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Analysis » Maßtheorie » Beweis zur Messbarkeit von Kernen
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Universität/Hochschule J Beweis zur Messbarkeit von Kernen
Bayes2021
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Dabei seit: 19.04.2021
Mitteilungen: 58
  Themenstart: 2022-04-16

Hallo zusammen, ich sitze gerade am Beweis des folgenden Satzes: Seien $(\Omega_{i},\mathcal{A}_{i})$, $(i \in \mathbb{N}_{2})$, Messräume und $K$ eine $\sigma$-endlicher Kern von $(\Omega_{1},\mathcal{A}_{1})$ nach $(\Omega_{2},\mathcal{A}_{2})$. Dann ist die Abbildung $$\omega_{1}\rightarrow K(\omega_{1},A_{\omega_{1}})$$ für jedes $ A \in \mathcal{A}_{1} \otimes \mathcal{A}_{2}$ $\mathcal{A}_{1}$-messbar. Hierzu gibt es es folgenden Tipp: Man betrachte das System derjenigen Mengen $ A \in \mathcal{A}_{1} \otimes \mathcal{A}_{2}$, für die die numerische Abbildung $\omega_{1}\rightarrow K(\omega_{1},A_{\omega_{1}})$ $\mathcal{A}_{1}$-messbar ist und zeigt, dass dieses System eine monotone Algebra ist, welche die von $\mathcal{A}_{1} \otimes \mathcal{A}_{2}$ erzeugte umfasst, womit sich dann die Behauptung ergibt. Bevor ich mich mit dem eigentlichen Beweis befasse wollte ich klären ob mein Verständnis was ich überhaupt zeigen muss richtig ist. Schritt 1: Sei $S:= \{A \in \mathcal{A}_{1} \otimes \mathcal{A}_{2}: \omega_{1} \rightarrow K(\omega_{1},A_{\omega_{1}}) \text{ ist } (\mathcal{A}_{1}-\mathcal{B})-\text{messbar} \}$. Ich muss zeigen, dass $S$ ein monotone Algebra und somit eine $\sigma$-Algebra ist. Schritt 2: Ich muss zeigen, dass $\mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2} \subset S$ gilt. Da $S$ eine $\sigma$-Algebra ist, folgt $\sigma(\mathcal{A}_{1} \times \mathcal{A}_{2})=\mathcal{A}_{1} \otimes \mathcal{A}_{2} \subset S$. Viele Grüße Bayes2021

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Bayes2021 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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