteoff Nur mal so als Tipp für die Zukunft. Einige Sachen kann man besser erklären, wenn einige Sachverhalte auch als Blockschaltbild/System visualisiert/skizziert sind. So fällt es mir schwer diesen Sachverhalt nachzuvollziehen. \quoteoff Mein Text beschreibt ein System aus zwei Blöcken. Weil es Dir zu viel Arbeit ist, diesen Sachverhalt zu skizzieren, soll ich es machen? Auf einem Blatt Papier ist so eine Skizze schnell gemacht, auf dem Computer ist es mehr Arbeit als ein paar Zeilen zu schreiben. \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) \quoteon(2022-04-25 13:50 - Sinnfrei in Beitrag No. 12) \quoteon(2022-04-25 10:44 - rlk in Beitrag No. 11) Oder ist es etwas anderes, das Dir Verständnisschwierigkeiten bereitet? \quoteoff Das Problem ist hier, dass in mehreren Literaturen vorkommt, dass bei allgemeinen Eingangssignalen $s(t)$ die Impulsantwort des Systems allgemein als $h(t)$ aufgefasst wird, wobei das Ausgangssignal dann die Art der Antwort auf ein Eingangssignal darstellt. Wenn man dabei das Eingangssignal kennt, kann man direkt sagen, wie die Antwort am Ausgang $g(t)$ oder $y(t)$ genannt wird. \quoteoff Ich würde das anders formulieren: ein LTI-System wird durch eine vom Eingangssignal unabhängige Funktion $h(t)$ beschrieben, das Ausgangssignal erhält man durch die Faltung des Eingangssignal mit $h(t)$. Welche Symbole man für Ein- und Ausgangssignale verwendet, ist egal, man sollte aber darauf achten, keine bereits verwendeten Symbole zu wählen. Weil der Dirac-Impuls das neutrale Element der Faltung ist, ergibt sich für das Eingangssignal $\delta(t)$ das Ausgangssignal $h(t)$, deshalb nennt man diese Funktion die Impulsantwort des Systems. Wo genau ist das Problem? \quoteoff Naja, wenn du das Problem erkannt hättest, würdest du das jetzt nicht Fragen daher belasse ich das einfach an der Stelle, da ich gerade feststelle, dass wir uns wieder im Kreis drehen. Schade! \quoteoff Es tut mir leid, aber ich verstehe wirklich nicht, was Dir unklar ist. \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Der Faktor $\frac{1}{\pi}$ wurde sehr wohl berücksichtigt: im Durchlassbereich haben die beiden $\operatorname{Si}$-Funktionen Werte um $\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$, die Differenz ist daher nicht weit von $\pi$ entfernt, das Produkt aus dieser Differenz und dem Vorfaktor ${1\over\pi}$ ist daher ungefähr 1. Wenn Du versucht hättest, diese einfache Rechnung nachzuvollziehen, würden solche Missverständnisse gar nicht aufkommen. :-( \quoteoff Oh doch und das habe ich sehr wohl. Es hätte ganz "EINFACH" ein Link gereicht, der den Verlauf der Integralsinusfunktion für negative und positive Frequenzen darstellt. Das wäre schon die Hilfe gewesen! \quoteoff Warum fragst Du nicht nach einem Link, dem Wert $\operatorname{Si}(0)$ oder ob die Funktion ungerade ist? Auf meine Frage \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Wie habt ihr den Integralsinus $\operatorname{Si}(x)$ definiert? \quoteoff bist Du leider nicht eingegangen (warum eigentlich?), aus den Grenzwerten kann ich aber schließen, dass Du \[ \operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin(t)}{t}\,\dd t \] meinst. Daraus solltest Du sehen, dass \[ \operatorname{Si}(0) = \int_0^0 \frac{\sin(t)}{t}\,\dd t = 0 \] und \[ \operatorname{Si}(-x) = \int_0^{-x} \frac{\sin(t)}{t}\,\dd t = - \operatorname{Si}(x) \] gilt. \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) In meiner Literatur ist der Integralsinus lediglich für positive Frequenzen dargestellt und man erkennt nicht wirklich ob der Wert des $\operatorname{Si}$ an der Stelle $f=0$ wirklich $0$ ist. Ein Link, der diesen Verlauf darstellt, hätte dir auch den nachfolgenden Block aus Beitrag No.9, der eher geschadet als geholfen hat, gespart. Wirklich sehr schade, warum man so einfache Dinge, so kompliziert erklären muss. \quoteoff Ich konnte aus Deinen Fragen, in denen es um den Faktor $\frac{1}{\pi}$ ging, nicht erkennen dass Du Fragen zum Integralsinus hast. Hier ein paar Links, die nicht schwer zu finden sind: https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsinus https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_integral#Sine_integral https://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) Manchmal ist wirklich weniger mehr. Ich sage das ungern aber an der Stelle Frage ich mich wirklich, ob du den Leuten helfen oder schaden willst. Bei mir solltest du das ja zumindest so langsam wissen. Sehr Schade! \quoteoff Deine Unterstellung, dass ich Dir oder anderen Leuten schaden will, finde ich unerhört. Nach fast zweihundert Antworten auf Deine Fragen solltest Du es besser wissen. Ich werde ab morgen eine Woche unterwegs sein, wundere Dich daher nicht, wenn ich in dieser Zeit nicht schreibe. Roland


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\quoteon(2022-04-28 00:22 - rlk in Beitrag No. 15) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Mit diesem Ergebnis können wir auch den Zusammenhang \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ eines LTI-Systems zeigen. Der Integrator macht aus einem Diracimpuls eine Sprungfunktion, wir können zur Ermittlung der Sprungantwort daher einen Integrator vor das System mit der Impulsantwort $h$ schalten. Die Impulsantwort der Kettenschaltung ist die gesuchte Sprungantwort $s$. Wegen der Kommutativität der Faltung können wir die Reihenfolge der beiden Systeme vertauschen. Mit einem Diracimpuls am Eingang liefert das jetzt erste System seine Impulsantwort $h$ und der Integrator berechnet das Integral in $(13.1)$, das daher gleich der Sprungantwort $s(t)$ ist. \quoteoff Nur mal so als Tipp für die Zukunft. Einige Sachen kann man besser erklären, wenn einige Sachverhalte auch als Blockschaltbild/System visualisiert/skizziert sind. So fällt es mir schwer diesen Sachverhalt nachzuvollziehen. \quoteoff Mein Text beschreibt ein System aus zwei Blöcken. Weil es Dir zu viel Arbeit ist, diesen Sachverhalt zu skizzieren, soll ich es machen? Auf einem Blatt Papier ist so eine Skizze schnell gemacht, auf dem Computer ist es mehr Arbeit als ein paar Zeilen zu schreiben. \quoteoff Du beschreibst zwei Blöcke, das stimmt. Der eine ist ein Integrator, der vor ein anderes System geschaltet wird aber was ist das System, das links daneben steht. Das konnte ich nicht nachvollziehen. Dazu schreibst du, dass die Kettenschaltung als Impulsantwort die Sprungantwort hat. Wie darf ich mir das da vorstellen - "Weil es mir angeblich zu viel Arbeit ist" hat es gar nichts zu tun und das ist auch eine Unterstellung deinerseits. Das ist unerhört. Wenn ich mir die Mühe nicht machen würde, würde ich hier erst keine Frage stellen, aber das solltest du auch bereits wissen. Ich habe mich das lediglich gefragt und dir das nicht vorgeworfen. Ich weiss ja das du den Leuten helfen willst aber man kann sich doch einwenig in den Fragensteller hineinversetzen - zudem, wie du bereits gesagt hast, du über hunderte Beiträge unter meinen Fragen geschrieben hast. Ich verstehe das Thema noch nicht und versuche es zu verstehen, da ist es doch nachvollziehbar, dass der Fragensteller vielleicht auch das Problem nicht klar und sauber aufschreiben kann, was ich auch schon in vorherigen Beiträgen zu dieser Frage geschrieben habe. Später bin ich auch darauf gekommen, dass die $\operatorname{Si}$ Funktion ungerade ist und man dadurch auch den Verlauf für negative Frequenzen zeichnen kann. In dem Moment habe ich nur nicht daran gedacht und ja das Problem mit der Nullstelle im Ursprung, dass war mir auch nicht klar. Zu dem ersten Teil, mit den Intervallgrenzen bist du nicht eingegangen.


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Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) \quoteon(2022-04-28 00:22 - rlk in Beitrag No. 15) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Mit diesem Ergebnis können wir auch den Zusammenhang \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ eines LTI-Systems zeigen. Der Integrator macht aus einem Diracimpuls eine Sprungfunktion, wir können zur Ermittlung der Sprungantwort daher einen Integrator vor das System mit der Impulsantwort $h$ schalten. Die Impulsantwort der Kettenschaltung ist die gesuchte Sprungantwort $s$. Wegen der Kommutativität der Faltung können wir die Reihenfolge der beiden Systeme vertauschen. Mit einem Diracimpuls am Eingang liefert das jetzt erste System seine Impulsantwort $h$ und der Integrator berechnet das Integral in $(13.1)$, das daher gleich der Sprungantwort $s(t)$ ist. \quoteoff Nur mal so als Tipp für die Zukunft. Einige Sachen kann man besser erklären, wenn einige Sachverhalte auch als Blockschaltbild/System visualisiert/skizziert sind. So fällt es mir schwer diesen Sachverhalt nachzuvollziehen. \quoteoff Mein Text beschreibt ein System aus zwei Blöcken. Weil es Dir zu viel Arbeit ist, diesen Sachverhalt zu skizzieren, soll ich es machen? Auf einem Blatt Papier ist so eine Skizze schnell gemacht, auf dem Computer ist es mehr Arbeit als ein paar Zeilen zu schreiben. \quoteoff Du beschreibst zwei Blöcke, das stimmt. Der eine ist ein Integrator, der vor ein anderes System geschaltet wird aber was ist das System, das links daneben steht. Das konnte ich nicht nachvollziehen. \quoteoff Wenn die Signale wie üblich von links nach rechts laufen, sieht das Blockschaltbild so aus: \sourceon ascii-art δ +---+ ε +---+ s -->| ∫ |--->| h |---> +---+ +---+ \sourceoff Dabei ist der linke Block ein Integrator und der rechte ein System mit der Impulsantwort $h$. Welches System meinst Du mit dem, das links (wovon) daneben steht? \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Dazu schreibst du, dass die Kettenschaltung als Impulsantwort die Sprungantwort hat. Wie darf ich mir das da vorstellen \quoteoff Wieder einmal weiß ich nicht, was Du mit diesem Satz meinst. Die Sprungantwort $s$ ist die Reaktion des Systems mit der Impulsantwort $h$ auf den Einheitssprung $\varepsilon$. Diesen gewinnen wir durch Integration des Diracimpulses $\delta$. Wenn wir die beiden Systeme vertauschen, bleiben Ein- und Ausgangssignale des Gesamtsystems gleich: \sourceon ascii-art δ +---+ h +---+ s -->| h |--->| ∫ |---> +---+ +---+ \sourceoff und wir können vom rechten Teil die Beziehung \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ ablesen. Dieser Teil hat nicht direkt etwas mit der ursprünglichen Frage zu tun, ich hatte Dich aber hier \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Die Impulsantwort ist jenes Ausgangssignal, das Du erhältst, wenn Du am Eingang den Impuls $\delta(t)$ anlegst. Welche Vorstellung hast Du von der Impulsantwort? \quoteoff Im Buch Signalübertragung wird der Anschein geweckt, dass auch eine Sprungfunktion eine Impulsantwort sein kann, wie zum Beispiel bei einem Integrator. Dort wird die Impulsantwort eines LTI-Systems als die Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ interpretiert, was ich auch sehr verwirrend finde, da hierbei allgemein das Signal $s(t)$ als Eingangssignal betrachtet wird. Weiterhin wird dazu gesagt, dass durch das Kommutativgesetz, das Faltungsprodukt $s(t) \star \varepsilon(t)$ vertauscht werden kann, was ja auch verständlich ist. Der Text wiederrum verwirrt mich dann: "Die Antwort eines Systems mit Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$, die so genannte Sprungantwort, ergibt sich als laufendes Integral der Impulsantwort $s(t)$. Als Gegenstück zum Integrator, dessen Impulsantwort die Sprungfunktion ist, kann man auch ein LTI-System definieren, dessen Sprungantwort der Dirac-Impuls ist." Hier wird im ersten Satz gesagt, dass die Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$ ... \quoteoff so verstanden, dass Dir der Zusammenhang $(13.1)$ zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ (meine Bezeichnung, im zitierten Text ist $s$ die Impulsantwort) noch unklar war. Als ich dann als Antwort auf meine "Fleißaufgabe" den Rat bekam, doch auch noch Blockschaltbilder zu zeichnen, um es besser zu erklären, habe ich mich geärgert, was Du hoffentlich verstehen kannst. \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) - "Weil es mir angeblich zu viel Arbeit ist" hat es gar nichts zu tun und das ist auch eine Unterstellung deinerseits. Das ist unerhört. Wenn ich mir die Mühe nicht machen würde, würde ich hier erst keine Frage stellen, aber das solltest du auch bereits wissen. \quoteoff Ich kann nur sehen, was Du schreibst. Wenn Du versucht hast, ein Blockschaltbild zu zeichnen, ohne es zu zeigen kann ich das nicht wissen. Wenn ich einen Text verstehen will, mache ich mir Skizzen, Rechnungen oder andere Überlegungen dazu, was mit Papier und Bleistift viel schneller geht als am Computer. \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Ich habe mich das lediglich gefragt und dir das nicht vorgeworfen. Ich weiss ja das du den Leuten helfen willst aber man kann sich doch einwenig in den Fragensteller hineinversetzen - zudem, wie du bereits gesagt hast, du über hunderte Beiträge unter meinen Fragen geschrieben hast. Ich verstehe das Thema noch nicht und versuche es zu verstehen, da ist es doch nachvollziehbar, dass der Fragensteller vielleicht auch das Problem nicht klar und sauber aufschreiben kann, was ich auch schon in vorherigen Beiträgen zu dieser Frage geschrieben habe. \quoteoff Ich versuche ja, mich in Deine Lage zu versetzen, aber es gelingt mir leider nicht immer (wenn überhaupt). Wir sind sehr verschieden, mir fiel es immer leicht, diese Zusammenhänge zu verstehen und ich kann daher oft nicht nachvollziehen, was Dir Schwierigkeiten bereitet. \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Später bin ich auch darauf gekommen, dass die $\operatorname{Si}$ Funktion ungerade ist und man dadurch auch den Verlauf für negative Frequenzen zeichnen kann. In dem Moment habe ich nur nicht daran gedacht und ja das Problem mit der Nullstelle im Ursprung, dass war mir auch nicht klar. \quoteoff Wie hast Du die Grezwerte \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) $$\lim \limits_{x\to\infty}\operatorname{Si}(x) = {\pi\over 2}$$ und $$\lim\limits_{x\to -\infty}\operatorname{Si}(x) = -{\pi\over 2}$$ \quoteoff bestimmt, wenn Dir die ungerade Symmetrie der $\operatorname{Si}$-Funktion nicht klar war? Auf meine Frage nach der von Dir verwendeten Definition von $\operatorname{Si}(x)$ bist Du leider nicht eingegangen, damit hättest Du den Wert $\operatorname{Si}(0)=0$ leicht ermitteln können. \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Zu dem ersten Teil, mit den Intervallgrenzen bist du nicht eingegangen. \quoteoff Ja, dazu fehlten mir damals Zeit und Geduld. Wie hast Du den Wert $\int_{-\infty}^0 \delta(\tau) \, \dd\tau$ ermittelt? Mit der Siebeigenschaft erhält man den nicht, weil dort der Diracimpuls nicht an einer Integrationsgrenze liegen darf. Der Wert $\varepsilon(0)$ der Sprungfunktion ist aber nicht wichtig. Servus, Roland


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\quoteon(2022-05-09 17:49 - rlk in Beitrag No. 17) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) \quoteon(2022-04-28 00:22 - rlk in Beitrag No. 15) Hallo Sinnfrei, \quoteon(2022-04-27 19:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 14) \quoteon(2022-04-26 00:31 - rlk in Beitrag No. 13) Mit diesem Ergebnis können wir auch den Zusammenhang \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ eines LTI-Systems zeigen. Der Integrator macht aus einem Diracimpuls eine Sprungfunktion, wir können zur Ermittlung der Sprungantwort daher einen Integrator vor das System mit der Impulsantwort $h$ schalten. Die Impulsantwort der Kettenschaltung ist die gesuchte Sprungantwort $s$. Wegen der Kommutativität der Faltung können wir die Reihenfolge der beiden Systeme vertauschen. Mit einem Diracimpuls am Eingang liefert das jetzt erste System seine Impulsantwort $h$ und der Integrator berechnet das Integral in $(13.1)$, das daher gleich der Sprungantwort $s(t)$ ist. \quoteoff Nur mal so als Tipp für die Zukunft. Einige Sachen kann man besser erklären, wenn einige Sachverhalte auch als Blockschaltbild/System visualisiert/skizziert sind. So fällt es mir schwer diesen Sachverhalt nachzuvollziehen. \quoteoff Mein Text beschreibt ein System aus zwei Blöcken. Weil es Dir zu viel Arbeit ist, diesen Sachverhalt zu skizzieren, soll ich es machen? Auf einem Blatt Papier ist so eine Skizze schnell gemacht, auf dem Computer ist es mehr Arbeit als ein paar Zeilen zu schreiben. \quoteoff Du beschreibst zwei Blöcke, das stimmt. Der eine ist ein Integrator, der vor ein anderes System geschaltet wird aber was ist das System, das links daneben steht. Das konnte ich nicht nachvollziehen. \quoteoff Wenn die Signale wie üblich von links nach rechts laufen, sieht das Blockschaltbild so aus: \sourceon ascii-art δ +---+ ε +---+ s -->| ∫ |--->| h |---> +---+ +---+ \sourceoff Dabei ist der linke Block ein Integrator und der rechte ein System mit der Impulsantwort $h$. Welches System meinst Du mit dem, das links (wovon) daneben steht? \quoteoff Dazu schreibe ich in diesem Beitrag an späterer Stelle etwas. Ich konnte das Problem mit Hilfe eines Tutors lösen. Er wusste auch wo bei mir das Problem lag. Das Problem war viel fundamentaler. \quoteon(2022-05-09 17:49 - rlk in Beitrag No. 17) \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Dazu schreibst du, dass die Kettenschaltung als Impulsantwort die Sprungantwort hat. Wie darf ich mir das da vorstellen \quoteoff Wieder einmal weiß ich nicht, was Du mit diesem Satz meinst. Die Sprungantwort $s$ ist die Reaktion des Systems mit der Impulsantwort $h$ auf den Einheitssprung $\varepsilon$. Diesen gewinnen wir durch Integration des Diracimpulses $\delta$. Wenn wir die beiden Systeme vertauschen, bleiben Ein- und Ausgangssignale des Gesamtsystems gleich: \sourceon ascii-art δ +---+ h +---+ s -->| h |--->| ∫ |---> +---+ +---+ \sourceoff und wir können vom rechten Teil die Beziehung \[ s(t) = \int_{-\infty}^t h(\tau) \, \dd\tau \qquad(13.1) \] zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ ablesen. Dieser Teil hat nicht direkt etwas mit der ursprünglichen Frage zu tun, ich hatte Dich aber hier \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-04-18 19:56 - rlk in Beitrag No. 7) Die Impulsantwort ist jenes Ausgangssignal, das Du erhältst, wenn Du am Eingang den Impuls $\delta(t)$ anlegst. Welche Vorstellung hast Du von der Impulsantwort? \quoteoff Im Buch Signalübertragung wird der Anschein geweckt, dass auch eine Sprungfunktion eine Impulsantwort sein kann, wie zum Beispiel bei einem Integrator. Dort wird die Impulsantwort eines LTI-Systems als die Sprungfunktion $\varepsilon(t)$ interpretiert, was ich auch sehr verwirrend finde, da hierbei allgemein das Signal $s(t)$ als Eingangssignal betrachtet wird. Weiterhin wird dazu gesagt, dass durch das Kommutativgesetz, das Faltungsprodukt $s(t) \star \varepsilon(t)$ vertauscht werden kann, was ja auch verständlich ist. Der Text wiederrum verwirrt mich dann: "Die Antwort eines Systems mit Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$, die so genannte Sprungantwort, ergibt sich als laufendes Integral der Impulsantwort $s(t)$. Als Gegenstück zum Integrator, dessen Impulsantwort die Sprungfunktion ist, kann man auch ein LTI-System definieren, dessen Sprungantwort der Dirac-Impuls ist." Hier wird im ersten Satz gesagt, dass die Impulsantwort $s(t)$ auf einen Sprung $\varepsilon(t)$ ... \quoteoff so verstanden, dass Dir der Zusammenhang $(13.1)$ zwischen Impulsantwort $h$ und Sprungantwort $s$ (meine Bezeichnung, im zitierten Text ist $s$ die Impulsantwort) noch unklar war. Als ich dann als Antwort auf meine "Fleißaufgabe" den Rat bekam, doch auch noch Blockschaltbilder zu zeichnen, um es besser zu erklären, habe ich mich geärgert, was Du hoffentlich verstehen kannst. \quoteoff Ich will hier nochmal auf deine Frage "Welche Vorstellung hast du von der Impulsantwort" zurückkommen. Mit Hilfe eines Tutors ist es mir erst gelungen, das Problem hierzu benennen. Es ging darum, warum man mit einem Dirac am Eingang, und dessen Impulsantwort am Ausgang, die Faltung für ein beliebiges Eingangssignal macht, damit man das jeweilige Ausgangssignal erhält. Kurz, die Sprungfunktion von weiter oben, aus dem Buch von Ohm/Lüke wurde bereits als Impulsantwort bestimmt, indem man in das LTI-System zuerst einen Dirac-Impuls angelegt hatte. Das Ausgangssignal beschreibt nun das LTI-System im Zeitbereich und dieses nennt man Impulsantwort. Dahinter stecken zwei Prozesse, die mir nicht klar waren, warum man das überhaupt so macht. Zuerst mit einem Dirac-Impuls und dann wird mit Hilfe der Impulsantwort und einem beliebigen Eingangssignal gefaltet, um das jeweilige Ausgangssignal zu bestimmen. Von ganz oben zu meiner Stelle hierüber verwiesen, beschreibt die Impulsantwort, das LTI-System im Zeitbereich, wobei die Übertragungsfunktion das LTI-System im Frequenzbereich beschreibt. Daher auch das $h$ in dem von dir gezeichneten LTI-System und das war mir nicht klar. \quoteon(2022-05-09 17:49 - rlk in Beitrag No. 17) Wie hast Du die Grezwerte \quoteon(2022-04-19 20:19 - Sinnfrei in Beitrag No. 8) $$\lim \limits_{x\to\infty}\operatorname{Si}(x) = {\pi\over 2}$$ und $$\lim\limits_{x\to -\infty}\operatorname{Si}(x) = -{\pi\over 2}$$ \quoteoff bestimmt, wenn Dir die ungerade Symmetrie der $\operatorname{Si}$-Funktion nicht klar war? Auf meine Frage nach der von Dir verwendeten Definition von $\operatorname{Si}(x)$ bist Du leider nicht eingegangen, damit hättest Du den Wert $\operatorname{Si}(0)=0$ leicht ermitteln können. \quoteoff Im Buch von Ohm/Lüke wird dies als Eigenschaft der $\operatorname{Si}$ Funktion aufgefasst und weiter wird darauf nicht eingegangen. Anhand des Graphen für $t>0$ ist es aber auch aus deinen Links ersichtlich, dass für $t\to\infty$ der Grenzwert $\pi\over 2$ herauskommt. Mit Hilfe der Symmetrieeigenschaft der $\operatorname{Si}$ Funktion konnte ich dann darauf schlussfolgern, dass bei $t=0$ der Wert ja eigentlich $0$ sein muss, da sie ja sonst nicht punktsymmetrisch wäre. \quoteon(2022-05-09 17:49 - rlk in Beitrag No. 17) \quoteon(2022-04-28 01:20 - Sinnfrei in Beitrag No. 16) Zu dem ersten Teil, mit den Intervallgrenzen bist du nicht eingegangen. \quoteoff Ja, dazu fehlten mir damals Zeit und Geduld. Wie hast Du den Wert $\int_{-\infty}^0 \delta(\tau) \, \dd\tau$ ermittelt? Mit der Siebeigenschaft erhält man den nicht, weil dort der Diracimpuls nicht an einer Integrationsgrenze liegen darf. Der Wert $\varepsilon(0)$ der Sprungfunktion ist aber nicht wichtig. \quoteoff In dem Intervall wäre der Dirac nicht definiert. Daher ergibt das Integral über das Intervall $0$. Dabei spielt es keine Rolle, ob die $0$ mit im Intervall ist oder nicht stimmts?


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