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  reguläres Borelmaß auf R^d |
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Pioch2000
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Dabei seit: 21.05.2021
Mitteilungen: 63
 |  Themenstart: 2022-05-02
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Hallo zusammen,
Sei $\mu$ ein reguläres Borelmaß auf $\mathbb R^d$. Zeigen Sie $\mu(B)=\sup\{\mu(K): K\subseteq B, \text{ $K$ kompakt}\}$, $B\in \mathscr B(\mathbb R^d)$
Hat jemand eine Idee? Ich habe überlegt zu zeigen, dass die Menge
$\mathcal D:=\{K\in \mathscr B(\mathbb R^d): K\subseteq B,\text{K kompakt}\}$ ein Dynkin System ist, komme aber nicht weiter. Über Hinweise wäre ich dankbar.
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semasch
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-03
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Moin Pioch2000,
ich nehme an, dass eure Definition von regulären Borelmaßen beinhaltet, dass für $B \in \mathfrak{B}_d$
\[\mu(B) = \sup\{\mu(A): A \subseteq B, A \, \text{abgeschlossen}\}\]
gilt. Kombiniere das mit der Tatsache, dass aufgrund der Stetigkeit von $\mu$ von unten für $A \in \mathfrak{B}_d$
\[\mu(A) = \lim_{N \to \infty} \mu(A \cap K_N(0))\]
gilt, wobei $K_r(0) := \{x \in \mathbb{R}^d: \|x\|_2 \le r\}$ für $r > 0$.
LG,
semasch
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Pioch2000
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-03
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Hi semasch und danke für deine Antwort. Was ich noch nicht ganz verstehe:
$\mu$ ist regulär, das bedeutet $\mu(B)=\sup\{\mu(K): K\subseteq B,\text{$K$ abgeschlossen}\}$ für alle $B\in \mathscr B(X)$. Das gilt doch aber nur wenn $\mu$ ein endliches Maß ist, oder?
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semasch
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-03
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Je nachdem, was man unter einem Borelmaß versteht, gibt es in der Literatur unterschiedliche Regularitätsbegriffe, siehe hier. Aus dem Kontext der Aufgabenstellung war zu vermuten, dass ihr mit der zweiten Definition arbeitet. Am besten zitierst du aber einfach mal die Definition, die bei euch verwendet wird.
LG,
semasch
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Pioch2000
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-03
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In der Vorlesung hatten wir genau die Definition die du verlinkt hast. Kann ich um die Aufgabenstellung zu lösen ausnutzen, dass $\mu(K_n \cap B)$ endlich ist und deshalb $\mu(K_n \cap B)=\sup\{\mu(K):K\subseteq K_n \cap B),\text{$K$ kompakt}\}$?
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semasch
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-04
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Die von mir gemeinte Definition beinhaltet keine Endlichkeitsvoraussetzung. Vielleicht schreibst du einfach trotzdem mal eure Definitionen von Borel-Maßen und der Regularität der solchen zwecks Klarstellung hier auf.
LG,
semasch
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Pioch2000
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-06
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Ich habe es jetzt geschafft. Besten Dank für deine Hilfe!!
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Pioch2000 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Pioch2000 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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