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Universität/Hochschule Gleichheit von Lebesgue-Integral
Berpal23
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Mitteilungen: 36
  Themenstart: 2022-05-09

Hallo, folgende Aufgabe ist gegeben: Sei $(X,\mathcal S,\mu)$ ein Maßraum. Sei $E\subseteq \mathcal S$ und $f:X\rightarrow \overline{\mathbb R}$. Ich soll nun folgendes zeigen: 1.) Die Funktion $f_{|E}: (E,\mathcal S_{|E})\rightarrow (\overline{\mathbb R}, \mathscr B(\overline{\mathbb R}))$ ist messbar 2) für $f\geq 0$ ist $\int_E fd\mu=\int_E f_{|E}d\mu_{|\mathcal S_{|E}}$ 1.) habe ich bewiesen. Um 2) zu beweisen, wollte ich die Aussage zuerst für $f=\chi_A$ beweisen. Dann gilt für $A\in \mathcal S$ und $A\in\mathcal S_{|E}$: $\int_E fd\mu=\mu(A\cap E)$ und $\int_E f_{|E}d\mu_{|\mathcal S_{|E}}=\mu_{|\mathcal S_{|E}}(A\cap E)$. Hier gilt die Gleichheit, aber was ist, wenn $A\not\in \mathcal S_{|E}$?


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