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  Beweis Lemma von Herglotz (multiplikative Form) |
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Mathical
Junior 
Dabei seit: 13.05.2022
Mitteilungen: 9
 |  Themenstart: 2022-05-14
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Hallo zusammen
Ich stehe beim Beweis vom Lemma von Herglotz (multiplikative Form) an.
Nähmlich bei dem Schritt wo man zeigt, dass 2h(2z) = h(z) + h(z + 1/2).
Was ich versucht habe:
\[
\begin{aligned}
2h(2z) &= 2 \frac{2 \cdot g'(2z)}{g(2z)} = 2 \cdot \frac{2 \cdot c \cdot g'(z) g\left(z + \frac{1}{2} \right) + 2 \cdot c \cdot g(z) g'\left(z + \frac{1}{2} \right)}{c \cdot g(z) g\left(z + \frac{1}{2} \right)}
\\
&= 4 \left( \frac{c \cdot g'(z)}{c \cdot g(z)} + \frac{g'\left(z + \frac{1}{2} \right)}{g\left(z + \frac{1}{2} \right)} \right) = 4 \cdot \left( h(z) + h\left(z + \frac{1}{2} \right) \right), \quad \text{falls} \quad z, \nobreakspace z + \frac{1}{2}, \nobreakspace 2z \in [0,r).
\end{aligned}
\]
Wobei ich bei der ersten Gleichheit h=g'/g und bei der zweiten die Verdopplungsformel eingesetzt habe.
Nun würde ich aber auf 1/2 h(2z) = h(z) + h(z + 1/2) kommen, was nicht sein kann, da ich dann das Lemma von Herglotz in der additiven Form anwenden will und dort 2h(2z) = h(z) + h(z + 1/2) sein muss.
Sieht jemand meinen Fehler und könnte mir bitte weiterhelfen?
Vielen Dank!
Liebe Grüsse
Mathical
Hier das Lemma und der Beweis
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Lemma_vHm.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Lemma_vHmB.JPG
und hier das Lemma in der additiven Form, welches für den Beweis benutzt wird:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55585_Lemma_vHa.JPG
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Kuestenkind
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-14
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Huhu,
\quoteon(2022-05-14 10:40 - Mathical im Themenstart)\[
\begin{aligned}
2h(2z) &= 2 \frac{\color{red}{2} \cdot g'(2z)}{g(2z)} = [...]
\end{aligned}
\]
\quoteoff
ohne wirklich Ahnung davon zu haben: Wo kommt denn der rote Faktor her?
Gruß,
Küstenkind
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Mathical
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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\quoteon(2022-05-14 13:26 - Kuestenkind in Beitrag No. 1)
Huhu,
\quoteon(2022-05-14 10:40 - Mathical im Themenstart)\[
\begin{aligned}
2h(2z) &= 2 \frac{\color{red}{2} \cdot g'(2z)}{g(2z)} = [...]
\end{aligned}
\]
\quoteoff
ohne wirklich Ahnung davon zu haben: Wo kommt denn der rote Faktor her?
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Liebes Küstenkind
Den erhalte ich von der inneren Ableitung von g(2z). Ich bin mir aber ehrlich auch nicht sicher ob es nicht einfach 2h(2z) = 2 g'(2z)/g(2z) ist (wie im Beweis vom Buch)
Ich habe es auch schon ohne die innere Ableitung gemacht, erhalte dann aber auch nicht das gewünschte Resultat.
Ich zweifle schon an meinen Ableitungs- und Einsetzfähigkeiten 😃😖.
Vielen Dank fürs Anschauen.
Liebe Grüsse
Mathical
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Kuestenkind
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-14
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Dort wird doch nur eingesetzt?! Wenn \(h(z):=\frac{g'(z)}{g(z)}\) wird, dann ist doch auch \(h(2z)=\frac{g'(2z)}{g(2z)}\). Das setzt du doch nur in \(2\cdot h(2z)\) ein. Ich verstehe gerade nicht, wieso du da noch von einer inneren Ableitung sprichst.
Gruß,
Küstenkind
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Mathical
Junior
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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\quoteon(2022-05-14 13:39 - Kuestenkind in Beitrag No. 3)
Dort wird doch nur eingesetzt?! Wenn \(h(z):=\frac{g'(z)}{g(z)}\) wird, dann ist doch auch \(h(2z)=\frac{g'(2z)}{g(2z)}\). Das setzt du doch nur in \(2\cdot h(2z)\) ein. Ich verstehe gerade nicht, wieso du da noch von einer inneren Ableitung sprichst.
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Ich habe die innere Ableitung noch gemacht, weil bei \(h(z):=\frac{g'(z)}{g(z)}\) die innere Ableitung von g'(z) ja 1 ist, also irrelevant für die Darstellung, bei \(h(2z)=\frac{g'(2z)}{g(2z)}\) ist sie aber 2...
Kann aber auch gut sein, dass man dies nicht machen muss. Trotzdem geht die Gleichung nicht auf... oder funktioniert es so bei dir?🤔
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-14
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Doch, wenn du die Gleichung \(g(2z)=cg(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)\) differenzierst, dann erhältst du \(2g'(2z)=cg'(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)+cg(z)g'\left(z+\frac{1}{2}\right)\). Nun dividiere durch 2 und setze einfach ein.
Gruß,
Küstenkind
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Mathical
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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\quoteon(2022-05-14 14:14 - Kuestenkind in Beitrag No. 5)
Doch, wenn du die Gleichung \(g(2z)=cg(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)\) differenzierst, dann erhältst du \(2g'(2z)=cg'(z)g\left(z+\frac{1}{2}\right)+cg(z)g'\left(z+\frac{1}{2}\right)\). Nun dividiere durch 2 und setze einfach ein.
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Wow! Vielen Dank! Das hab ich jetzt echt nicht gesehen.
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2515
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-14
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Gerne! Es gibt hier übrigens auch die Möglichkeit ohne ein nerviges Vollzitat zu antworten. Das stört nur den Lesefluss. Gehe dazu unten einfach auf "Antworten".
Nachträglich noch ein "Herzliches Willkommen!" und ein schönes Wochenende!
Gruß,
Küstenkind
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Mathical
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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\quoteon(2022-05-14 17:00 - Kuestenkind in Beitrag No. 7)
Gerne! Es gibt hier übrigens auch die Möglichkeit ohne ein nerviges Vollzitat zu antworten. Das stört nur den Lesefluss. Gehe dazu unten einfach auf "Antworten".
Nachträglich noch ein "Herzliches Willkommen!" und ein schönes Wochenende!
Gruß,
Küstenkind
\quoteoff
Wo befindet sich denn dieses "Antworten"? Habe es nicht gefunden :)
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-14
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https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45489_Bildschirmfoto_2022-05-14_um_17.29.12.png
Siehe dort in der Mitte.
Gruß,
Küstenkind
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Mathical
Junior
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|  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-14
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