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Universität/Hochschule J Limes und stetige Funktoren
eisenstein01
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  Themenstart: 2022-05-18

Hi Leute, mal wieder eine Frage aus dem Bereich der Kategorientheorie: ich möchte zeigen, dass der Funktor $T: \textbf{Ab} \rightarrow \textbf{Ab}, A \mapsto T(A) := \{a \in A | \exists n \in \mathbb N : na=0\}$ nicht stetig ist. Idee: Ich konstruiere mir ein Diagramm in $\textbf{Ab}$ mit einem Limes $X$ und zeige dann, dass das enstsprechende Diagramm unter dem Funktor $T$ entweder a) keinen Limes besitzt oder b) dieser nicht mit $limT(X)$ übereinstimmt. Frage: 1) Ist das überhaupt machbar? 2) Wie kann ich zeigen, dass ein Diagramm überhaupt einen Limes besitzt?


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Kezer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-18

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eisenstein01
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 20:37 - Kezer in Beitrag No. 1) 1) Du hast die Definition wiedergegeben, das muss irgendwie hineingehen. Allerdings trifft dein Fall a) nie ein, denn $\mathbf{Ab}$ is vollständig, d.h. hat alle kleine Limites. 2) Beispielsweise über die Definition. Es bietet sich an, nicht mit zu komplizierten Limites anzufangen, sondern mit Beispiele, über die du ein besseres Verständnis hast. Tipp: Zyklische Gruppen sind Torsionsgruppen und Produkte sind Limites. \quoteoff Das heißt, ich könnte mir dann 1) eine Familie abelscher Gruppen anschauen und mir diese dann als Knoten eines Graphens ohne Kanten vorstellen 2) Das kartesische Produkt mit komponenterweiser Verknüpfung dieser Gruppen dann als Limes des Diagramms auffassen 3) Mir dann die Familie der Bilder anschauen und zeigen, dass das Produkt dieser Familie nicht mit dem Bild des Produktes unter T übereinstimmt? Mir fehlt hierbei dann aber Zyklizität...


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-18

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eisenstein01
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 21:06 - Kezer in Beitrag No. 3) 1), 2) Ja, der universelle Kegel über das von dir genannte Diagram ist per definitionem das Produkt. Es stimmt mit dem üblichen Produkt in $\Ab$ überein, da das übliche Produkt in $\Ab$ die entsprechende universelle Eigenschaft erfüllt. Mein Vorschlag ist es also zu zeigen, dass für abelsche Gruppe $A_i$ der Morphismus $$T \left(\prod_{i \in I} A_i \right) \to \prod_{i \in I} T(A_i)$$ nicht immer ein Isomorphismus ist (und habe auch bereits einen Tipp gegeben, was für $A_i$ wählbar ist). Ich sehe gerade, dass die Definition stetiger Funktoren auf nLab falsch ist. Es genügt nicht, dass die Objekte abstrakt isomorph sind. Stattdessen muss die vom Limes induzierte natürliche Abbildung ein Isomorphismus sein. Siehe auch Brandenburg, S. 152, wo er explizit darauf hinweist. \quoteoff Achsoo, und das ist dann äquivalent dazu, dass T nicht stetig ist, da sonst der kanonische Morphismus $T(limX) \rightarrow limT(X)$ ein Iso wäre?


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Kezer
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-18

Nicht äquivalent, es impliziert. (Das Produkt ist nur eines von vielen möglichen Limites.) Ja, der Limes hier ist das Produkt. P.S.: \lim.


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eisenstein01
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 21:28 - Kezer in Beitrag No. 5) Nicht äquivalent, es impliziert. (Das Produkt ist nur eines von vielen möglichen Limites.) Ja, der Limes hier ist das Produkt. P.S.: \lim. \quoteoff Wäre dann folgendes ausreichend: $T(\mathbb Z /n \mathbb Z \times \mathbb Z) = \emptyset \ncong T(\mathbb Z / n \mathbb Z) \times T(\mathbb Z) = \mathbb Z/ n\mathbb Z$ ?


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Kezer
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-18

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eisenstein01
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-18

\quoteon(2022-05-18 21:52 - Kezer in Beitrag No. 7) \quoteon(2022-05-18 21:46 - eisenstein01 in Beitrag No. 6) $T(\mathbb Z /n \mathbb Z \times \mathbb Z) = \emptyset$ \quoteoff Bist du dir sicher? \quoteoff Ah Mist: $T(\mathbb Z /n \mathbb Z \times \mathbb Z) = \{(a,0) | a \in \mathbb Z /n \mathbb Z \}$. Wenn ich $\mathbb Z$ durch $\mathbb N$ ersetze, sollte es doch passen oder?


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Kezer
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-05-19

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Triceratops
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-18 20:14 - eisenstein01 im Themenstart) ich möchte zeigen, dass der Funktor $T: \textbf{Ab} \rightarrow \textbf{Ab}, A \mapsto T(A) := \{a \in A | \exists n \in \mathbb N : na=0\}$ nicht stetig ist. \quoteoff Der Funktor ist stetig, weil es sich um den Identitätsfunktor $T(A)=A$ handelt (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906).


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\quoteon(2022-05-19 10:29 - Triceratops in Beitrag No. 10) \quoteon(2022-05-18 20:14 - eisenstein01 im Themenstart) ich möchte zeigen, dass der Funktor $T: \textbf{Ab} \rightarrow \textbf{Ab}, A \mapsto T(A) := \{a \in A | \exists n \in \mathbb N : na=0\}$ nicht stetig ist. \quoteoff Der Funktor ist stetig, weil es sich um den Identitätsfunktor $T(A)=A$ handelt (vgl. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906). \quoteoff Ok, dann muss das ein Fehler auf dem Zettel sein. Dort sollte gezeigt werden, dass $T$ nicht stetig ist, aber mit endlichen Limites vertauscht...


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Triceratops
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-19

Es muss halt $n \geq 1$ ergänzt werden (oder besser noch: $n \in \IZ \setminus \{0\}$, was das dann auf andere Moduln verallgemeinerbar ist).


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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 10:33 - Triceratops in Beitrag No. 12) Es muss halt $n \geq 1$ ergänzt werden (oder besser noch: $n \in \IZ \setminus \{0\}$, was das dann auf andere Moduln verallgemeinerbar ist). \quoteoff Ok, aber wenn $\mathbb N$ ohne die Null aufgefasst wird, ist das doch auch ausreichend oder?


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Triceratops
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-19

Jein. Einerseits natürlich Ja, dann steckt halt $n \geq 1$ bereits automatisch als Bedingung drin. Andererseits nein, weil man damit die übliche Bedeutung von $\IN$ überschreibt. Es sollte nicht jeder Autor seine eigene Notationssuppe kochen. (Die Kritik richtet sich nicht an dich, sondern an den Autor der Aufgabe.) Wenn wir uns darauf einigen, dass $\pi := 4$ eine falsche (im Sinne: in der mathematischen Community hochgradig unpraktische und verwirrende) Definition ist, dann ist auch $\IN := \{1,2,3,\dotsc\}$ eine falsche Definition. Mehr dazu wie gesagt bei https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906.


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eisenstein01
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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 10:40 - Triceratops in Beitrag No. 14) Jein. Einerseits natürlich Ja, dann steckt halt $n \geq 1$ bereits automatisch als Bedingung drin. Andererseits nein, weil man damit die übliche Bedeutung von $\IN$ überschreibt. Es sollte nicht jeder Autor seine eigene Notationssuppe kochen. (Die Kritik richtet sich nicht an dich, sondern an den Autor der Aufgabe.) Wenn wir uns darauf einigen, dass $\pi := 4$ eine falsche (im Sinne: in der mathematischen Community hochgradig unpraktische und verwirrende) Definition ist, dann ist auch $\IN := \{1,2,3,\dotsc\}$ eine falsche Definition. Mehr dazu wie gesagt bei https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1906. \quoteoff Ok, danke, ja ich verstehe. \quoteon(2022-05-19 06:49 - Kezer in Beitrag No. 9) Ist $\N$ eine abelsche Gruppe? \quoteoff Ja nein, klar ist es nicht; das war eine Umnachtung bei später Stunde gepaart mit Frustration über diese Aufgabe :D Also wenn ich das recht verstehe komme ich auch nicht zu dem Beweis, wenn ich mir zwei explizite abelsche Gruppen heraussuche und zeigen will, dass ein solcher Iso nicht existiert, denn: nach dem zweiten Teil der Aufgabe soll ich ja gerade zeigen, dass T mit endlichen Limites vertauscht oder? Das hieße ja, dass ich mir andere Familie (zyklischer?) Gruppen konstruieren muss. Stimmt das so? Aber da komme ich nicht wirklich weiter...


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Triceratops
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-05-19

Ja, endliche Produkte werden von $T$ erhalten, das kannst du direkt und ganz einfach nachrechnen. Vielleicht wäre es sogar gut, das zuerst zu machen, weil man dann auch besser sieht, was bei unendlichen Produkten schief gehen könnte. Es gilt auf jeden Fall $T(\prod_{i \in I} A_i) \subseteq \prod_{i \in I} T(A_i)$ (beides sind Untergruppen von $\prod_{i \in I} A_i$, und die Inklusion ist gerade der kanonische Morphismus, der untersucht werden muss). Überlege dir einmal, was der Unterschied zwischen den beiden Gruppen ist. Danach sollte klar sein, wie man die $A_i$ wählen muss, sodass keine Gleichheit besteht.


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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-18 21:06 - Kezer in Beitrag No. 3) Ich sehe gerade, dass die Definition stetiger Funktoren auf nLab falsch ist. Es genügt nicht, dass die Objekte abstrakt isomorph sind. Stattdessen muss die vom Limes induzierte natürliche Abbildung ein Isomorphismus sein. Siehe auch Brandenburg, S. 152, wo er explizit darauf hinweist. \quoteoff Das verwundert mich stark, aber ja, die Definition dort ist falsch. Du kannst unten auf Edit klicken und die Seite bearbeiten bzw. korrigieren. Auch die Aussage bei nlab, dass ein Funktor genau dann stetig ist, wenn er Produkte und Equalizer erhält, weil Limites sich immer aus Produkten und Equalizern zusammensetzen, stimmt nicht immer (zum Beispiel wenn die Ausgangskategorie keine Produkte, aber eben andere Typen von Limites hat). Daher auch die Annahme in Korollar 6.4.6 in meinem Buch, dass die Ausgangskategorie vollständig ist (die man freilich noch etwas abschwächen, aber eben nicht weglassen kann). Siehe auch Aufgabe 6.28: Der Kolimes aller endlichen Untergruppen von $\IQ/\IZ$ (mit $\subseteq$ partiell geordnet) existiert in $\mathbf{FinAb}$, er ist $0$, aber das Koprodukt all dieser Untergruppen existiert in $\mathbf{FinAb}$ nicht. Der Kolimes setzt sich hier also nicht aus einem Koprodukt zusammen (einfach weil nicht genügend Koprodukte existieren).


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 14:54 - Triceratops in Beitrag No. 16) Ja, endliche Produkte werden erhalten, das kannst du direkt und ganz einfach nachrechnen. Vielleicht wäre es sogar gut, das zuerst zu machen, weil man dann auch besser sieht, was bei unendlichen Produkten schief gehen könnte. \quoteoff Achso, also kann man die Eigenschaft, dass Funktoren mit endlichen Limites vertauschen letztlich hier auch so formulieren: $(I, \emptyset)$ ger. Graph ohne Kanten mit endlicher Indexmenge $I$ und $X := (X_i)$ mit $i \in I$. Dann hat T die geforderte Eigenschaft, genau dann wenn $T(limX) = limT(X)$ (dann würde mir hier natürlich auch die Analogie zur Analysis klarer werde...) Wir hatten das in der VL allgemein so definiert, dass dann das Bild eines Kegels an ein Diagramm $X$ ein universeller Kegel an $T(X)$ ist...


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Triceratops
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-05-19

Welches Diagramm $X$ du hier in der Definition nutzt, spielt keine Rolle. Die Bedingung ist nicht $T(\lim(X))=\lim(T(X))$, sondern dass 1) $\lim(T(X))$ existiert, 2) der natürliche Morphismus $\alpha : T(\lim(X)) \to \lim(T(X))$ (der durch $p_i \circ \alpha = T(p_i)$ charakterisiert ist) ein Isomorphismus ist. Das ist äquivalent dazu, dass das Bild eines universellen Kegels ein universeller Kegel ist. Beispiel: $T$ erhält genau dann Produkte, wenn für alle Familien $(X_i)_{i \in I}$ von Objekten, deren Produkt existiert, auch die Familie $(T(X_i))_{i \in I}$ ein Produkt besitzt, und der natürliche Morphismus $\alpha : T(\prod_{i \in I} X_i) \to \prod_{i \in I} T(X_i)$ (der durch $p_i \circ \alpha = T(p_i)$ charakterisiert ist) ein Isomorphismus ist. Und noch zur Erinnerung: \quoteon(2022-05-18 21:28 - Kezer in Beitrag No. 5) P.S.: \lim. \quoteoff


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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 15:12 - Triceratops in Beitrag No. 19) Welches Diagramm $X$ du hier in der Definition nutzt, spielt keine Rolle. Die Bedingung ist nicht $T(\lim(X))=\lim(T(X))$, sondern dass 1) $\lim(T(X))$ existiert, 2) der natürliche Morphismus $\alpha : T(\lim(X)) \to \lim(T(X))$ (der durch $p_i \circ \alpha = T(p_i)$ charakterisiert ist) ein Isomorphismus ist. Das ist äquivalent dazu, dass das Bild eines universellen Kegels ein universeller Kegel ist. Beispiel: $T$ erhält genau dann Produkte, wenn für alle Familien $(X_i)_{i \in I}$ von Objekten, deren Produkt existiert, auch die Familie $(T(X_i))_{i \in I}$ ein Produkt besitzt, und der natürliche Morphismus $\alpha : T(\prod_{i \in I} X_i) \to \prod_{i \in I} T(X_i)$ (der durch $p_i \circ \alpha = T(p_i)$ charakterisiert ist) ein Isomorphismus ist. Und noch zur Erinnerung: \quoteon(2022-05-18 21:28 - Kezer in Beitrag No. 5) P.S.: \lim. \quoteoff \quoteoff Ok, aber wenn du sagst, dass $X$ beliebig sein kann, dann muss der Limes ja nicht zwingend ein Produkt sein oder? Wenn ich dann also nur zeigen würde, dass Produkte erhalten bleiben, würde ich das dann nur für einen Spezialfall von Diagrammen in $\textbf{Ab}$ zeigen, oder?


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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-05-19

\quoteon(2022-05-19 15:42 - eisenstein01 in Beitrag No. 20) Ok, aber wenn du sagst, dass $X$ beliebig sein kann, \quoteoff Das bezog sich natürlich auf die Definition eines stetigen Funktors. In deiner Erklärung dazu hattest du eine spezielle Form von $X$ angenommen, die aber nicht nötig ist. In der Aufgabe ist das natürlich anders. Wir kommen irgendwie vom Thema ab. Der letzte inhaltliche Hinweis stand bei Beitrag No. 16 und er wartet auf deine Ideen. :)


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\quoteon(2022-05-19 14:54 - Triceratops in Beitrag No. 16) Ja, endliche Produkte werden von $T$ erhalten, das kannst du direkt und ganz einfach nachrechnen. Vielleicht wäre es sogar gut, das zuerst zu machen, weil man dann auch besser sieht, was bei unendlichen Produkten schief gehen könnte. Es gilt auf jeden Fall $T(\prod_{i \in I} A_i) \subseteq \prod_{i \in I} T(A_i)$ (beides sind Untergruppen von $\prod_{i \in I} A_i$, und die Inklusion ist gerade der kanonische Morphismus, der untersucht werden muss). Überlege dir einmal, was der Unterschied zwischen den beiden Gruppen ist. Danach sollte klar sein, wie man die $A_i$ wählen muss, sodass keine Gleichheit besteht. \quoteoff Also zu dem 1) ersten Teil der Aufgabe, in dem man zeigen soll, dass $T$ mit endlichen Limites vertauscht: Da bin ich auf die Idee gekommen, zu zeigen, dass $T$ endliche Produkte und Equalizer erhält. Bei endlichen Produkten ist das kein Problem, bei Equalizern schaffe ich das nicht... 2) zweiten Teil, in dem man zeigen soll, dass $T$ nicht stetig ist: Ich bin nicht ganz hinter die Struktur der beiden Gruppen gekommen doch habe die Vermutung, dass es etwas mit den Restklassenringen zu tun hat... Ich versuche gerade das ganze mit $(A_i) := (\mathbb Z / n\mathbb Z)$ zu lösen...


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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-05-20

1) Das ist eine gute Idee. Was ist das Problem bei den Equalizern? Der Beweis schreibt sich von selbst hin (https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805) wenn du die konkrete Konstruktion des Equalizers $\mathrm{eq}(f,g : A \to B) = \{x \in A : f(x)=g(x)\}$ und eben die Definition von $T$ benutzt. 2) Ja, genau. Du kannst als Indexmenge $\IN^+$ nehmen und $A_n := \IZ/n\IZ$.


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  Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-20 09:50 - Triceratops in Beitrag No. 23) 1) Das ist eine gute Idee. Was ist das Problem bei den Equalizern? Der Beweis schreibt sich von selbst hin (https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805) wenn du die konkrete Konstruktion des Equalizers $\mathrm{eq}(f,g : A \to B) = \{x \in A : f(x)=g(x)\}$ und eben die Definition von $T$ benutzt. 2) Ja, genau. Du kannst als Indexmenge $\IN^+$ nehmen und $A_n := \IZ/n\IZ$. \quoteoff Achso, also ist bei den Equalizern $T(eq(f,g)) = eq(T(f),T(g))$ zu zeigen? Ich habe das in Diagrammen gedacht...


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Triceratops
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  Beitrag No.25, eingetragen 2022-05-20

Siehe Beitrag 19. Es ist zu zeigen, dass der natürliche Morphismus $T(\mathrm{eq}(f,g)) \to \mathrm{eq}(T(f),T(g))$ ein Isomorphismus ist. Hier sind beide Seiten Untergruppen von $T(A)$ (wenn $f,g : A \to B$) und der natürliche Morphismus ist gerade eine Inklusion (zeige das!). Deine Aufgabe ist hier also tatsächlich, Gleichheit (als Untergruppen) zu zeigen.


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eisenstein01
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  Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

\quoteon(2022-05-20 10:01 - Triceratops in Beitrag No. 25) Siehe Beitrag 19. Es ist zu zeigen, dass der natürliche Morphismus $T(\mathrm{eq}(f,g)) \to \mathrm{eq}(T(f),T(g))$ ein Isomorphismus ist. Hier sind beide Seiten Untergruppen von $T(A)$ (wenn $f,g : A \to B$) und der natürliche Morphismus ist gerade eine Inklusion (zeige das!). Deine Aufgabe ist hier also tatsächlich, Gleichheit (als Untergruppen) zu zeigen. \quoteoff Alles klar, danke! Endlich diese Aufgabe beendet :D


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Kezer
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  Beitrag No.27, eingetragen 2022-05-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) \quoteon(2022-05-19 22:37 - eisenstein01 in Beitrag No. 22) 2) zweiten Teil, in dem man zeigen soll, dass $T$ nicht stetig ist: Ich bin nicht ganz hinter die Struktur der beiden Gruppen gekommen doch habe die Vermutung, dass es etwas mit den Restklassenringen zu tun hat... Ich versuche gerade das ganze mit $(A_i) := (\mathbb Z / n\mathbb Z)$ zu lösen... \quoteoff Es sind übrigens keine Restklassenringe, sondern zyklische Gruppen. Wir betrachten die Kategorie $\mathbf{Ab}$, die Objekte besitzen keine Ringstruktur.\(\endgroup\)


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