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  Eigenschaften von Relationen |
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Ehemaliges_Mitglied
 |  Themenstart: 2022-05-23
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Hallo liebes Forum,
Buri hat hier mal die folgende Aufgabe gepostet: Eine transitive Relation R ist genau dann antisymmetrisch, wenn die durch a S b = (a R b und a ≠ b) definierte Relation S ebenfalls transitiv ist.
Diese Aufgabe wollte ich gern lösen und habe auch eine Richtung hinbekommen, nämlich:
Wir setzen die Transitivität von R und S voraus und zeigen die Antisymmetrie von R. Angenommen, es sei a≠b und a R b und b R a. Dann gilt nach Definition von S: a S b und b S a, folglich nach der Transitivität von S: a S a. Das bedeutet aber a R a und a≠a. Das ist ein Widerspruch, also muss a=b gelten.
Die Rückrichtung klappt leider nicht. Wir setzen die Transitivität und die Antisymmetrie von R voraus. Dann folgt aus a S b und b S c mithilfe der Definition von S, dass a R c und a≠b und b≠c ist. Mir gelingt es nicht zu folgern, dass a≠c ist, wofür irgendwie die noch nicht benutzte Antisymmetrie von R eingehen muss. Hat jemand eine Idee? Ganz lieben Dank!
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-23
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Sei $R$ transitiv und antisymmetrisch. Zu zeigen ist, dass $S$ transitiv ist.
Sei also $(a,b) \in S$, $(b,c) \in S$. Zu zeigen ist $(a,c) \in S$.
Nach Annahme gilt $a \neq b$, $(a,b) \in R$, $b \neq c$, $(b,c) \in R$.
Wenn $a = c$, dann folgte $(a,b) \in R$ und $(b,a) \in R$, wegen der Antisymmetrie von $R$ also $a = b$. Aber dann ist $a = b \neq c = a$, Widerspruch.
Also gilt $a \neq c$. Weil $R$ transitiv ist, folgt weiterhin $(a,c) \in R$, also $(a,c) \in S$.
Falls du dich fragst, wieso ich auf den Beweis "gekommen" bin: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-23
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Interessant ist, dass RoWe93 die Richtung, für die man LEM benötigt, gefunden hat, jedoch die, für die man LEM nicht benötigt, nicht.
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23
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Oh je, genau, der eine Teil in der Mitte hatte mir gefehlt, ich hatte wohl ein Brett vorm Kopf. Mit dem Ansatz „Wäre a=c…“ hatte ich auch begonnen, aber ich bin nicht auf die Folgerung gekommen. Ärgerlich. Ganz lieben Dank für die schnelle Hilfe!
Liebe Grüße!
Was ist mit LEM gemeint?
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tactac
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
\quoteon(2022-05-23 18:08 - RoWe93 in Beitrag No. 3)
Was ist mit LEM gemeint?
\quoteoff
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Er erlaubt dir unter anderem, $x=y$ zu beweisen, indem du $x\ne y$ zu einem Widerspruch führst.
Dagegen ist das Vorgehen, $x \ne y$ zu zeigen, indem man $x=y$ zu einem Widerspruch führt, ohne LEM machbar, und gehört zu den straight-forward-Verfahren, die im von Triceratops verlinkten Artikel stehen.\(\endgroup\)
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-23
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Was ich mit meiner Referenz auf den Artikel sagen wollte: man muss nicht darauf "kommen", wie es weitergeht. Per Definition ist $a \neq c$ ja $(a = c)\to \bot$, also man muss aus $a = c$ einen Widerspruch herleiten. Man nimmt also $a =c$ an. Und dann muss man, um weiterzukommen, in allen vorher getroffenen Aussagen $c$ durch $a$ ersetzen (oder $a$ durch $c$).
Aus
"Nach Annahme gilt $a \neq b$, $(a,b) \in R$, $b \neq \color{blue}{c}$, $(b,\color{blue}{c}) \in R$."
wird also
"Nach Annahme gilt $a \neq b$, $(a,b) \in R$, $b \neq \color{blue}{a}$, $(b,\color{blue}{a}) \in R$."
Und dann hattest du ja bereits gesagt, dass man die Antisymmetrie von $R$ verwenden muss, weil sie bisher noch nicht verwendet worden ist.
Sorry falls das jetzt arg trivial sein sollte.
Mit LEM ist das Law of Excluded Middle gemeint, das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten. tactac betreibt gerne intuitionistische Mathematik in der dieses Gesetz nicht gültig ist.
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_excluded_middle
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-23
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An okay, verstehe. Danke euch!
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Ehemaliges_Mitglied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ehemaliges_Mitglied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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