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Universität/Hochschule J Ein bijektiver Gruppenhomomorphismus?
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  Themenstart: 2022-05-16

Hallo Matheplanet! Ich habe eine Frage zu einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $\rho:\pi_1(M,x)\rightarrow Hol_u(A)/Hol_u^0(A), [\gamma]\mapsto [hol_u(\gamma)]$. $\pi_1(M,x)$ ist dabei die Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit $M$ mit dem Start- und Endpunkt $x\in M$ der Schleifen-Pfade. Die Äquivalenzklasse (Homotopieklasse) der Pfade $\gamma$ ist mit $[\gamma]$ notiert. $Hol_u(A)$ ist die Holonomiegruppe einer fixierten Zusammenhangsform $A$ eines Hauptfaserbündels $(P,\pi,M;G)$, wobei $P$ der Totalraum, $\pi$ die Projektion und $M$ die Basismannigfaltigkeit sind. $G$ ist eine Liegruppe. Die Holonomieelemente werden mit $hol_u(\gamma)$ notiert und gehören zu einer Faser $P_x$ mit $x\in M$ und damit zu einer Schleife $\gamma$, die in $x$ startet und endet. $Hol_u^0(A)$ ist die reduzierte Holonomiegruppe, die mit den null-homotopen Schleifen in $M$ in Verbindung steht. Dass die Abbildung $\rho$ surjektiv ist, steht zum Beispiel in Baums 'Eichfeldtheorie'-Buch. Meine Frage: Ist $\rho$ auch injektiv? Habe dazu ein paar Überlegungen angestellt (nächster Post).


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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-16

Wir müssen zeigen, dass $\rho([\gamma])=\rho([\delta])\Rightarrow [\gamma]=[\delta]$. Wir können also von $[hol_u(\gamma)]=[hol_u(\delta)]$ ausgehen. Dann können wir wegen der Gruppeneigenschaft umformen. $[hol_u(\gamma)][hol_u(\delta)]^{-1} = [e]$ Das $^{-1}$ können wir in die Äquivalenzklasse reinziehen (wegen Faktorgruppen-Eigenschaft). $[hol_u(\gamma)][hol_u(\delta)^{-1}] = [e]$ Die inversen Holonomieelemente sind genau jene, die mit den inversen Wegen in Verbindung stehen. $[hol_u(\gamma)][hol_u(\delta^-)] = [e]$ Die Verknüpfung der Faktorgruppe erlaubt die nächste Umformung. $[hol_u(\gamma)hol_u(\delta^-)] = [e]$ Zwei Holonomieelemente kann man verknüpfen, indem man die Hintereinanderausführung der Schleifen betrachtet. $[hol_u(\gamma*\delta^-)] = [e]$ Nun ist die Äquivalenzklasse des neutralen Elementes die reduzierte Holonmiegruppe $Hol_u^0(A)$. Das bedeutet, dass die Hintereinanderausführung $\gamma*\delta^-$ ein null-homotope Schleife ist. Damit gehört die zusammengesetzte Schleife in die selbe Homotopieklasse, wie das neutrale Element von $\pi_1(M,x)$ (das ist die konstante Schleife). $[\gamma*\delta^-]=[\gamma_e]$ Noch ein paar kleine Gruppenumformungen führen schließlich auf $[\gamma*\delta^-]=[\gamma][\delta^-] =[\gamma][\delta]^{-1}=[\gamma_e]$ und damit auf $[\gamma]=[\delta]$. Damit wären wir fertig mit dem Beweis. ------------------------------------------------------------- Ich bin mir da unsicher. Kann das stimmen?


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17

Der Kontext dieser Frage ist weder eine Übungsaufgabe, noch eine Prüfungsvorbereitung oder ähnliches. Das ist eine reine Hobby-Frage (bin also weder Student, noch viel weniger Profi). Zu finden ist dieser Gruppen-Homomorphismus zum Beispiel im Beweis des Satzes 4.3 in Helga Baums 'Eichfeldtheorie' auf Seite 128 in der zweiten Auflage. Dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus und um eine surjektive Abbildung handelt, steht in dem Buch fest. Meine Vermutung der Injektivität finde ich nirgends in der Literatur. Ist wahrscheinlich falsch, aber ich weiß nicht, wo der Fehler oben liegt. Rückmeldungen/Ratschläge wären ziemlich toll.


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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

Da $\rho$ ein surjektiver Gruppen-Homomorphismus ist, reicht es eigentlich zu zeigen, dass der Kern $\ker \rho$ nur aus dem neutralen Element $[\gamma_e]$ besteht, wobei $\gamma_e$ der konstante Weg ist (1.Isomorphiesatz). Und tatsächlich werden nur die null-homotopen Schleifen auf die reduzierte Holonomiegruppe abgebildet. ----------------------------------------------------------------------- Das würde bedeuten, dass die flachen Zusammenhänge $A$ (hier ist die reduzierte Holonomiegruppe trivial nach Ambrose-Singer-Satz) eine Isomorphie $\pi_1(M,x)\cong Hol_u(A)$ zur Folge hätten. ------------------------------------------------------------------------ Kann das stimmen?


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

Update: Ein netter Professor hat mir auf eine Anfrage geantwortet. 'Der Holonomie-Homomorphismus ist ganz sicher nicht injektiv ...' Er hat auch begründet warum, lass ich aber offen (da muss ich noch darüber nachdenken). Außerdem hat er noch erwähnt, dass man flache Mannigfaltigkeiten konstruieren kann, die eine unendliche Fundamentalgruppe haben, aber eine endliche Holonomiegruppe. LG, FibreBundle


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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-14

Was ich nicht beachtet habe: Es gibt nicht null-homotope Kurven $\delta$ deren Parallelverschiebung der Identität entspricht, also für die $hol_u(\delta)=e$ gilt. Edit: Außerdem können Holonomielemente $g$ aus verschiedenen Pfaden entstehen: $hol_u(\delta)=g=hol_u(\gamma)$ mit $\delta\neq\gamma$. Da müsste man bei den Äquivalenzklassen auch noch aufpassen. Fazit: Hat Spaß gemacht und ich hab einiges dabei gelernt. :)


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Der Professor hat auch noch ein paar Gegenbeispiele gegeben, das einfachere will ich der Vollständigkeit wegen noch beschreiben. Der Torus $T^2=S^1\times S^1$ als orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit hat triviale Holonomiegruppe, weil $S^1$ eine Holonomiegruppe in $SO(1)$ hat. Allerdings ist die Fundamentalgruppe des Torus $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.


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FibreBundle hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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