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  Pareto-Verteilung und Gedächtnislosigkeit |
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PeterMeier123
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 |  Themenstart: 2022-05-18
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Guten Tag 🙂
Nehmen wir an, dass $Y = \alpha e^{X}$ ist, wobei $X$ exponentiell verteilt ist mit der Rate $\lambda$.
Ich soll nun die Eigenschaft der Gedächtnislosigkeit verwenden, um zu argumentieren, dass die bedingte Verteilung von $Y$ bei $Y > y_0 > \alpha$ Pareto verteilt mit den Parametern $y_0$ und $\lambda$ ist.
Die Gedächtnislosigkeit sagt ja folgendes aus:
$$P(X > s + t|X > t) = e^{-\lambda s}$$
Also spielt $t$ hier keine Rolle, ich habe die Rechnung hier für die Exponentialverteilung einmal verkürzt dargestellt.
Jetzt ist meine Frage, wie es hier weitergeht. Wie kann ich das $Y = \alpha e^{X}$ ins Spiel bringen und mit der Gedächtnislosigkeit, dann die Behauptung zeigen?
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luis52
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18
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\newcommand{\veps}{\varepsilon}
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Moin, ich vermute, dass $\alpha>0$ gilt ...
Ich ueberblicke nicht, inwieweit du die Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung verwenden kannst, aber ich wuerde mit der bedingten Verteilung von $(Y\mid Y>y_0)$ starten. Deren Verteilungsfunktion berechnet sich gemaess
\[P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=\cdots\]
Fuehre z.B. $P(Y>y_0)$ auf die Verteilung von $X$ zurueck.
vg Luis
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PeterMeier123
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Hi Luis!
\quoteon
Fuehre z.B. $P(Y>y_0)$ auf die Verteilung von $X$ zurueck.
\quoteoff
Damit meinst du vllt. sowas wie:
$P(Y>y_0) = 1 - P(Y
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luis52
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19
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\quoteon(2022-05-19 11:16 - PeterMeier123 in Beitrag No. 2)
Hi Luis!
\quoteon
Fuehre z.B. $P(Y>y_0)$ auf die Verteilung von $X$ zurueck.
\quoteoff
Damit meinst du vllt. sowas wie:
$P(Y>y_0) = 1 - P(Y\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Danke Luis für die Bestätigung.
Das hieße dann weiter, da $X$ exponentiell verteilt ist:
$P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$
Letzteres wäre dann doch Pareto verteilt, oder? Es sieht zumindest stark danach aus...
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luis52
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-19
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\quoteon(2022-05-19 14:25 - PeterMeier123 in Beitrag No. 4)
Danke Luis für die Bestätigung.
Das hieße dann weiter, da $X$ exponentiell verteilt ist:
$P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$
Letzteres wäre dann doch Pareto verteilt, oder? Es sieht zumindest stark danach aus...
\quoteoff
Peter, du musst etwas behutsamer argumentieren. Es geht um die Verteilung von $(Y\mid Y>y_0)$ mit $y_0>\alpha>0$(!) Dazu genuegt es, die Verteilungsfunktion zu bestimmen, also
\[P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}\]
fuer $y\in\IR$. Mach dabei eine Fallunterscheidung. \(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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\quoteon
fuer $y\in\IR$. Mach dabei eine Fallunterscheidung.
\quoteoff
Du hast natürlich Recht! Ich habe ja jetzt erst $P(Y>y_0)$ bestimmt...
Gut, für $P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=\cdots$ fehlt mir dann noch der Teil mit $P(Y> y\cap Y>y_0)$.
Du sprichst von einer Fallunterscheidung, das sehe ich noch nicht ganz. Kannst du das weiter ausführen? Geht das in die Richtung $y > y_0$ und $y < y_0$?
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luis52
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-19
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\quoteon(2022-05-19 17:12 - PeterMeier123 in Beitrag No. 6)
Du sprichst von einer Fallunterscheidung, das sehe ich noch nicht ganz. Kannst du das weiter ausführen? Geht das in die Richtung $y > y_0$ und $y < y_0$?
\quoteoff
Genau, genauer $y > y_0$ und $y \le y_0$. \(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19
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Gut und danke! 🙂
Interessant für die Fallunterscheidung ist dann ja $P(Y> y\cap Y>y_0)$, also für den Fall $y > y_0$ wäre die Schnittmenge $P(Y > y)$ und für den Fall $y \leq y_0$ müsste dies doch $P(Y \geq y_0)$ sein?
Das würde ich auf ähnliche Weise berechnen, wie ich es in https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=258749&start=0#p1879031 getan habe...
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luis52
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-19
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\quoteon(2022-05-19 19:38 - PeterMeier123 in Beitrag No. 8)
Gut und danke! 🙂
Interessant für die Fallunterscheidung ist dann ja $P(Y> y\cap Y>y_0)$, also für den Fall $y > y_0$ wäre die Schnittmenge $P(Y > y)$ und für den Fall $y \leq y_0$ müsste dies doch $P(Y \geq y_0)$ sein?
\quoteoff
👍
\quoteon(2022-05-19 19:38 - PeterMeier123 in Beitrag No. 8)
Das würde ich auf ähnliche Weise berechnen, wie ich es in https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=258749&start=0#p1879031 getan habe...
\quoteoff
Na dann mal los.
vg Luis\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Gut.
Für den Fall $y > y_0$:
Mit
$P(Y>y_0) = 1 - P(Yy) = 1 - P(Yy_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}$
Weiter gehts mit:
$P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$
und
$P(X < \ln(y) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y}{\alpha})^\lambda$
einsetzen:
$P(Y\le y\mid Y>y_0) = \cdots =1 - \frac{P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - \frac{1 - (\frac{y}{\alpha})^\lambda}{1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda}$
Geht das in die richtige Richtung?
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luis52
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 09:36 - PeterMeier123 in Beitrag No. 10)
Weiter gehts mit:
$P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - (\frac{y_0}{\alpha})^\lambda$
\quoteoff
👎
\[P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha)) = 1 - e^{-\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))}\]\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Ah, ich hab das Minus vergessen.... Mea culpa.
Richtig müsste dann sein:
$P(Y\le y\mid Y>y_0) = \cdots =1 - \frac{P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - \frac{1 - e^{-\lambda(\ln(y) - \ln(\alpha))}}{1 - e^{-\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))}} = 1 - \frac{1-(\frac{\alpha}{y})^{\lambda}}{1-(\frac{\alpha}{y_0})^{\lambda}}$
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luis52
Senior
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 10:31 - PeterMeier123 in Beitrag No. 12)
Mea culpa.
\quoteoff
Allerdings! 😄
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PeterMeier123
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Luis was sagst du zu meiner Verbesserung im vorherigen Beitrag?
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luis52
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 10:40 - PeterMeier123 in Beitrag No. 14)
Luis was sagst du zu meiner Verbesserung im vorherigen Beitrag?
\quoteoff
Mir ist durch die Lappen gegangen, dass ein Fehler in deinem Beitrag #10 ist. Korrekt ist:
\[P(Y\le y\mid Y>y_0)=1-P(Y> y\mid Y>y_0)=1-\frac{P(Y> y\cap Y>y_0)}{P(Y>y_0)}=1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{1-P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}\]
Es ist m.E. leichter, wenn du nur $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)}$ weiter umformst ...
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PeterMeier123
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon
Mir ist durch die Lappen gegangen, dass ein Fehler in deinem Beitrag #10 ist.
\quoteoff
Stimmt! Da ist mit der 1 + ... Teil abhanden gekommen :(
\quoteon
Es ist m.E. leichter, wenn du nur $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)}$ weiter umformst ...
\quoteoff
Also in der Form, wie du das schon mit $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{1-P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}$ gemacht hast?
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luis52
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| Beitrag No.17, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 11:22 - PeterMeier123 in Beitrag No. 16)
Also in der Form, wie du das schon mit $1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))}{1-P(X < \ln(y_0) - \ln(\alpha))}$ gemacht hast?
\quoteoff
Ja, aber lass den hinteren Teil weg. $P(Y>y)$ z.B. ist schoen einfach.\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Verstehe ich noch nicht ganz. Also $P(Y>y) = 1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))$, dann kommt man doch wieder genau auf diesen Teil. Ich sehe gerade nicht, was du mit einfach meinst 😉
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luis52
Senior
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| Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 11:40 - PeterMeier123 in Beitrag No. 18)
Verstehe ich noch nicht ganz. Also $P(Y>y) = 1-P(X < \ln(y) - \ln(\alpha))$, dann kommt man doch wieder genau auf diesen Teil. Ich sehe gerade nicht, was du mit einfach meinst 😉
\quoteoff
$P(X>z)=e^{-\lambda z}$ ist in diesem Fall direkter als $P(X\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Ok das habe ich fast schon vermutet... Beides geht...
Gut wir waren bei:
$1 - \frac{P(Y>y)}{P(Y>y_0)} = 1 - \frac{P(X>\ln(y) - \ln(\alpha))}{P(X>\ln(y_0) - \ln(\alpha))} = 1 - \frac{e^{-\lambda(\ln(y) - \ln(\alpha))}}{e^{-\lambda(\ln(y_0) - \ln(\alpha))}} = 1 - \frac{(\frac{\alpha}{y})^{\lambda}}{(\frac{\alpha}{y_0})^{\lambda}} = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$
Ich hoffe, dass hier jetzt kein Tippfehler drin ist...
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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
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| Beitrag No.21, eingetragen 2022-05-20
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Das sieht sehr gut aus. Und wie lautet nun abschliessend die Verteingsfunktion von $(Y\mid Y>y_0)$?
vg Luis\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Danke Luis!
Für den Fall $y > y_0$:
$(Y\mid Y>y_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so stehenlassen darf?!
Warum heißt es eigentlich $(Y\mid Y>y_0)$ und nicht $(Y < y\mid Y>y_0)$, also warum ist da nur die Rede von groß $Y$ ohne "Zusatz"?
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luis52
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| Beitrag No.23, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 13:07 - PeterMeier123 in Beitrag No. 22)
Danke Luis!
Für den Fall $y > y_0$:
$(Y\mid Y>y_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$
Ich bin mir aber nicht sicher, ob man das so stehenlassen darf?!
\quoteoff
Leider nein, s.u.
\quoteon(2022-05-20 13:07 - PeterMeier123 in Beitrag No. 22)
Warum heißt es eigentlich $(Y\mid Y>y_0)$ und nicht $(Y < y\mid Y>y_0)$, also warum ist da nur die Rede von groß $Y$ ohne "Zusatz"?
\quoteoff
$(Y\mid Y>y_0)$ bescheibt eine Zufallsvariable, naemlich die Zufallsvariable $Y$, wenn man weiss, dass $Y>y_0$ eingetreten ist. Dagegen beschreibt $(Y < y\mid Y>y_0)$ ein Ereignis, naemlich dass $Y$ einen kleineren Wert als $y$ annimmt, wenn man weiss, dass $Y>y_0$ eingetreten ist. Insofern macht $(Y\mid Y>y_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ keinen Sinn, wohl aber $P(Yy_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$.
Die Verteilungsfunktion von $(Y < y\mid Y>y_0)$ ist $F:\IR\to\IR$ mit
\[
F(y)=
\begin{cases}
1 - \left(\dfrac{y_0}{y}\right)^{\lambda} ,& \text{$y>y_0$;} \\[1ex]
0,& \text{sonst,}
\end{cases}
\]
die Verteilungsfunktion einer lupenreinen Pareto-Verteilung mit den Parametern $y_0$ und $\lambda$. 😉
vg Luis
\(\endgroup\)
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PeterMeier123
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Dabei seit: 09.07.2018
Mitteilungen: 162
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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Danke Luis!
Ich hatte auch erst $(Yy_0) = 1 - (\frac{y_0}{y})^{\lambda}$ stehen für $y > y_0$. Habs dann aber raus genommen...
Ja, die Pareto-Verteilung hat man am Ende gut erkannt 🙂
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