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 Fläche eines Rechtecks als stetige Funktion |
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Remyanscar
Junior 
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2022-05-17
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Hallo,
ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
\showon
Zeige, dass die Formel für die Fläche eines Rechtecks $A(a, b)=a b$, wobei $a$ und $b$ die Länge der Seiten bezeichnet, die einzige stetige Funktion $A: \mathbb{R}_{+}^{2} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ist, sodass für alle $a, a_{1}, a_{2}, b>0$
(i) $A(a, b)=A(b, a)$.
(ii) $A\left(a_{1}+a_{2}, b\right)=A\left(a_{1}, b\right)+A\left(a_{2}, b\right)$.
(iii) $A(1,1)=1$.
\showoff
leider fehlt mir da komplet der Ansatz. Ich weiss gar nicht womit ich hier anfangen soll. Könnte mir jemand einen Weg zeigen?
VG. und danke im Voraus
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thureduehrsen
Senior 
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1154
Wohnort: Kiel, Deutschland
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo Remyanscar, und willkommen auf dem Matheplaneten!
Ich würde erstmal die einfachen Teile der Aufgabe abfrühstücken:
Zeige, dass die Funktion \(A\) stetig ist und dass sie (i) bis (iii) erfüllt.
Die Eindeutigkeit kannst du später behandeln.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Remyanscar
Junior
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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ahh die einfachen Teile habe ich schon bereits, habe vergessen zu erwähnen.
Dass (i) bis (iii) erfüllt ist, ist klar, denn R ist ein Körper (also kommutativ, distributiv und besitzt Einselement)
A ist stetig, weil das ein Regelintegral ist.
Nur leider das Hauptproblem, also die Eindeutigkeit, bereitet mir Kopfschmerzen.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9310
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-17
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Hallo und willkommen hier im Forum!
Kann es sein, dass diese Aufgabe irgendwie im Zusammenhang steht mit der Behandlung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung?
Jedenfalls wäre etwas mehr Kontext zu der Aufgabe hilfreich.
Gruß, Diophant
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thureduehrsen
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Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1154
Wohnort: Kiel, Deutschland
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-17
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Und ein bisschen lineare Algebra scheint da auch durch (Determinantenfunktion).
mfg
thureduehrsen
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Remyanscar
Junior 
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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ich hatte bis jetzt 5 Vorlesungen in Analysis 2 zum Thema Integration und bis jetzt wurde nur:
-das Regelintegral als stetige Fortsetzung auf ein Banachraum
-Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
-Substitution und partielle Integration
behandelt. Also nur mit diesen Werkzeugen kann ich arbeiten
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philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1184
Wohnort: Hoyerswerda
 | Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-17
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Hi Remyanscar, und willkommen auf dem Matheplanet!
Es gibt eine "bekannte" Funktionalgleichung, die so ähnlich aussieht. Die allgemeine Strategie wäre, dass du die Gleichung
A(a,b) = a * A(1,b) für festes b und alle a beweist. Dabei musst du mit a=1 anfangen. Und dann unter Verwendung von (ii) die Menge der Zahlen a, für die du diese Gleichung bewiesen hast, immer weiter vergrößern.
Reicht das als Anstoß?
Gruß,
Philipp
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Remyanscar
Junior
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Das reicht mir leider nicht.
Ich verstehe nicht wie ich daraus die Eindeutigkeit folgern kann und wie der Beweis aussehen sollte, wenn ich nur weiss, dass die Funktion stetig ist.
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philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1184
Wohnort: Hoyerswerda
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-17
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Du beweist, dass für alle Funktionen A, die (ii) und Stetigkeit erfüllen, A(a,b) = a * A(1,b) für alle a, b gilt. Dann folgerst du daraus (mit (i) und (iii)), dass für alle A, a und b: A(a,b)=a*b gelten muss. Also gibt es tatsächlich nur ein solches A, denn die Funktionswerte an allen Punkten sind eindeutig bestimmt.
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Remyanscar
Junior
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-17
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Ich bin von dieser Aufgabe leider komplet überfordert. Das einzige was ich noch nicht verstanden habe ist diese Gleichung A(a,b)=a*A(1,b).
Wie soll ich zeigen, dass das für alle positive reelle a (also überabzählbar viele) tatsächlich gilt? Wie soll ich die zweite Eigenschaft anwenden?
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philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1184
Wohnort: Hoyerswerda
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-17
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\quoteon(2022-05-17 12:36 - Remyanscar in Beitrag No. 9)
Ich bin von dieser Aufgabe leider komplet überfordert. Das einzige was ich noch nicht verstanden habe ist diese Gleichung A(a,b)=a*A(1,b).
\quoteoff
Das ist doch schon ein guter Fortschritt, wenn du alles andere verstanden hast!
\quoteon
Wie soll ich zeigen, dass das für alle positive reelle a (also überabzählbar viele) tatsächlich gilt? Wie soll ich die zweite Eigenschaft anwenden?
\quoteoff
Für a=1 ist sie klar, oder? Versuch dann mal, die Gleichung für a=2 zu beweisen, und dann für a=3.
Wenn du das geschafft hast, schaffst du vielleicht einen Induktionsbeweis für alle ganzen positiven Zahlen.
Dann beweist du die Gleichung für alle rationalen Zahlen p/q, indem du p = p/q + p/q + ... + p/q (q Summanden) verwendest.
Und wenn du das geschafft hast, musst du Stetigkeit verwenden um die Gleichung für alle reellen Zahlen zu beweisen.
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Remyanscar
Junior
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18
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Ich glaube ich habe es geschafft, stimmt das was ich hier aufgeschrieben habe? Bzw. ist da noch was zu meckern?
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55591_Zrzut_ekranu_2022-05-18_o_06.31.16.png
Falls es in Ordnung ist, dann gibt es noch 2. Teil dieser Aufgabe und zwar sollte ich die Annahmen i) bis iii) interpretieren. Meine Interpretation sieht so aus:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55591_Zrzut_ekranu_2022-05-18_o_07.24.19.png
Ist sie auch in Ordnung?
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philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1184
Wohnort: Hoyerswerda
| Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-18
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Sieht gut aus! Die Behauptung stimmt so nicht ganz, der "Für alle a" Quantor muss nach dem Implikationspfeil stehen, und vor dem Pfeil brauchst du noch einen Allquantor für die a1 und a2 (Plus Klammern, damit klar ist, dass die Quantoren sich nicht auf die ganze Implikation beziehen, sondern nur auf die Teilaussagen).
Schritt 1 und 2 sehen gut aus. Je nachdem wie pingelig dein Korrektor ist mag er vielleicht die Pünktchenschreibweise nicht, dann bräuchte man da nochmal ne Induktion. Ich würde es so akzeptieren (wenn es nicht gerade das erste Semester ist wo man noch beweisen lernt).
Das Argument in Schritt 3 ist mir nicht ganz klar. Die Abbildung A ist nicht beschränkt. Du meinst wahrscheinlich sowas wie lokal beschränkt? Da müsstest du nochmal ins Detail gehen, was für Sätze du da genau benutzt. Ich hätte wahrscheinlich ein beliebiges a hergenommen, und Folgenstetigkeit benutzt um die Gleichung für dieses a zu zeigen.
Der Abschluss sieht gut aus.
Die Interpretationsaufgabe hätte ich jetzt so verstanden, dass man sagen soll, was (i)-(iii) für Flächeninhalte von Rechtecken bedeutet. Also z.B. für (i): Der Flächeninhalt bleibt gleich wenn man Höhe und Breite vertauscht, d.h. das Rechteck an der x=y-Diagonale spiegelt. Ist aber nicht ganz klar und hängt von der genauen Formulierung der Frage ab.
Gruß,
Philipp
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Remyanscar
Junior
Dabei seit: 17.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18
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\quoteon(2022-05-18 10:16 - philippw in Beitrag No. 12)
Sieht gut aus! Die Behauptung stimmt so nicht ganz, der "Für alle a" Quantor muss nach dem Implikationspfeil stehen, und vor dem Pfeil brauchst du noch einen Allquantor für die a1 und a2 (Plus Klammern, damit klar ist, dass die Quantoren sich nicht auf die ganze Implikation beziehen, sondern nur auf die Teilaussagen).
\quoteoff
Ah stimmt, habe vergessen die Behauptung zu korrigieren.
\quoteon(2022-05-18 10:16 - philippw in Beitrag No. 12)
Das Argument in Schritt 3 ist mir nicht ganz klar. Die Abbildung A ist nicht beschränkt. Du meinst wahrscheinlich sowas wie lokal beschränkt? Da müsstest du nochmal ins Detail gehen, was für Sätze du da genau benutzt. Ich hätte wahrscheinlich ein beliebiges a hergenommen, und Folgenstetigkeit benutzt um die Gleichung für dieses a zu zeigen.
\quoteoff
Also ich zeige, dass die Behauptung für alle a aus R stimmt also auch für negative (das habe ich nicht aufgeschrieben, wieder vergessen). Also es gilt auch, wenn man die Behauptung und Abbildung nur auf positive Zahlen einschränkt, so wie in der Aufgabe steht.
Das beschränke ich aber erst später, denn dann kann ich im Schritt 3 sagen, dass ich dann für feste b eine Q-lineare Abbildung zwischen einem normierten Vektorraum (Q) und einem Banachraum (R) habe. Diese Abbildung kann ich also auf R fortsetzen und sie bleibt stetig und linear. Weil sie auf R auch linear ist, gilt die Behauptung offensichtlich.
Jetzt denke ich, dass die Beschränktheit wahrscheinlich nicht relevant ist, sie folgt aber aus der Stetigkeit und Linearität (also beschrenkt bzg. sup Operatornorm).
In dem Abschluss beschränke ich die Abbildung und Behauptung nur auf positive Zahlen, so wie in der Aufgabe steht, denn das ist ja dann offensichtlich (oder irre ich mich?)
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