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  DGL singuläre Störung |
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MantaPlatte
Junior 
Dabei seit: 10.11.2021
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2022-05-24
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Hallo, ich soll folgende DGL mit singulärer Störung betrachten: $$x'(t)=y, x(0)=x_0 \\ \epsilon y'(t)=\pm y, y(0)=y_0$$ mit $t\geq 0, 0< \epsilon \ll 1$ und für beide ($\pm$) Fälle lösen sowie die Grenzwerte der Lösungen von $x$ für $\epsilon \rightarrow 0$ finden und mit der Lösung für $\epsilon = 0$ vergleichen.
Ich verstehe das System irgendwie nicht... wenn ich nur die Störung $\epsilon y'(t) = -y$ betrachte, kann ich es ja reduzieren auf $$0=-y,$$ welches eine algebraische Gleichung ohne Anfangswert ist mit Lösung $\tilde y(t)=0$.
Das nicht-reduzierte Problem hat die Lösung $\tilde y(t,\epsilon)=y_0e^{-\frac{t}{\epsilon}} \overset{\epsilon \to 0}{\to} 0$, oder? Analog für $+y$ mit Lösung $\tilde y(t,\epsilon)=y_0e^{\frac{t}{\epsilon}}$ (hier aber Divergenz für $\epsilon\to 0$)? Für $t=0$ gilt aber $y(0) \to y_0$ und konvergiert somit nicht gegen die Lösung des reduzierten Systems für $y_0\neq 0$. Was soll ich mit $x'(t)=y$ machen? Lösungen hiervon sind doch $\tilde x(t)=x_0\epsilon y =x_0\epsilon y_0e^{-\frac{t}{\epsilon}} \overset{\epsilon \to 0}{\to}0$, oder? $\epsilon$ steht doch im $y$-Term... oder ist mein Ansatz komplett falsch bzw wo lieg mein Fehler??
Freue mich über jede Hilfe!
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haerter
Senior 
Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1735
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-24
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Hallo,
der Ansatz ist nicht komplett falsch, aber unvollständig.
Beim reduzierten Fall geht man normalerweise so vor:
1) $\epsilon=0$ liefert Dir ja $y=0$, aber auf dieser "langsamen Mannigfaltigkeit" hat man noch einen "langsamen Fluss", der durch die andere DGL $x'(t)=y$ gegeben ist. Weil aber $y=0$ sind, besteht hier die langsame Mannigfaltigkeit aus lauter Ruhelagen.
2) Zusätzlich schaut man sich das "schnelle" System an. Dabei macht man
aus dem ursprünglichen System
$$\epsilon x'(t)=\epsilon y \\ \epsilon y'(t)=\pm y$$
durch eine Zeitreskalierung
$$\dot{x}(\tau)=\epsilon y \\ \dot{y}(\tau)=\pm y$$
und setzt dann $\epsilon=0$, so dass man bei
$$\dot{x}(\tau)=0 \\ \dot{y}(\tau)=\pm y$$ ankommt.
Die Lösungen dieser DGL werden viel schneller durchlaufen (wegen $\tau=t/\epsilon$). Die Lösungen für $\epsilon>0$ erhält man nährungsweise oft durch Aneinanderkleben von schnellen und langsamen Lösungsabschnitten.
Hier reicht allerdings der schnelle Abschnitt.
3) Wenn Du die Lösungen des nicht-reduzierten Problems mit "+" anschaust, dann solltest Du nicht bei $t=0$ aufhören, sondern $t\to-\infty$ betrachten.
Viele Grüße,
haerter
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MantaPlatte
Junior
Dabei seit: 10.11.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-25
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Danke für deine Antwort haerter! Leider verstehe ich das Thema noch nicht so und auch nicht das mit dem schnellen und langsamen System...
(1) zuerst habe ich mir das reduzierte System angeschaut, indem ich $\epsilon = 0$ gesetzt habe, da ich ja die Lösungen des $\pm$ Systems mit denen für $\epsilon =0$ vergleichen soll: ich erhalte wegen $0=y$ als Lösung $\tilde y (t) = 0$ sowohl für den positiven als auch für den negativen Fall. Aber wegen $x'=y$ muss doch die Lösung $\tilde x$ eine beliebige Konstante $c$ sein, oder?
Jetzt hast du ja beim Punkt 2) durch eine Zeitskalierung $\tau = \frac{t}{\epsilon}$ das skalierte System $$\dot{x}(\tau)=\epsilon y \\ \dot{y}(\tau)=\pm y$$ erhalten und dieses reduziert durch $\epsilon=0$: $$\dot{x}(\tau)=0 \\ \dot{y}(\tau)=\pm y$$
Lösungen hier sind ja für $x$ wieder irgendeine beliebige Konstante $\tilde x = c$ und $\tilde y (t) = e^{\pm t}$.
Warum muss man auch dieses skalierte System betrachten?
(3) Lösungen des nicht-reduzierten Systems:
Lösung $y(t,\epsilon)=y_0e^{\pm\frac{t}{\epsilon}}\overset{\epsilon\to 0}{\to}0$ für $t>0$. Hier muss ich noch keine Grenzwertbetrachtung $\epsilon \to 0$ machen, sondern laut Aufgabenstellung erst für $x$:
$x$ habe ich durch Integrieren erhalten: $x=\int y = x_0 \pm y_0e^{\pm\frac{t}{\epsilon}}$
Für $"-"$ gilt: $x=\int y = x_0 - y_0e^{-\frac{t}{\epsilon}} \to x_0$ ($\epsilon \to 0$) für $t>0$ und $x(0)\to x_0$ für $t=0$ mit $x_0\neq c$ i.A., wobei $c$ Lösung vom reduzierten System mit $\epsilon = 0$ ist.
\quoteon Wenn Du die Lösungen des nicht-reduzierten Problems mit "+" anschaust, dann solltest Du nicht bei $t=0$ aufhören, sondern $t\to-\infty$ betrachten.
\quoteoff
Das verstehe ich nicht. Ich muss doch nur $\epsilon$ im Grenzwert betrachten und nicht $t$. Es gilt doch auch $t>0$, warum dann $t\to-\infty$ betrachten?
Ich habe für $"+"$: $x=\int y = x_0 + y_0e^{\frac{t}{\epsilon}} \to \infty$ ($\epsilon \to 0$) für $t>0$ und $x(0)\to x_0$ für $t=0$. Erneut unterscheidet sich diese Lösung von dem des reduzierten Systems.
Danke schonmal für jede weitere Hilfe!
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MantaPlatte
Junior
Dabei seit: 10.11.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-27
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Würde mich noch immer über Hilfe/Anmerkungen freuen :)
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haerter
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Dabei seit: 07.11.2008
Mitteilungen: 1735
Wohnort: Bochum
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-28
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\quoteon(2022-05-25 14:25 - MantaPlatte in Beitrag No. 2)
(1) zuerst habe ich mir das reduzierte System angeschaut, indem ich $\epsilon = 0$ gesetzt habe, da ich ja die Lösungen des $\pm$ Systems mit denen für $\epsilon =0$ vergleichen soll: ich erhalte wegen $0=y$ als Lösung $\tilde y (t) = 0$ sowohl für den positiven als auch für den negativen Fall. Aber wegen $x'=y$ muss doch die Lösung $\tilde x$ eine beliebige Konstante $c$ sein, oder?
\quoteoff
Ja, genau (das sind in meiner Sichtweise die Ruhelagen auf der "langsamen Mannigfaltigkeit). In Deiner Aufgabe mit "-" beschreiben sie die Lösungen nach einer kurzen Übergangszeit. Die Konstante $c$ entspricht dann dem Anfangswert $x_0$.
\quoteon
Jetzt hast du ja beim Punkt 2) durch eine Zeitskalierung $\tau = \frac{t}{\epsilon}$ das skalierte System $\displaystyle \dot{x}(\tau)=\epsilon y \\ \dot{y}(\tau)=\pm y$ erhalten und dieses reduziert durch $\epsilon=0$: $\displaystyle \dot{x}(\tau)=0 \\ \dot{y}(\tau)=\pm y$
Lösungen hier sind ja für $x$ wieder irgendeine beliebige Konstante $\tilde x = c$ und $\tilde y (t) = e^{\pm t}$.
Warum muss man auch dieses skalierte System betrachten?
\quoteoff
Diese Skalierung betrachtet man, um die kurze schnelle Übergangsphase zu verstehen, die bei Deiner DGL nur am Anfang auftritt, bei anderen DGL aber auch manchmal zwischendurch.
Wenn das in der Vorlesung nicht vorkam, dann spielt es hier wohl keine Rolle und das sind Feinheiten, um die es hier nicht gehen soll.
\quoteon
(3) Lösungen des nicht-reduzierten Systems:
Lösung $y(t,\epsilon)=y_0e^{\pm\frac{t}{\epsilon}}\overset{\epsilon\to 0}{\to}0$ für $t>0$. Hier muss ich noch keine Grenzwertbetrachtung $\epsilon \to 0$ machen, sondern laut Aufgabenstellung erst für $x$:
$x$ habe ich durch Integrieren erhalten: $x=\int y = x_0 \pm y_0e^{\pm\frac{t}{\epsilon}}$
Für $"-"$ gilt: $x=\int y = x_0 - y_0e^{-\frac{t}{\epsilon}} \to x_0$ ($\epsilon \to 0$) für $t>0$ und $x(0)\to x_0$ für $t=0$ mit $x_0\neq c$ i.A., wobei $c$ Lösung vom reduzierten System mit $\epsilon = 0$ ist.
\quoteon Wenn Du die Lösungen des nicht-reduzierten Problems mit "+" anschaust, dann solltest Du nicht bei $t=0$ aufhören, sondern $t\to-\infty$ betrachten.
\quoteoff
Das verstehe ich nicht. Ich muss doch nur $\epsilon$ im Grenzwert betrachten und nicht $t$. Es gilt doch auch $t>0$, warum dann $t\to-\infty$ betrachten?
Ich habe für $"+"$: $x=\int y = x_0 + y_0e^{\frac{t}{\epsilon}} \to \infty$ ($\epsilon \to 0$) für $t>0$ und $x(0)\to x_0$ für $t=0$. Erneut unterscheidet sich diese Lösung von dem des reduzierten Systems.
Danke schonmal für jede weitere Hilfe!
\quoteoff
Sorry, ich hatte das $t\geq 0$ überlesen.
Vermutlich ist mit dem "Grenzwert von $x$ für $\epsilon \to 0$ also gemeint, dass im "-"-Fall $x\equiv x_0$ und im "+"-Fall $x\equiv +\infty$ ist.
Im "-"-Fall ist für die reduzierte Gleichung ja $x(t)\equiv c$ für jedes $c$ eine Lösung, d.h. die Lösung der reduzierten Gleichung mit $c=x_0$ ist schon genau der Grenzwert der nicht-reduzierten Gleichung für $\epsilon\to 0$. Nur im "+"-Fall sind die Lösung der reduzierten Gleichung und der Grenzwert verschieden.
Viele Grüße,
haerter
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MantaPlatte
Junior
Dabei seit: 10.11.2021
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28
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Alles klar, vielen Dank für die ausführliche Antwort und Hilfe!
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MantaPlatte hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MantaPlatte hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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