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Universität/Hochschule Fehlerabschätzung bei Spline-Interpolation
Pi_Ist_Genau_3
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  Themenstart: 2022-04-14

Hallo Leute, in diesem Skript wird in Satz 9.11 behauptet, dass für jedes \(f\in C^4[a,b]\) die Ungleichung \[\|S-f\|_\infty\leq h^4\|f^{(4)}\|_\infty\] gilt. Dabei ist \(a=t_0


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-04-24

Hallo Pi_Ist_Genau_3, es kommt auch mit darauf an, wie in den Voraussetzungen zu Lemma (9.10) und Satz (9.11) die Formulierung "Spline \(S\) zu \(f\) mit einer der Randbedingungen (1), (II) oder (III)" zu verstehen ist. Wenn das bedeuten soll, dass auch \(f\) die betreffende Randbedingung erfüllt, würden deine Berechungen nochmal etwas anders aussehen. In Definition (9.1) b) ist nur definiert, wann \(S\) interpolierender Spline zu \(f\) heißt (Übereinstimmung der Funktionswerte in den Stützstellen) ohne den Zusatz "mit einer der Randbedingungen (1), (II) oder (III)". Randbedingung (III) würde ich zum Beispiel nur anwenden, wenn \(f\) eine periodische zweimal differenzierbare Funktion ist und dann ist (III) auch für \(f\) erfüllt. Falls \(f\) in den Punkten \(a\) und \(b\) einen Knick hat, würde ich eher Randbedingung (II) verwenden. Ich stimme dir aber zu, daß im Beweis das Lemma (9.10) nicht korrekt angewendet wurde. Es reicht nicht zu schreiben "\(S-v\) ist Spline zu \(f-v\)", sondern es muss dort "\(S-v\) ist Spline zu \(f-v\) mit einer der Randbedingungen (I), (II) oder (III)" stehen wie das in Lemma (9.10) verlangt wird. Sonst kann der Satz ein falsches Ergebnis liefern, wie dein Beispiel mit \(f\) als Polynom 3. Grades zeigt. Viele Grüße, Stefan


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-24

Hallo Stefan, \quoteon(2022-04-24 06:37 - StefanVogel in Beitrag No. 1) es kommt auch mit darauf an, wie in den Voraussetzungen zu Lemma (9.10) und Satz (9.11) die Formulierung "Spline \(S\) zu \(f\) mit einer der Randbedingungen (1), (II) oder (III)" zu verstehen ist. Wenn das bedeuten soll, dass auch \(f\) die betreffende Randbedingung erfüllt, würden deine Berechungen nochmal etwas anders aussehen. \quoteoff Das würde auf jeden Fall mehr Sinn ergeben. Dann sollte der Satz also für natürliche Randbedingung so lauten: Es gilt \[\|S-f\|_\infty\leq h^4\|f^{(4)}\|_\infty\] für alle \(f\in C^4[a,b]\) mit \(f''(a)=f''(b)=0\), wobei \(S\) der kubische Spline zu \(f\) mit \(S''(a)=S''(b)=0\) ist. Wie ich schon bemerkt hatte, gilt \((S-\nu)''(a) = -f''(a)\) und \((S-\nu)''(b) = -f''(b)\). Wegen \(f''(a)=f''(b)=0\) ist dann \((S-\nu)''(a)=(S-\nu)''(b)=0\). Daher können wir in diesem Fall (9.10) anwenden. Für periodische Randbedingung sollte der Satz dann so lauten: Es gilt \[\|S-f\|_\infty\leq h^4\|f^{(4)}\|_\infty\] für alle \(f\in C^4[a,b]\) mit \(f'(a)=f'(b)\) und \(f''(a)=f''(b)\), wobei \(S\) der kubische Spline zu \(f\) mit \(S'(a)=S'(b)\) und \(S''(a)=S''(b)\) ist. Wie ich schon bemerkt hatte, gilt \((S-\nu)''(a) = S''(b)-f''(a)\) und \((S-\nu)''(b) = S''(b)-f''(b)\). Wegen \(f''(a)=f''(b)\) ist dann \((S-\nu)''(a)=(S-\nu)''(b)\). Weiter ist \((S-\nu)'(a)=S'(b)\) und \((S-\nu)'(b)=S'(b)-\int_a^bL(s)\,ds\). Aber \[\int_a^bL(s)\,ds = \sum_{n=1}^N\int_{t_{n-1}}^{t_n}L(s)\,ds = \sum_{n=1}^N\int_{t_{n-1}}^{t_n}f''(t_{n-1})+\frac{f''(t_n)-f''(t_{n-1})}{t_n-t_{n-1}}(s-t_{n-1})\,ds =\sum_{n=1}^N(h_nf''(t_{n-1})+\frac{f''(t_n)-f''(t_{n-1})}{h_n}\frac{h_n^2}{2})=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^Nh_n(f''(t_n)+f''(t_{n-1}))\] und dies ist doch im Allgemeinen nicht gleich \(0\), d.h. im Allgemeinen gilt \((S-\nu)'(a)\neq(S-\nu)'(b)\), oder? Dann könnten wir (9.10) doch wieder nicht anwenden...


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StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-04-24

Deshalb hatte ich auch nur gewagt zu schreiben, dass die Berechnungen etwas anders aussehen, und noch nicht, dass das richtige Ergebnis herauskommt. Wenn im letzten verbleibenden Fall wirklich keine Gleichheit gilt, müsste sich auch ein konkretes Gegenbeispiel angeben lassen. Das wäre noch überzeugender als die Berechnung mit dem \(L(s)\). Vielleicht reicht schon \(f(x)=sin(x)\), so wie du im Themenstart \(f\) gleich einem Polynom 3. Grades gesetzt hast.


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-24

Hmm, aber wenn ich \(f=\sin\) und \([a,b]=[0,2\pi]\) wähle, und \(N=1\), dann ist \(f^{(4)}=\sin\) und \(h=2\pi\). Weiter ist dann \(S=0\) und damit \(\|S-f\|_\infty=\|f\|_\infty = 1\) und \(h^4\|f^{(4)}\|_\infty=(2\pi)^4\|f\|_\infty=(2\pi)^4\), womit die Fehlerabschätzung zumindest in diesem Fall erfüllt ist. Allerdings ist hier auch \(L=0\) und damit insbesondere \(\int_0^{2\pi}L(s)\,ds=0\).


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-04-24

Und wenn du \(N=2\) nimmst? Dann ist \(L\) ungleich Null.


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-24

Wenn \(N=2\) ist, kommt es wohl darauf an, wie ich \(t_1\) wähle. Wenn \(t_1=\pi\) ist, dann ist wieder \(S=L=0\) und \(h=\pi\). Wenn ich \(t_1\in(0,\pi)\) wähle, dann sind \(S\) und \(L\) nicht konstant \(0\) und \(h=2\pi-t_1\). Es ist dann \(\int_0^{2\pi}L(s)\,ds=\frac{h_1+h_2}{2}f''(t_1)=-\pi\sin(t_1)\neq0\). Die rechte Seite der Ungleichung ist dann \((2\pi-t_1)^4\), die linke Seite \(\|S-\sin\|_\infty\).


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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-04-24

Dann wäre ja \(t_1 \ne \pi\) ein Gegenbeispiel. Jetzt also nur nochmal alles nachrechnen.


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Pi_Ist_Genau_3
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-04-24

\(t_1\in(0,\pi)\) wäre ein Beispiel dafür, dass im Allgemeinen \(\int_a^bL(s)\,ds\) nicht gleich \(0\) ist und (9.10) damit nicht anwendbar ist, da \((S-\nu)'(a)\neq(S-\nu)'(b)\). Es zeigt aber noch nicht, dass der Satz falsch ist. Ich habe es für dieses konkrete Beispiel für \(t_1=1\) einmal durchgerechnet und es sieht so aus, als ob die Ungleichung \(\|S-\sin\|_\infty\leq(2\pi-1)^4\) deutlich erfüllt ist.


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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-04-24

Dann müsste man die Beweismethode mit dem \(S-\nu\) durch eine andere ersetzen, also ich glaube auch, dass der Satz für Randbedingung (III) durchaus gültig sein kann. Ich bin aber noch beim Nachrechnen (genauer gesagt habe ich erst ganz vorsichtig angefangen um es nicht noch genauer zu sagen). Vielleicht findet sich auch irgendein Rechenfehler.


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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-10-22

\quoteon(2022-04-24 21:49 - Pi_Ist_Genau_3 in Beitrag No. 8) ... da \((S-\nu)'(a)\neq(S-\nu)'(b)\). \quoteoff und dann vermutlich auch \((S-v)(a)\neq(S-v)(b)\). Wenn \(S\) und \(f\) beide die Randbedingung (III) erfüllen und \(S-v\) und \(f-v\) beide die Randbedingung (III) erfüllen sollen, dann muss auch \(v=S-(S-v)=f-(f-v)\) diese Randbedingung erfüllen. \(v\) ist im Beweis passend zur Randbedingung (I) gewählt und nach Anwendung von Ungleichung (9.10) wird im weiteren Beweis nur die Eigenschaft \(v"=L\) benötigt. Da kann man doch die Möglichkeit nutzen, \(v\) durch ein \(v+C_1x+C_2\) zu ersetzen und \(C_1\) und \(C_2\) so zu bestimmen, daß die Randbedingung (III) erfüllt ist. Dann würde der weitere Beweis für Randbedingung (III) passen. Bereits zu einem vorhergehenden Beweis stand schon im Skript, daß man für eine weitere Randbedingungen den Beweis selber anpassen soll und so muss man das halt für diesen Beweis auch machen. \quoteon ... es sieht so aus, als ob die Ungleichung \(\|S-\sin\|_\infty\leq(2\pi-1)^4\) deutlich erfüllt ist. \quoteoff "deutlich" als Zahl ausgedrückt ist dann ein Faktor wie \(\frac{5}{384}\), siehe https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=106452&post_id=778525 .


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