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Analysis » Folgen und Reihen » Folgen mit q^(n-1) zur geometrischen Reihe
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Universität/Hochschule Folgen mit q^(n-1) zur geometrischen Reihe
marathon
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  Themenstart: 2022-05-18

hallo ich springe wieder zu einem anderen Thema um die Formel bei der Aufsummierung mit \ (q^n -1)/(q-1) herzuleiten wird das q+q^2+q^3+q^4.....q^n mit (q-1) multipliziert wobei sich alles bis auf (q^n -1) wegkürzt und dann eben noch durch (q-1) geteilt dies kann ich inzwischen recht gut nachvollziehen nur genaugenommen kommt man ja wenn ich die Folge bis q^n laufen lasse was auch logisch erscheint bei n Elementen auf (q^(n+1)-1)/(q-1) in einigen mathebüchern erfolgt die Aufsummierung aber nur bis q^(n-1)was dann zu dem erwünschten (q^n -1)/(q-1) führt aber so die Anfrage summiert man überhaupt nur bis n-1 bei vermeintlich n Elementen ist mir nicht ganz klar Danke im Voraus mfg Markus


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, mir ist nicht ganz klar, was die Frage ist (der Satzbau ergibt keinen Sinn). Aber vermutlich hilft es Dir bereits darauf zu achten, ob der erste Summand $1$ oder $q$ ist.\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-18

Ich habe eine ungefähre Vermutung, was Du meinst; aber glauben heißt nunmal nicht wissen. So könntest Du, was Du wissen willst, an einem konkreten Beispiel thematisieren?


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich denke gemeint ist Folgendes: Man möchte $$ 1+q+q^2+\dotso+q^{n-1} $$ berechnen. Die beschriebene Vorgehensweise liefert $$ 1+q+q^2+\dotso+q^{n-1}=\frac{q^n-1}{q-1} $$ so lange $q\neq 1$ gilt. Der TS ist nun darüber verwundert, warum in der Formel $q^n$ vorkommt, wenn man doch nur bis $q^{n-1}$ summiert hat. Das zusätzliche $q$ entsteht dabei eben bei der Multiplikation mit $q-1$. Aber das ist nur eine Vermutung, dass das gemeint ist. LG Nico \(\endgroup\)


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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo zusammen, \quoteon(2022-05-18 18:31 - nzimme10 in Beitrag No. 3) Der TS ist nun darüber verwundert, warum in der Formel $q^n$ vorkommt, wenn man doch nur bis $q^{n-1}$ summiert hat. Das zusätzliche $q$ entsteht dabei eben bei der Multiplikation mit $q-1$. Aber das ist nur eine Vermutung, dass das gemeint ist. \quoteoff Dem steht folgender zugegebenermaßen kryptische Satz entgegen: \quoteon(2022-05-18 15:50 - marathon im Themenstart) in einigen mathebüchern erfolgt die Aufsummierung aber nur bis q^(n-1)was dann zu dem erwünschten (q^n -1)/(q-1) führt aber so die Anfrage summiert man überhaupt nur bis n-1 bei vermeintlich n Elementen ist mir nicht ganz klar \quoteoff @marathon: deine Vermutung ist richtig. Du kannst dich leicht davon überzeugen, wenn du etwa mit \(n=m-1\) in die ursprüngliche Form der Summe eingehst. Im Themenstart ist aber ein kapitaler Fehler, auf den möchte ich noch einmal explizit hinweisen. Die Summierung der geometrischen Reihe geschieht immer ab \(q^0=1\), es ist also (für \(q\neq 1\)) \[\sum_{k=0}^n q^k=1+q+\dotsc+q^n=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}\] Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-18

Aha, dann wäre es gut, wenn der TS das so aufschreiben würde, wie man es gemeinhin überall macht, so wie es dann auch andere gemacht haben. Für die 'endliche geometrische Summe' ist bekanntlich $ \displaystyle\sum\limits_{n=0}^N q^n =\dfrac{1-q^{N+1}}{1-q} $ für $q\neq 1$ und beliebiges natürliches $N$ (Beweis: siehe wikipedia etc.). Das kann man, bei Bedarf, jetzt noch für eine untere Grenze $k$, mit $ 0 \leq k < N$, verallgemeinern: $ \displaystyle\sum\limits_{n=k}^N q^n =\left( \displaystyle\sum\limits_{n=0}^N q^n \right) -\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{k-1} q^n =\dfrac{1-q^{N+1}}{1-q} - \dfrac{1-q^{(k-1)+1}}{1-q} $ Also: $ \displaystyle\sum\limits_{n=k}^N q^n =\dfrac{q^k-q^{N+1}}{1-q}. $ Da kann er jetzt für $k$ oder $N$ einsetzen, was ihm beliebt.


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marathon
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

dies muss ich erst verarbeiten aber bei aller ver kryptologisierten vermeintlich häretischen Aussagemodi meinerseits sorry ich versuche oftmals in der meinigen überschraubt affektiert eklektizistischen Art und Weise Dinge auszudrücken die schlicht und sachlich viel prägnanter in der gegebenen Fragestellung auszudrücken wären und produzier natürlich dabei bisweilen Satzbautechnische Katastophenleistungen . Aber es stimmt eigentlich wurde der Kern meiner Anfrage schon richtig dechiffriert... muss dies nun alles erst verarbeiten nzimme10 besonderen und auch Diophant erst die Antworten sondieren soviele fähig Köpfe als Nachhilfe zu engagieren wäre da ja ein exorbitantes!!!Vermögen weg,,,, Danke sehr!!!!!!! sehr!!!!!!


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