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Strukturen und Algebra » Gruppen » Normalteiler von G der Ordnung 3 konstruieren
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Universität/Hochschule J Normalteiler von G der Ordnung 3 konstruieren
jonah
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  Themenstart: 2022-05-19

Guten Abend, ich bräuchte bei einer Aufgabe eure Hilfe. Sie lautet: Es sei G eine Gruppe der Ordnung 6. Zeigen Sie, dass G in jedem Falle ein Element der Ordnung 3 besitzt. Konstruieren Sie einen Normalteiler N\subset\ G von Ordnung 3. Den ersten Teil habe ich schon gezeigt. Nun ist mein Problem: Ich weiß ja nicht, wie G konkret aussieht. (Ich weiß, dass G entweder zu S_3 oder zu \IZ_6 isomorph ist, aber das darf ich meines Erachtens nicht benutzen, da ich diese Aussage erst in einem späteren Aufgabenteil (und wahrscheinlich mit Hilfe der vorherigen Teile) beweisen soll.) Wie gehe ich jetzt am besten vor? Wie kann ich N beschreiben, ohne die konkreten Elemente anzugeben? Danke schonmal im Voraus!


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, sei $N$ eine Untergruppe, die von einem Element der Ordnung $3$ erzeugt wird. Kannst Du zeigen, dass $N$ normal sein muss? Tipp: Was ist der Index von $N$ in $G$?\(\endgroup\)


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jonah
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Alles klar, also ist N={e,g,g^2 } für ein g\el\ G mit ord g = 3. Der Index von N in G ist ja 6/2 = 3, aber was hat das damit zu tun ob N ein Normalteiler ist?


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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-19

Es ist eine bekannte und leichte Übungsaufgabe, dass jede Untergruppe vom Index $2$ ein Normalteiler ist.


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ligning
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-19

Tipp dazu: Was sind die Links- und Rechtsnebenklassen von N?


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jonah
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Vielen Dank für die Hilfe, habe es jetzt geschafft. Eine Frage hätte ich dann aber noch: Angenommen, G besitzt kein Element der Ordnung 6, woraus folgt dann, dass die Elemente in G\N sämtlich von Ordnung 2 sind? Irgendwie habe ich gerade keinen Ansatz, außer dass hh = e für alle h in G\N sein muss.


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Triceratops
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-05-19

Alle Elemente haben Ordnung $2$ oder $1$. (Das neutrale Element hat Ordnung $1$.) Tipp: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange


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jonah
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-19

Der Satz von Lagrange sagt doch nur etwas über die Ordnungen von G und von N und über den Index von N aus, oder stehe ich gerade auf dem Schlauch? Ich glaube ich versuche es morgen einfach nochmal, mein Kopf packt das gerade nicht mehr😂


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Triceratops
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-05-20

Schau dir den gesamten Wikipedia-Artikel an, insbesondere den Abschnitt Folgerungen (und sehr wahrscheinlich findet sich auch die Aussage, die man hier braucht, in deinem Skript).


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jonah
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Dass die Ordnung aller Elemente in G die Ordnung von G teilen muss ist mir bewusst. G kann also nur Elemente der Ordnung 1, 2, 3 oder 6 haben. Ordnung 6 wurde ja ausgeschlossen und man weiß, dass die Elemente von N Ordnung 1, 3 und 3 haben. Für G\N bleiben also nur 2 und 3 übrig. Kann man denn so einfach ausschließen, dass G\N kein Element der Ordnung 3 besitzt, weil N von einem Element der Ordnung 3 erzeugt wird? Weil G\N ist ja keine (Unter-)Gruppe. Oder muss man da anders argumentieren?


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Triceratops
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-20

Angenommen, ein Element von $G \setminus N$ hat Ordnung $3$. Dieses erzeugt dann eine Untergruppe $N'$ der Ordnung $3$. Überlege dir, dass $N \cap N' = \{1\}$. Dann hat $G$ aber mindestens $9$ Elemente (wieso?), Widerspruch.


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jonah
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Tut mir leid, ich komme nicht drauf warum dann G mindestens 9 Elemente hätte. Ich schätze ich habe mich mit dem Thema noch nicht genug befasst. Trotzdem danke für deine Geduld


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Triceratops
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-20

Wir haben im Kontext $N$ und $N'$. Die haben jeweils $3$ Elemente. Was kann man in einer Gruppe machen?


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jonah
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20

Sei N={e,g,g^2 }, N'={e,h,h^2 }. Dann kann man die Elemente jeweils verknüpfen, also gh, gh^2, g^2 h, g^2 h^2, heißt 4 zusätzliche Elemente, also insgesamt 9, weil die 4 allesamt neue Elemente ungleich den anderen sind, so richtig?


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Triceratops
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-05-20

Ja, aber du musst begründen, dass die Elemente paarweise verschieden sind. Es folgt aus diesem Lemma: Lemma. Seien $N,N'$ zwei Untergruppen einer Gruppe $G$ mit $N \cap N' = \{1\}$. Dann ist die Abbildung $N \times N' \to G$, $(a,b) \mapsto a \cdot b$ injektiv. Versuche den (kurzen) Beweis zu finden.


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