| Autor |
 Konvergenz der Folgen |
|
Kollik
Junior 
Dabei seit: 08.05.2022
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2022-05-15
|
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen rationaler Zahlen auf Konvergenz und geben Sie
gegebenenfalls ihren Grenzwert an. Bestimmen Sie weiter bei den konvergenten Folgen zu
jedem ε > 0 ein Nε ∈ N so, dass der Abstand der Folgeglieder zu dem entsprechendem
Grenzwert ab dem Folgeglied Nε nicht gr¨oßer als ε ist.
(i) an = (3n + 7)/(4n − 1)
(ii) bn = 1/n + (−1)^n
(iii)cn = 1 − ((−1)^n*n)/(n2 + 1)
ich habe schon die Konvergenzwerte bestimmt glaub ich
fur
i) 3/4
ii) fur n gerade = 1 und n ungerade = -1
iii) 0
Jetzt muss ich das aber noch mit ε > 0 machen wovon ich keine Ahnung habe.
Ich habe jetzt das so gemacht fur i)
3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1)
= 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4
32/ 16n -4 < ε
32 < ε(16n-4)
32 < 16εn -4ε
32 + 4ε < 16εn
32 +4ε / 16ε < n
n > 32 + 1ε / 4ε
ist das jetzt richtig oder mache ich es komplet falsch
|
 Profil
|
Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9327
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-15
|
Hallo,
\quoteon(2022-05-15 13:32 - Kollik im Themenstart)
ich habe schon die Konvergenzwerte bestimmt glaub ich
fur
i) 3/4
ii) fur n gerade = 1 und n ungerade = -1
iii) 0
\quoteoff
Du meinst die Grenzwerte, oder jedenfalls potentielle Grenzwerte.
Denn; der für i) stimmt, bei ii) solltest du dir nochmal grundsätzlich über die Konvergenz Gedanken machen, und bei iii) stimmt der Grenzwert nicht (wenn ich die Folge richtig interpretiert habe).
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7829
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-15
|
\quoteon(2022-05-15 13:32 - Kollik im Themenstart)
Jetzt muss ich das aber noch mit ε > 0 machen wovon ich keine Ahnung habe.
Ich habe jetzt das so gemacht fur i)
3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1)
= 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4
32/ 16n -4 < ε
32 < ε(16n-4)
32 < 16εn -4ε
32 + 4ε < 16εn
32 +4ε / 16ε < n
n > 32 + 1ε / 4ε
ist das jetzt richtig oder mache ich es komplet falsch
\quoteoff
Hallo Kollik,
das ist falsch. Versuch mal, die Klammern korrekt zu setzen und fang noch mal von vorne an.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
|
Profil
|
Kollik
Junior 
Dabei seit: 08.05.2022
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15
|
3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1)
= 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4
32/ 16n -4 < ε
32 < ε(16n-4)
32 < 16εn -4ε
32 + 4ε < 16εn
32 +4ε / 16ε < n
n > 32 + 1ε / 4ε
ist das jetzt richtig oder mache ich es komplet falsch
Also ich habe mein Fehler gesehen:
3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1)
= 12n + 28 - 12n +3 / 4(4n-1) = 31/16n-4
31/ 16n -4 < ε
31 < ε(16n-4)
31 < 16εn -4ε
31 + 4ε < 16εn
31 +4ε / 16ε < n
n > 31 + 1ε / 4ε
|
Profil
|
Kollik
Junior
Dabei seit: 08.05.2022
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15
|
Bei iii)
konvengiert es gegen 1 grenzwert oder?
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 7829
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-15
|
\quoteon(2022-05-15 14:19 - Kollik in Beitrag No. 3)
3n + 7/4n - 1 = 4*(3n + 7)/4 * (4n-1) - 3(4n - 1)/ 4(4n -1)
= 12n + 32 - 12n +1 / 4(4n-1) = 32/16n-4
\quoteoff
Wieso sollte in der ersten Zeile das Gleichheitszeichen gelten? Außerdem musst du Klammern setzen, damit die Rechnung halbwegs stimmt. Aber du hast noch Rechenfehler gemacht.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9327
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-15
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
da hapert es aber arg mit der Klammersetzung.
Es ist:
\[\ba
\frac{3n+7}{4n-1}-\frac{3}{4}&=\frac{4\cdot(3n+7)-3\cdot(4n-1)}{4\cdot(4n-1)}\\
\\
&=\frac{12n+28-12n+3}{4\cdot(4n-1)}\\
\\
&=\frac{31}{4\cdot(4n-1)}\le\frac{31}{15n}
\ea\]
Hilft dir das weiter?
Für solche Fragen solltest du dich hier unbedingt mit einem der beiden Formelsatzsysteme auseinandersetzen, die es hier gibt: \(\LaTeX\) oder den hauseigenen Formeleditor.
Deine obigen Rechnungen sind nämlich abgesehen von den Fehlern sehr schwer nachvollziehbar.
\quoteon(2022-05-15 14:25 - Kollik in Beitrag No. 4)
Bei iii)
konvengiert es gegen 1 grenzwert oder?
\quoteoff
Ja.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
|
Profil
|
Kollik
Junior
Dabei seit: 08.05.2022
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-15
|
Hey ich habe noch eine Frage zu ii)
warum ist das denn nicht ganz richtig.
Ich habe ja 1/n welches gegen 0 konvengiert und (-1)^n welches fur n gerade das vorzeichen von 1 andert auf +1 und bei ungeraden bleicbt es bei -1
also fur n gerade ist der GW 1 und ungerade n -1
|
Profil
|
Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9327
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-15
|
\quoteon(2022-05-15 14:56 - Kollik in Beitrag No. 7)
Hey ich habe noch eine Frage zu ii)
warum ist das denn nicht ganz richtig.
Ich habe ja 1/n welches gegen 0 konvengiert und (-1)^n welches fur n gerade das vorzeichen von 1 andert auf +1 und bei ungeraden bleicbt es bei -1
also fur n gerade ist der GW 1 und ungerade n -1
\quoteoff
Man betrachtet hier aber nur die ganze Folge und untersucht nicht auf Häufungspunkte (vermute ich jedenfalls).
Wie wäre denn folgendes:
- die komplette Aufgabenstellung in einer vernünftigen Form posten
- eine Aufgabe nach der anderen komplett besprechen?
(Wir wissen jetzt nicht, was du mit den bisherigen Hinweisen zur i) so angestellt hast...)
Gruß, Diophant
|
Profil
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
