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| Autor |
 Habe ich richtig umgeformt? |
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manuel28
Junior 
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
 |  Themenstart: 2022-05-20
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f ´(x)=1 - e^(-x)/(1+e^(-2x))
betrachten wir bei der Ableitung nur: e^(-x)/(1+e^(-2x)) = e^(-x) * 1/(1+e^(-2x)
nun betrachten wir dort nur e^(-x)
e^(-x) = 1/e^(x)
nun multipliziere ich nicht e^(-x) mit 1/(1+e^(-2x) sondern statt e^(-x) nehme ich 1/e^(x)
Somit haben wir e^(-x)/(1+e^(-2x)) = 1/(e^x) * 1/(1+e^(-2x)
das ergibt: 1 / e^x+e^(-x)
Betrachten wir nun wieder die Ableitung:
f ´(x)=1 - e^(-x)/(1+e^(-2x)) so haben wir nun stehen:
f´(x) = 1 - 1 / e^x+e^(-x)
Ich dachte eigentlich, dass ich mich nicht verrechnet habe.
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das ist alles ziemlich schwer nachvollziehbar. Definitiv kann man das aber einfacher haben:
\[f'(x)=1-\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}=1-\frac{e^x\cdot e^{-x}}{e^x\cdot\left(1+e^{-2x}\right)}=1-\frac{1}{e^x+e^{-x}}\]
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Potenzen und Logarithmen' von Diophant]\(\endgroup\)
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manuel28
Junior
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 16:29 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
das ist alles ziemlich schwer nachvollziehbar. Definitiv kann man das aber einfacher haben:
\[f'(x)=1-\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}=1-\frac{e^x\cdot e^{-x}}{e^x\cdot\left(1+e^{-2x}\right)}=1-\frac{1}{e^x+e^{-x}}\]
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Potenzen und Logarithmen' von Diophant]
\quoteoff
Danke hast Du eine Idee, wie ich das abschätzen könnte?
Ich brauche eine Abschätzung für das Intervall von [0,0.2], also für 1-1/(e^x-e^(-x)), mir fällt leider nur nichts eins.
(kann auch eine Abschätzung für ein größeres Intervall sein, was da maximal rauskommen könnte für f´(x), außer die 1, also brauche eine Abschätzung, außer 1)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 16:46 - manuel28 in Beitrag No. 2)
Ich brauche eine Abschätzung für das Intervall von [0,0.2] also für 1-1/(e^x-e^(-x)), mir fällt leider nur nichts eins.
\quoteoff
Warum postest du nicht gleich dein komplettes Anliegen? Zuerst war es einfach eine Termumformung, jetzt geht es um etwas völlig anderes.
Dieser Funktionsterm ist achsensymmetrisch mit einzigem Minimum bei \(x=0\)*. Von daher kann man zum Abschätzen die Werte an den Rändern des Intervalls nehmen (du hast ja nicht einmal gesagt, ob man nach oben oder unten abschätzen soll...).
Gruß, Diophant
* Erinnert dich der Term hinter dem Minuszeichen nicht an eine gewisse Hyperbelfunktion?...\(\endgroup\)
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manuel28
Junior
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 16:53 - Diophant in Beitrag No. 3)
\quoteon(2022-05-20 16:46 - manuel28 in Beitrag No. 2)
Ich brauche eine Abschätzung für das Intervall von [0,0.2] also für 1-1/(e^x-e^(-x)), mir fällt leider nur nichts eins.
\quoteoff
Warum postest du nicht gleich dein komplettes Anliegen? Zuerst war es einfach eine Termumformung, jetzt geht es um etwas völlig anderes.
Dieser Funktionsterm ist achsensymmetrisch mit einzigem Minimum bei \(x=0\)*. Von daher kann man zum Abschätzen die Werte an den Rändern des Intervalls nehmen (du hast ja nicht einmal gesagt, ob man nach oben oder unten abschätzen soll...).
Gruß, Diophant
* Erinnert dich der Term hinter dem Minuszeichen nicht an eine gewisse Hyperbelfunktion?...
\quoteoff
Danke es geht darum, dass ich zeigen muss, dass ich in irgendeinem Intervall, egal welchen, im Betrag kleiner als 1 bin, deshalb habe ich es so umgeformt.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10689
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Wie gesagt: auf dem fraglichen Intervall wird aus den genannten Gründen bei \(x=0\) das Minimum \(f'(0)=0.5\) und bei \(x=0.2\) das Maximum \(f'(0.2)\approx 0.51\) angenommen. Also suche dir einen der beiden Werte aus (ich kann da nicht mehr zu sagen, so lange das eigentliche Anliegen dahinter nicht klar ist).
Wenn du eine Begründung dafür benötigst, dass, diese Ableitung rechts von \(x=0\) streng monoton steigt und diese Vorgehensweise daher statthaft ist, dann zeichne dir einmal den Graphen der Ableitung und nutze die Ähnlichkeit zum Kosinus hyperbolicus.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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manuel28
Junior
Dabei seit: 18.05.2022
Mitteilungen: 15
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 17:06 - Diophant in Beitrag No. 5)
Wie gesagt: auf dem fraglichen Intervall wird aus den genannten Gründen bei \(x=0\) das Minimum \(f'(0)=0.5\) und bei \(x=0.2\) das Maximum \(f'(0.2)\approx 0.51\) angenommen. Also suche dir einen der beiden Werte aus (ich kann da nicht mehr zu sagen, so lange das eigentliche Anliegen dahinter nicht klar ist).
Wenn du eine Begründung dafür benötigst, dass, diese Ableitung rechts von \(x=0\) streng monoton steigt und diese Vorgehensweise daher statthaft ist, dann zeichne dir einmal den Graphen der Ableitung und nutze die Ähnlichkeit zum Kosinus hyperbolicus.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Danke, habe den Graph gezeichnet, mein Problem ist, ich wollte zeigen, dass eine Fixpunktiteration möglich wäre, dafür muss ich jedoch zeigen, dass ich in irgendeinem Intervall bei f´(x) < 1 im Betrag abschätzen kann, das habe ich versucht irgendwie hinzubekommen, das Problem ist klar f`(0) ist kleiner 1 und f´(0,2) aber ich muss das ja fürs ganze Intervall zeigen?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-20
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\quoteon(2022-05-20 21:16 - manuel28 in Beitrag No. 6)
Danke, habe den Graph gezeichnet, mein Problem ist, ich wollte zeigen, dass eine Fixpunktiteration möglich wäre, dafür muss ich jedoch zeigen, dass ich in irgendeinem Intervall bei f´(x) < 1 im Betrag abschätzen kann, das habe ich versucht irgendwie hinzubekommen, das Problem ist klar f`(0) ist kleiner 1 und f´(0,2) aber ich muss das ja fürs ganze Intervall zeigen?
\quoteoff
-> Strenge Monotonie, Kosinus Hyperbolicus
Gruß, Diophant
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