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 Anwendung zu Differentialgleichungen |
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Erdbeere99
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 |  Themenstart: 2022-05-16
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Angenommen, die Reaktionsgeschwindigkeit (Stoffmenge pro Zeiteinheit) der chemischen Reaktionzweiter Ordnung A + B → C ist proportional zu den Konzentrationen von A und B. Gleichzeitig gibt es eineRückreaktion C → A+B mit Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur Konzentration von C. Dieser chemische Prozesskann durch die Differentialgleichung beschrieben werden (für die Funktion c) c' = k(a - c)(b - c) - lc; a, b, k, l > 0;wobei c(t) die Konzentration von C zum Zeitpunkt t ist und a, b > 0 sind die Konzentrationen von A und B zur Zeitt = 0.
(i) Berechnen Sie c so, dass die Konzentration von C zur Zeit t = 0 Null ist.
(ii) Zeigen Sie, dass c(t) für t zunehmend stark monoton konvergiert für t →∞ 1 bis zu einigen c ∞ < min{a,b}.
Hinweis: Benutze und zeige α := a + b + l/k, α²> 4ab, γ:=\( \sqrt{α²/4-ab} \)
Ich habe absolut keine Ahnung, was ich hier machen soll.
Ich bin über jede Hilfe dankbar!
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-16
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Nochmal in lesbar:
\quoteon(2022-05-16 08:20 - Erdbeere99 im Themenstart)
Angenommen, die Reaktionsgeschwindigkeit (Stoffmenge pro Zeiteinheit) der chemischen Reaktion zweiter Ordnung $A + B \rightarrow C$ ist proportional zu den Konzentrationen von $A$ und $B$. Gleichzeitig gibt es eine Rückreaktion $C \rightarrow A+B$ mit Reaktionsgeschwindigkeit proportional zur Konzentration von $C$. Dieser chemische Prozess kann durch die Differentialgleichung beschrieben werden (für die Funktion $c$)
$$
c' = k(a - c)(b - c) - lc; \quad a, b, k, l > 0;
$$
wobei $c(t)$ die Konzentration von $C$ zum Zeitpunkt $t$ ist und $a, b > 0$ sind die Konzentrationen von $A$ und $B$ zur Zeit $t = 0$.
(i) Berechnen Sie $c$ so, dass die Konzentration von $C$ zur Zeit $t = 0$ Null ist.
(ii) Zeigen Sie, dass $c(t)$ für $t$ zunehmend stark monoton konvergiert für t →∞ 1 bis zu einigen c ∞ < min{a,b}. [Ergibt für mich keinen Sinn - unverändert]
Hinweis: Benutze und zeige $\alpha := a + b + l/k$, $\alpha^2> 4ab$, $\gamma:=\sqrt{\alpha^2/4-ab}$
Ich habe absolut keine Ahnung, was ich hier machen soll.
Ich bin über jede Hilfe dankbar!
\quoteoff
Bei i) solltest du sicherlich "einfach" die DGL mit dem passenden Anfangswert lösen. Du hast
$$
c'(t)=kc(t)^2+(-ka-kb-l)c(t)+kab
$$
Gesucht ist "die" Lösung dieser DGL mit $c(0)=0$.
LG Nico\(\endgroup\)
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Erdbeere99
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Mit welcher Lösungsmethode löse ich das? Das ist ja weder eine Bernoulli DGL noch eine lineare DGL?
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haerter
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-16
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Hallo,
kurz zwei Kommentare:
1) Teilaufgabe (i) ergibt für mich wenig Sinn
2) Die Differentialgleichung soll vermutlich nicht explizit gelöst werden, sondern es geht um Eigenschaften der Lösungen, die man auch ohne Kenntnis einer expliziten Lösungsformel zeigen kann.
Viele Grüße,
haerter
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nzimme10
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-16
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Ich vermute auch, dass man das nicht explizit lösen sollte. Zwar habe ich mit Maple eine geschlossene Formel für die Lösung gefunden, die ist aber schon relativ kompliziert.
So gesehen verstehe ich auch nicht ganz, wie genau der erste Teil der Aufgabe gemeint sein soll, wenn man die DGL nicht explizit lösen soll.
LG Nico
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haerter
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-16
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Hallo,
ich verstehe schon gar nicht, warum die Differentialgleichung nicht einfach
\( c'(t) = kab -lc \)
lautet. Das würde besser zu der Beschreibung im Text passen.
Viele Grüße,
haerter
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zippy
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 14:58 - nzimme10 in Beitrag No. 4)
Ich vermute auch, dass man das nicht explizit lösen sollte. Zwar habe ich mit Maple eine geschlossene Formel für die Lösung gefunden, die ist aber schon relativ kompliziert.
\quoteoff
Ich sehe eigentlich keinen Grund, warum man diese Riccatische Differentialgleichung nicht lösen sollte.
Dann ergibt der Aufgabenteil (i) einen Sinn, und in der Lösung tauchen die im Hinweis angesprochenen Konstanten auf.
--zippy
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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zippy
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 20:59 - haerter in Beitrag No. 5)
ich verstehe schon gar nicht, warum die Differentialgleichung nicht einfach
\( c'(t) = kab -lc \)
lautet. Das würde besser zu der Beschreibung im Text passen.
\quoteoff
Zum Text würde passen$$
c'(t) = k\,a(t)\,b(t)-l\,c(t) \;.
$$Da aber außerdem $a(t)=a-c(t)$ und $b(t)=b-c(t)$ mit Konstanten $a$ und $b$ gilt, gelangt man zu$$
c'(t) = k\bigl[a-c(t)\bigr]\bigl[b-c(t)\bigr]-l\,c(t) \;.
$$
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Erdbeere99
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Zum Text würde passen$$
c'(t) = k\,a(t)\,b(t)-l\,c(t) \;.
$$Da aber außerdem $a(t)=a-c(t)$ und $b(t)=b-c(t)$ mit Konstanten $a$ und $b$ gilt, gelangt man zu$$
c'(t) = k\bigl[a-c(t)\bigr]\bigl[b-c(t)\bigr]-l\,c(t) \;.
$$
\quoteoff
So steht es ja auch eigemtlich in der Aufgabe
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Erdbeere99
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Ich sehe eigentlich keinen Grund, warum man diese Riccatische Differentialgleichung nicht lösen sollte.
Dann ergibt der Aufgabenteil (i) einen Sinn, und in der Lösung tauchen die im Hinweis angesprochenen Konstanten auf.
gut, dass wir diese DGL in der Vorlesung noch nicht hatten
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zippy
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 21:11 - Erdbeere99 in Beitrag No. 8)
So steht es ja auch eigemtlich in der Aufgabe
\quoteoff
Richtig. Und daher passen in der Aufgabe Text und DGL zusammen, während die DGL in Beitrag Nr. 5 etwas anderes beschreibt.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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zippy
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-16
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\quoteon(2022-05-16 21:12 - Erdbeere99 in Beitrag No. 9)
gut, dass wir diese DGL in der Vorlesung noch nicht hatten
\quoteoff
Man muss den Namen nicht kennen, um die Gleichung zu lösen.
PS Du solltest Zitate und eigene Texte nicht vermischen. Es gibt nicht ohne Grund einen Knopf "Quote".
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Erdbeere99
Wenig Aktiv
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16
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Und wie löst man diese DGL? Ich weiß nämlich nicht wie das geht und googeln hilft nicht
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Erdbeere99
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Man braucht ja eine partikuläre Lösung, damit man dann weiterarbeiten kann. Wie komme ich hier zu einer solchen Lösung bzw was ist die partikuläre Lösung?
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zippy
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| Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-17
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\quoteon(2022-05-17 18:10 - Erdbeere99 in Beitrag No. 13)
Wie komme ich hier zu einer solchen Lösung bzw was ist die partikuläre Lösung?
\quoteoff
Du kannst die Gleichgewichtslösung nehmen, also die Lösung mit $c'(t)=0$.
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Erdbeere99
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Also für c(t) irgendeine Zahl bspw. c(t) =3? Ich brauche ja eine partikuläre Lösung für c und nicht c', dachte ich
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zippy
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-05-17
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\quoteon(2022-05-17 20:59 - Erdbeere99 in Beitrag No. 15)
Also für c(t) irgendeine Zahl bspw. c(t) =3?
\quoteoff
Nein, denn für "irgendeine Zahl" führt die DGL ja nicht auf $c'(t)=0$.
Eine konstante Funktion $c(t)=c_0$ löst die DGL genau dann, wenn $
k\,(a-c_0)(b-c_0)=l\,c_0$ gilt.
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Erdbeere99
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Also muss ich jetzt was tun?
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