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  Linearkombination von Maßen ist ein Maß |
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Berpal23
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2022-05-01
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Hallo,
Sei $(X,\mathcal S)$ ein messbarer Raum sowie $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ eine Folge von Maßen auf $(X,\mathcal S)$ und $(a_n)_{n\in\mathbb N}\in[0,\infty]$.
Ich möchte jetzt zeigen, dass $\mu:=\sum_{n=1}^\infty a_n\mu_n$ ein Maß auf $(X,\mathcal S)$ ist.
$\mu(\emptyset)=0$ habe ich bewiesen, es ist also noch zu beweisen, dass $\mu(\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j)=\sum_{j=1}^\infty \mu(A_j)$ ist für jede paarweise disjunkte Folge $(A_j)\in \mathcal S.$
Ich habe also berechnet:
$\mu(\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j)=\sum_{n=1}^\infty a_n\mu_n(\bigcup\limits_{j=1}^\infty A_j)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{j=1}^\infty\mu_n(A_j)$
Jetzt würde ich gerne die Summanden umsortieren, bin mir aber nicht sicher ob ich das darf, da die Reihen nicht absolut konvergent sind (oder doch?)
Danke für Hinweise und viele Grüße
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-01
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Hallo,
wenn die Reihen konvergieren, dann auch absolut. Alle Summanden sind nichtnegativ.
LG Nico
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Berpal23
Wenig Aktiv
Dabei seit: 07.08.2021
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-01
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Und die Reihen konvergieren in $\overline{\mathbb R}$, da die Reihenwerte entweder endlich oder $+\infty$ sind, richtig?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2582
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-03
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
entschuldige, ich habe diesen Thread irgendwie aus den Augen verloren. Man könnte diese Aussage als Spezialfall des Satzes von Tonelli (oder Fubini for that matter) ansehen.
Wir betrachten den $\sigma$-endlichen Maßraum $(\mathbb N_0,\mathcal P(\mathbb N_0),\nu)$, wobei $\nu$ das Zählmaß bezeichnet. Ist nun $f\colon \mathbb N_0\times \mathbb N_0\to [0,\infty]$ messbar (diese Forderung ist hier etwas redundant - in diesem Fall ist jede Abbildung dieser Form messbar), so gilt nach dem Satz von Tonelli
$$
\int\limits_{\mathbb N_0\times \mathbb N_0} f \dd (\nu \otimes \nu)=\int\limits_{\mathbb N_0}\int\limits_{\mathbb N_0} f(n,m) \dd \nu(n) \dd\nu(m)=
\int\limits_{\mathbb N_0}\int\limits_{\mathbb N_0} f(n,m) \dd \nu(m) \dd\nu(n).
$$
Nun ist Integration bezüglich des Zählmaßes in Wirklichkeit einfach (unendliche) Summation und daher erhalten wir insbesondere die Aussage
$$
\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty f(n,m)=\sum_{m=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty f(n,m).
$$
In deinem konkreten Fall setzen wir dabei einfach $f(n,m)=a_n\cdot \mu_n(A_m)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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