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Mathematik » Geometrie » Reelle projektive Ebene
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Universität/Hochschule Reelle projektive Ebene
Meli
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  Themenstart: 2022-05-17

Hallo, In der Aufgabe sind drei Punkte [1:1:-1], [-2:3:0], [0:5:-2] in P^2(R) (also die Punkte sind aus der reellen projektiven Ebene). Nun soll ich, sagen ob die Punkte ein Dreieck bilden in der reellen projektiven Ebene oder in einer Geraden liegen in P^2(R). Und die Gerade soll als affine Gerade in der affinen Ebene {[x:y:z] in P^2(R)| y ungleich 0}. Ich hab mir überlegt, dass ganze zu veranschaulichen. Dann würde ich die drei Punkte in R^3 einzeichnen und wenn ich die durch den Ursprung zeichne sind das die projektive Punkte oder? Anhand der Zeichnung würd ich sagen, dass es einen Dreieck gibt, aber das wäre keine mathematische Begründung. Leider weiß ich auch nicht mehr, weil ich die projektive Geometrie nicht verstehe. Vielen Dank im Voraus Meli


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, vielleicht solltest du für dich selbst erstmal die Begriffe klären. Was ist denn eine Gerade in $\mathbb R\mathbb P^2$? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Geraden in $\mathbb R\mathbb P^2$ und Unterräumen von $\mathbb R^3$? LG Nico\(\endgroup\)


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Meli
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

Hallo, eine projektive Gerade g in RP^2 ist eine Ebene durch den Ursprung in R^3 oder? Ich kann damit leider auch nichts anfangen. Gruß Meli


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo Meli, du solltest dich in diesem Fall mit den Begriffen auseinandersetzen und einfach mal ein bisschen damit "rumspielen" um ein Gefühl dafür zu bekommen. Vielleicht ist es auch instruktiv, wenn du dich zunächst mit der reellen projektiven Geraden $\mathbb R\mathbb P^1$ beschäftigst. Eine häufig anzutreffende Definition der reellen projektiven Räume $\mathbb R\mathbb P^n$ ist als Quotientenraum des $\mathbb R^{n+1}\setminus \lbrace 0\rbrace$ bezüglich der Äquivalenzrelation $$ (x_1,\dots,x_{n+1}) \sim (y_1,\dots,y_{n+1}) :\Longleftrightarrow \exists k\in \mathbb R^\times : (x_1,\dots,x_{n+1})=(ky_1,\dots,ky_{n+1}). $$ Genauer betrachtet man $\mathbb R^\times$ als die multiplikative Gruppe und dann die (Links-) Gruppenoperation $$ \mathbb R^\times \times \mathbb R^{n+1}\setminus \lbrace 0\rbrace\to \mathbb R^{n+1}\setminus \lbrace 0\rbrace, \ (k,x)\mapsto k\cdot x. $$ Man setzt dann $\mathbb R\mathbb P^n:=(\mathbb R^{n+1}\setminus \lbrace 0\rbrace)/\mathbb R^\times$. Long story short: Man betrachtet in deinem Fall im $\mathbb R^{3}$ alle Geraden, die durch den Ursprung verlaufen und identifiziert alle Punkte (außer den Ursprung) miteinander, die auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Für die Äquivalenzklasse eines Punktes $(a,b,c)$ schreibt man dann suggestiv $[a:b:c]$, wobei die Doppelpunkte andeuten mögen, dass Koordinaten aller Punkte $(x,y,z)\in [a:b:c]$ das selbe Verhältnis zueinander haben. So gesehen sind Punkte in $\mathbb R\mathbb P^2$ einfach Geraden im $\mathbb R^3$, aber ohne den Ursprung. Man kann sich $\mathbb R\mathbb P^2$ daher auch als die $2$-Sphäre $S^2$ vorstellen, bei der Antipodenpaare (gegenüberliegende Punkte) miteinander identifiziert wurden. Was meint man nun mit einer Geraden in $\mathbb R\mathbb P^2$? Man sagt, dass zwei Punkte $[a:b:c]$ und $[x:y:z]$ in einer Geraden liegen, wenn die zugehörigen Geraden im $\mathbb R^3$ in einer gemeinsamen Ebene durch den Ursprung liegen. Zwei verschiedene Punkte $[a:b:c]$ und $[x:y:z]$ liegen dabei immer in einer eindeutigen gemeinsamen Geraden, denn die zugehörigen verschiedenen Punkte $(a,b,c)$ und $(x,y,z)$ im $\mathbb R^3$ definieren eine eindeutige Ebene durch den Ursprung im $\mathbb R^3$. (In der projektiven Geometrie gilt nun auch die dazu duale Aussage: Zwei verschiedene projektive Geraden schneiden sich immer in genau einem Punkt.) Wenn du weißt, wie man solche Ebenen im $\mathbb R^3$ durch eine Gleichung beschreibt, dann solltest du nachprüfen können, ob deine Punkte in $\mathbb R\mathbb P^2$ in einer gemeinsamen Geraden liegen, oder nicht. Wenn du weitere Fragen hast, dann melde dich einfach wieder. Ich würde dir aber wirklich ans Herz legen wollen, dich erstmal ein bisschen mit diesen Konzepten auseinanderzusetzen. LG Nico\(\endgroup\)


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Meli
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-02 20:17

Hallo, erstmals Danke für die ausführliche Antwort. Ich melde mich wieder zurück, weil ich glaube ein "bisschen mehr verstanden zu haben, aber keine Garantie". Also wir haben den projektiven Raum P(V) über den k-Vektorraum V definiert, als die Menge der Nullpunktsgeraden in V, d.h. Nullpunktsgeraden := UVR der Dimension 1 und das gilt dim P(V) = dim(V) - 1 (d.h. der zugehörige Vektorraum hat immer eine Dimension höher.). Wir haben zusätzlich speziell für V=k^{n+1} die homogenen Koordinaten [x1:....:xn] = [(x1,...,xn)] auf P^n(k) = P(k^(n+1)) definiert. Wenn ich dass nun anwende sieht es so aus: Da P^n (k) = P(k^(n+1)) ist in dem Fall: P^2(R) = P(R^3). D.h. nach Definition meiner Vorlesung ist dann P(R^3) = P^2 (R) die Menge der Nullpunktsgeraden in R^3. D.h. die drei Punkte (die ich oben angegeben hatte) in P^(2)(R) sind Ursprungsgeraden Geraden in R^3 (per Definition meiner VL), aber eben Punkte in der Projektive Ebene P^(2)(k). Wir hatten als alternative P(V) definiert als V\{0}/~, wobei v~v', genau dann, wenn u in k^* gibt mit v=uv'. Mir fällt es immer noch schwer aus diesen beiden Definitionen, die Schlussfolgerung zu ziehen, dass die Punkte von P^2(R) in einer Geraden liegen, wenn die zughörigen Geraden in R^3 in einer gemeinsamen Ursprungsebene liegen. Muss man das Wissen oder kann man das nicht per Definition Schlussfolgern, dass das gilt und wenn man das per Definition Schlussfolgern kann, was ist den die Erklärung dazu? Vielen Dank schon Mal. Gruß Meli


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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-06 15:48

Hallo, nun irgendwo muss natürlich der Begriff "Gerade" auch einmal definiert worden sein. Wenn du mir verrätst, wie der Begriff in deiner Vorlesung definiert wurde, dann kann ich dir deine Frage beantworten. LG Nico


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Meli
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-06 16:14

Hallo, also wir haben den Begriff "Gerade" nicht wirklich definiert in der VL. Ich glaube das wird vorausgesetzt. Wir haben die Aufgaben gelöst durch Einbettung: Also (x,y)->[x:1:y]


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-06 17:09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Dann muss man notwendig mit etwas "gesundem Verstand" an die Sache herangehen und in Analogie arbeiten. Wenn ein Punkt in der projektiven Ebene einer Geraden im $\mathbb R^3$ entspricht, dann sollte eben eine Gerade in der projektiven Ebene einer Ebene im $\mathbb R^3$ entsprechen. Irgendeine Form von Axiomen oder Begriffserklärungen sollten aber schon vorkommen, sonst muss man eben "die naheliegende Definition" verwenden. LG Nico\(\endgroup\)


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