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| Autor |
  Erzeuger von Sigma-Algebren |
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allesmathe
Neu 
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 3
Wohnort: Österreich, Wien
 |  Themenstart: 2022-05-12
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Hallo !
Ich gehe gerade ein Buch zur Wahrscheinlichkeitstheorie durch und habe dabei als "Nicht-Mathematiker" etwas Schwierigkeiten. Bei einer Stelle stecke ich nun total und komme auch nach längerem Nachdenken nicht dahinter. In dem Buch stehen folgenden Bemerkungen zu einer erzeugten Sigma-Algebra und ihrem Erzeuger:
(i) \(\epsilon \subset \sigma(\epsilon) \)
(ii) Gilt \(\epsilon_1 \subset \epsilon_2 \), dann gilt \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2) \)
(iii) A ist genau dann Sigma-Algebra, wenn \(\sigma(A)=A\)
Nun geht es darum zu zeigen, dass bestimmte Mengensysteme die Borel'sche Sigma-Algebra von \(R^n\) erzeugen. Und es werden unter anderem folgende Mengensysteme definiert: \(\epsilon_1 = \{A \subset R^n : \text{A ist offen }\} \) und \(\epsilon_2 = \{A \subset R^n : \text{A ist geschlossen} \} \).
Beim Beweis, dass Epsilon 1 und Epsilon 2 beide Erzeuger sind, kommt man darauf, dass gilt \(\epsilon_1 \subset \sigma(\epsilon_2)\) und es steht, dass daraus aus den obigen Bedingungen folgt, dass \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2)\). Warum folgt das daraus? Ich kann nicht erkennen, aus welcher der drei Bedingungen ableiten kann. Könnte mir da jemand bitte behilflich sein?
Vielen Dank im Voraus !👍
allesmathe
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-12
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\quoteon(2022-05-12 16:31 - allesmathe im Themenstart)
...
(i) \(\epsilon \subset \sigma(\epsilon) \)
(ii) Gilt \(\epsilon_1 \subset \epsilon_2 \), dann gilt \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2) \)
(iii) A ist genau dann Sigma-Algebra, wenn \(\sigma(A)=A\)
...
Beim Beweis, dass Epsilon 1 und Epsilon 2 beide Erzeuger sind, kommt man darauf, dass gilt \(\epsilon_1 \subset \sigma(\epsilon_2)\) und es steht, dass daraus aus den obigen Bedingungen folgt, dass \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2)\). Warum folgt das daraus?
\quoteoff
Hallo allesmathe,
willkommen auf dem Matheplaneten!
Da \(\epsilon_1 \subset \sigma(\epsilon_2)\), folgt aus (ii), dass \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\sigma(\epsilon_2))\). Da \(\sigma(\epsilon_2)\) eine Sigma-Algebra ist, folgt nach (iii), dass \(\sigma(\sigma(\epsilon_2))=\sigma(\epsilon_2)\). Insgesamt also \(\sigma(\epsilon_1) \subset \sigma(\epsilon_2)\).
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allesmathe
Neu
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 3
Wohnort: Österreich, Wien
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12
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Ach so, das ergibt natürlich Sinn. Jetzt ist es mir klar.👍
Danke StrgAltEntf!
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14
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Der Beweis von StrgAltEntf ist zwar richtig, aber nicht optimal, weil man die Aussage auch direkt aus der Definition von $\sigma(-)$ ableiten kann (die ja auch in den Beweis von (ii) und (iii) eingeht).
Per Definition ist $\sigma(A)$ die kleinste $\sigma$-Algebra mit $A \subseteq \sigma(A)$. Und das bedeutet per Definition (siehe Wiki/Kleinstes Element), dass 1) $\sigma(A)$ eine $\sigma$-Algebra mit $A \subseteq \sigma(A)$ ist, 2) für jede $\sigma$-Algebra $B$ mit $A \subseteq B$ bereits $\sigma(A) \subseteq B$ gilt. Diese Definition sollte man natürlich immer parat haben, wenn man über $\sigma(A)$ spricht.
Aus $\epsilon_1 \subseteq \sigma(\epsilon_2)$ folgt also unmittelbar aus der Definition von $\sigma(\epsilon_1)$ und der Tatsache, dass $\sigma(\epsilon_2)$ per Definition eine $\sigma$-Algebra ist, dass $\sigma(\epsilon_1) \subseteq \sigma(\epsilon_2)$.
Mehr zu diesem Thema: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1936
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allesmathe
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Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 3
Wohnort: Österreich, Wien
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Ah, das ist natürlich auch einleuchtend! Danke.👍
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