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  Komplexe Zahlen darstellen |
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WinstonYT
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 21.02.2019
Mitteilungen: 196
 |  Themenstart: 2022-05-12
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Hallo Zusammen
Ich habe bei der folgenden Aufgabe die Antwort teilweise Richtig. Weiss jemand, was ich falsch gemacht habe bzw. ob ich etwas übersehen habe?
Aufgabe 1:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51238_l_sungirjegijeroigjedsdorgffsddfdsdgregdasdasdasdgrgegregsfsdfsgd.PNG
Lg
Winston
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
der Fehler ist das Argument. Hier ist doch einfach \(a=-2\).
Caban hat im nächsten Beitrag natürlich völlig recht. Auch der Betrag ist falsch.
PS: schreibt ihr tatsächlich das Argument in der Eulerschen Darstellung in Altgrad? Das kann ich schier nicht glauben. 😮
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Caban
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-12
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Hallo
Überdenke den Betrag von a.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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WinstonYT
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12
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\quoteon(2022-05-12 23:15 - Caban in Beitrag No. 2)
Hallo
Überdenke den Betrag von a.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
a ist der Radius und der ist doch 2 bzw 2*e^(i*45).
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Caban
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-12
|
Hallo
a ist der Radius von z, nicht von a.
Gruß Caban
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WinstonYT
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-12
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-05-12 23:41 - WinstonYT in Beitrag No. 5)
Ja, ich weiss es nicht.
\quoteoff
Welchen Betrag haben denn die eingezeicheten Lösungen? Und welchen Betrag muss dann \(z^4\) haben?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-13
|
Am einfachsten geht es m.E. so:
$z^4 =16$ sähe bekanntlich so aus:
$\pgfmathsetmacro\phi{0}
\pgfmathsetmacro\r{2}
\begin{tikzpicture}[
x=1cm, y=1cm, scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
%KoSy
% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}
% y-Achse
\draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}
\coordinate[] (O) at (0,0);
\coordinate[] (eps0) at (1,0);
\coordinate[] (eps1) at (0,1);
\coordinate[] (eps2) at (-1,0);
\coordinate[] (eps3) at (0,-1);
\coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$);
\coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$);
\coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$);
\coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$);
\foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{
\draw[red, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=3pt]{$
z_{\k}$};
}
\draw[very thin] circle[radius=\r];
%
\node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){
$\begin{array}{l}
z^4 = 16 \\
~\Leftrightarrow~ z_k =2 e^{i\frac{2\pi k}{4}}
=2 e^{i\frac{\pi k}{2}} =2 i^k =z_k, ~~k=0,1,2,3
\end{array}$
};
\end{tikzpicture}$
Allerdings sind die Zeiger hier um $\frac{\pi}{4}$ gedreht, also wird
$\left( z \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} \right)^4 =16
~\Leftrightarrow~ z^4 \cdot e^{i\pi} =16
~\Leftrightarrow~ z^4 =16e^{-i\pi}
=16e^{i\pi}
=-16$
gelöst:
$\pgfmathsetmacro\phi{45}
\pgfmathsetmacro\r{2}
\begin{tikzpicture}[
x=1cm, y=1cm, scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
%KoSy
% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}
% y-Achse
\draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}
\coordinate[] (O) at (0,0);
\coordinate[] (eps0) at (1,0);
\coordinate[] (eps1) at (0,1);
\coordinate[] (eps2) at (-1,0);
\coordinate[] (eps3) at (0,-1);
\coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$);
\coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$);
\coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$);
\coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$);
\foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{
\draw[blue, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=4.5pt]{$
z_{\k}$};
}
\draw[very thin] circle[radius=\r];
%
\node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){
};
\end{tikzpicture}$
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WinstonYT
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
|
\quoteon(2022-05-13 01:40 - Wario in Beitrag No. 7)
Am einfachsten geht es m.E. so:
$z^4 =16$ sähe bekanntlich so aus:
$\pgfmathsetmacro\phi{0}
\pgfmathsetmacro\r{2}
\begin{tikzpicture}[
x=1cm, y=1cm, scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
%KoSy
% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}
% y-Achse
\draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}
\coordinate[] (O) at (0,0);
\coordinate[] (eps0) at (1,0);
\coordinate[] (eps1) at (0,1);
\coordinate[] (eps2) at (-1,0);
\coordinate[] (eps3) at (0,-1);
\coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$);
\coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$);
\coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$);
\coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$);
\foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{
\draw[red, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=3pt]{$
z_{\k}$};
}
\draw[very thin] circle[radius=\r];
%
\node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){
$\begin{array}{l}
z^4 = 16 \\
~\Leftrightarrow~ z_k =2 e^{i\frac{2\pi k}{4}}
=2 e^{i\frac{\pi k}{2}} =2 i^k =z_k, ~~k=0,1,2,3
\end{array}$
};
\end{tikzpicture}$
Allerdings sind die Zeiger hier um $\frac{\pi}{4}$ gedreht, also wird
$\left( z \cdot e^{i\frac{\pi}{4}} \right)^4 =16
~\Leftrightarrow~ z^4 \cdot e^{i\pi} =16
~\Leftrightarrow~ z^4 =16e^{-i\pi}
=16e^{i\pi}
=-16$
gelöst:
$\pgfmathsetmacro\phi{45}
\pgfmathsetmacro\r{2}
\begin{tikzpicture}[
x=1cm, y=1cm, scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
%KoSy
% x-Achse
\draw[->] (-3.5,0) -- (3.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-3,-2,...,3}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}
% y-Achse
\draw[->] (0,-3.5) -- (0,3.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-3,-2,...,3}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}
\coordinate[] (O) at (0,0);
\coordinate[] (eps0) at (1,0);
\coordinate[] (eps1) at (0,1);
\coordinate[] (eps2) at (-1,0);
\coordinate[] (eps3) at (0,-1);
\coordinate[] (w0) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps0)$);
\coordinate[] (w1) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps1)$);
\coordinate[] (w2) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps2)$);
\coordinate[] (w3) at ($(O)!\r cm!\phi:(eps3)$);
\foreach \k/\Pos in {0/below, 1/right, 2/above, 3/left}{
\draw[blue, ->, thick] (O) -- (w\k) node[near end, \Pos, inner sep=4.5pt]{$
z_{\k}$};
}
\draw[very thin] circle[radius=\r];
%
\node[anchor=south west, align=left, inner sep=0pt, fill=white] at (-3.5, 3.7){
};
\end{tikzpicture}$
\quoteoff
Danke für die Antwort.
Wie bist du auf z^4=16 gekommen?
Ist das weil: r=2, n=4 und somit z^4=r^4
Lg
Winston
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3116
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-27
|
Hallo
Ja, es ist wegen 2^4=16.
Gruß Caban
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WinstonYT hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WinstonYT hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | WinstonYT wird per Mail über neue Antworten informiert. |
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