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Lineare Algebra » Eigenwerte » Jordan-Normalform
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Universität/Hochschule J Jordan-Normalform
Red_fox
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  Themenstart: 2022-05-28

Hallo zusammen, ich versuche mich gerade daran die Jordan Normalform zu folgender Matrix zu bestimmen inklusive der Transformationsmatrix P für P*A*P^-1=J. A= \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & i\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) Ich habe bereits das charakteristische Polynom bestimmt mit (1-\(\lambda\))hoch 3. Daher ist mein Eigenwert 1 mit der algebraischen Vielfalt 3. Meine Eigenvektoren zu diesem Eigenwert = span<\(\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array} \right)\),\(\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right)\)> Da die geometrische Vielfachheit nur 2 ist fehlt mir ein Vektor. Ich suche den 3 Vektor also im Kern(A-\(\lambda\)*E) hoch 2 und komme auf die Nullmatrix. Jetzt habe ich mir einen Vektor ausgesucht der linear unabhängig zu meinen Eigenvektoren ist. Ich habe den Hauptvektor\[\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array} \right)\]genommen. Meine Frage ist nun wie gehe ich ab hier vor um meine Transformationsmatrix zu bestimmen? Ich weiß bereits, dass die Jordanform aus 2 Blöcken bestehen muss, da meine geometrische Vielfachheit 2 betrug also \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) oder \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\). Ich würde mich freuen wenn mir jemand dabei helfen könnte die Transformationsmatrix zu bestimmen :) Mit freundlichen Grüßen


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, die Jordan Normalform ist nur bis auf die Reihenfolge der Blöcke eindeutig bestimmt. Du hast zwei Eigenvektoren $v_1,v_2$ zum Eigenwert $1$ und einen weiteren Vektor $v_3$, so dass $v_1,v_2,v_3$ eine Basis des Hauptraums von $A$ zum Eigenwert $1$ bilden. Nun musst du nur noch die Basiswechselmatrix in diese Basis aufstellen und bist fertig. Edit: Dabei musst du beachten, dass die Vektoren in der "richtigen" Beziehung zueinander stehen. Es soll ja am Ende $Av_1=v_1$, $Av_2=v_2$ und $Av_3=v_2+v_3$ gelten. LG Nico\(\endgroup\)


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Red_fox
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Hallo Nico, ist das ganze auch ohne Basiswechselmatrizen möglich? Tatsächlich habe ich damit noch nie wirklich gearbeitet und auch in der Vorlesung wurden diese nur ganz am Rande mal behandelt. Kann man die Transformationsmatrix in diesem Beispiel auch über die Formel wk := (A − λ1E)wk+1 , k ∈ {1, . . . , n − 1} berechnen? Mit freundlichen Grüßen


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Die Transformationsmatrix ist nichts anderes als die Basiswechselmatrix. Die Begriffe sind hier synonym. Du brauchst jetzt erstmal drei Vektoren $v_1,v_2,v_3$ mit $Av_1=v_1$, $Av_2=v_2$ und $Av_3=v_2+v_3$. Dabei kann dir deine Formel helfen. Wenn du solche Vektoren hast, dann schreibe die Vektoren in der passenden Reihenfolge in die Spalten einer Matrix $S$. Die Matrix $S^{-1}AS$ ist dann in Jordan Normalform. Edit: Vielleicht ist auch dieser Thread hilfreich für dich. LG Nico\(\endgroup\)


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Red_fox
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Ich bin ein wenig verwirrt bei der Basiswechselmatrix. wenn ich v1, v2 und meinen Hauptvektor w3 als Matrix aufschreibe dann habe ich doch bereits die Einheitsmatrix. Wegen der Formel bin ich mir unsicher wie genau ich da vorzugehen habe. Wenn w2 = (A-\(\lambda\)*E)*w3 für \(\lambda\) = 1 ist, dann erhalte ich für w2=(i,0,0)?


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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Du kannst eben nicht einfach irgendwelche Vektoren nehmen. Nochmal: Es soll $Av_1=v_1$, $Av_2=v_2$ und $Av_3=v_2+v_3$ gelten. Das ist genau, was dir die Jordan Normalform am Ende sagt. Deine Formel funktioniert so: Starte mit einem Hauptvektor der höchsten Stufe. Nennen wir ihn $v_3$. Wir könnten $v_3=(0,0,1)^t$ wählen. Setze dann $$ v_2:=(A-\mathbb I)v_3=(\i,0,0)^t. $$ Alles was diese Formel in diesem Fall also macht, ist sicherzustellen, dass am Ende $Av_3=v_2+v_3$ gilt, wie wir es haben wollen. Nun brauchen wir noch einen von $v_2$ linear unabhängigen Eigenvektor. Da könnten wir $v_1=(0,1,0)^t$ nehmen. Rechne nochmal nach und überzeuge dich davon, dass die so gewählten Vektoren die geforderte Eigenschaft haben. Sei nun $S$ die Matrix mit den Spalten $v_1,v_2,v_3$ (in dieser Reihenfolge). Berechne dann mal $S^{-1}AS$ und überzeuge dich davon, dass diese Matrix in Jordan Normalform ist. LG Nico \(\endgroup\)


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Red_fox
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Hallo Nico, der Schritt, dass ich bei dem Hauptvektor anfangen muss war mir nicht klar. Beim durchgehen der Aufgabe bin ich die ganze Zeit darüber gestolpert weil ich dachte, ich kann irgendeinen Vektor nehmen als fehlender Hauptvektor und v1 und v2 in meinem Fall bleiben unbedingt gleich. Das erklärt jetzt für mich das ganze Vorgehen erst😄 wenn ich deine Matrix richtig ausgerechnet habe dann müsste J = \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & i\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) herauskommen. Das sieht für mich gut aus. Vielen Dank dir dieser eine Schritt war mir einfach nicht klar (ich bin sehr neu in dem Thema Jordanform). Könntest du mir nur vielleicht erklären wie genau das jetzt bei den Basiswechselmatrizen hätte aussehen sollen? Da habe ich noch keine Vorstellung Mit freundlichen Grüßen


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Da musst du dich irgendwo verrechnet haben. Wir haben folgende Vektoren gewählt: $$ v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2=\begin{pmatrix} \i \\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}. $$ Die Basiswechselmatrix von der Basis $B=(v_1,v_2,v_3)$ zur kanonischen Basis ist folglich $$ S=\begin{pmatrix} 0&\i &0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}. $$ Nun ist $$ S^{-1}AS= \begin{pmatrix} 0&1&0 \\ -\i&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0 &\i \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&\i &0 \\ 1&0&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 &0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}. $$ Die Matrix $A$ beschreibt eigentlich eine lineare Abbildung $\varphi_A$ die durch $\varphi_A(v)=Av$ gegeben ist. Wir haben nun eine Basis $B=(v_1,v_2,v_3)$ bestimmt, so dass die lineare Abbildung $\varphi_A$ bezüglich dieser Basis durch eine Matrix in Jordan Normalform beschrieben wird. Siehe dazu auch den von mir oben verlinkten anderen Thread. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Ja ich habe meinen Rechenfehler gefunden. Auf jeden Fall weiß ich jetzt was ich allgemein falsch gemacht habe. Das bedeutet aber auch anders gesagt je nach Wahl meines Hauptvektors könnte ich ganz verschiedene Matrizen S erhalten und würde trotzdem auf die gleiche Jordanform kommen. Solange ich nach der Formel wk := (A − λ1E)wk+1 , k ∈ {1, . . . , n − 1} vorgehe und damit die Bedingung sicherstelle. Vielen Dank für deine Hilfe 😁 Mit freundlichen Grüßen


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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Hallo Nico, ich versuche die ganze Jordanform nochmal zu verinnerlichen und es fällt mir ein wenig schwer deinen letzten Beitrag richtig nachzuvollziehen (sehe ihn gar nicht mehr). Obwohl ich jetzt mehr oder weniger das Rezept beim Vorgehen der Jordanform kenne verstehe ich nicht wirklich was ich mathematisch genau mache. Warum potenziere ich die Matrix (A-\(\lambda\)*E) stufenweise wenn die algebraische ungleich der geometrischen Vielfachheit ist. Was sind diese verschiedenen Haupträume bei den Matrizen eigentlich bzw wie kommt man darauf. Gibts da eine geometrische Interpretation die man sich veranschaulichen kann? Meine 2 Frage warum genau muss A*v3 = v2+v3 gelten um auf die Jordanform zu kommen(in meinem Beispiel). Könntest du mir da vielleicht helfen das genauer nachzuvollziehen 🤔 Mit freundlichen Grüßen


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nzimme10
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, da stellst du natürlich im Prinzip die Frage, was die Jordan Normalform einer Matrix bzw. eines Endomorphismus eigentlich genau ist. Ich glaube viele deiner Fragen würden sich klären, wenn du dich allgemeiner mit darstellenden Matrizen von linearen Abbildungen beschäftigen würdest. Diese Forderungen an die Vektoren und auch deine Formel kommen von der konkreten Gestalt eines Jordan Blocks. Der wichtigste Spezialfall bei dieser Thematik ist wohl der Fall eines nilpotenten Endomorphismus (bzw. einer nilpotenten Matrix). Da du anscheinend lieber mit Matrizen arbeitest betrachten wir einmal eine nilpotente $n\times n$-Matrix $A$ mit Einträgen in einem Körper $K$. Diese hat dann den $n$-fachen Eigenwert $0$. Nun ist es in der Regel so, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts $0$ nicht unbedingt mit der algebraischen übereinstimmt, wir also nicht genügend linear unabhängige Eigenvektoren finden, um eine Basis des $K^n$ damit zu bilden (dann wäre die Matrix diagonalisierbar und in diesem Spezialfall also schon die Nullmatrix selbst). Deshalb schaut man sich so genannte verallgemeinerte Eigenvektoren an. Das sind in diesem Fall Vektoren, die nicht unbedingt direkt von der Matrix $A$ auf den Nullvektor, sondern von $A^2$ oder $A^3$ etc. erst auf den Nullvektor abgebildet werden. Da $A$ nilpotent ist, werden von $A^n$ alle Vektoren auf den Nullvektor abgebildet. Es ist also $\ker(A^n)=K^n$. Allgemeiner hat man die Kette von Unterräumen $$ \lbrace 0\rbrace \subseteq \ker(A)\subseteq \ker(A^2)\subseteq \dots\subseteq \ker(A^n)=K^n. $$ Dabei nennt man Vektoren in $\ker(A^k)$ verallgemeinerte Eigenvektoren der Stufe $k$ (manchmal auch Hauptvektoren der Stufe $k$). Durch Anwenden der Matrix $A$ auf einen Vektor in $\ker(A^k)$ gelangt man zudem in $\ker(A^{k-1})$, d.h. man hat die folgende Sequenz $$ K^n=\ker(A^n)\overset{A}{\longrightarrow} \ker(A^{n-1})\overset{A}{\longrightarrow} \dots \overset{A}{\longrightarrow} \ker(A^2)\overset{A}{\longrightarrow} \ker(A)\overset{A}{\longrightarrow} \lbrace 0\rbrace. $$ Für jeden "fehlenden" Eigenvektor suchen wir nun noch einen passenden Ersatz. Wir suchen zunächst das minimale $m$, so dass $\ker(A^m)=K^n$ gilt (diese Zahl $m$ heißt dann der Nilpotenzgrad von $A$). Dann suchen wir uns einen Vektor $v$ der in $\ker(A^m)$, aber nicht in $\ker(A^{m-1})$ liegt. Dann betrachten wir die Vektoren $$ v_1:=A^{m-1}v, \ v_2:=A^{m-2}v,\dots, \ v_{m-1}:=Av, v_m:=v. $$ Nach Konstruktion ist dann gerade $v_k$ ein Hauptvektor der Stufe $k$. Das machen wir nun nach und nach für jeden "noch nicht verbrauchten" $\ker(A^k)$. D.h. wir wählen einen, von den bisher gefundenen Vektoren linear unabhängigen, Hauptvektor höchster Stufe und bilden wieder diese spezielle Folge von Vektoren. Das machen wir so lange, bis wir eine Basis von $K^n$ mit unseren Vektoren bilden können. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass $m=n$ war. Dann betrachten wir die Basis $$ B:=(v_1,\dots,v_n)=\left(A^{n-1}v, A^{n-2}v,\dots,Av,v\right). $$ Diese Basis ist nun gerade so konstruiert worden, dass \[ \begin{align*} Av_1 &=AA^{n-1}v=A^nv=0 \\ Av_2 &=AA^{n-2}v=A^{n-1}v=v_1 \\ Av_3 &=AA^{n-3}v=A^{n-2}v=v_2 \\ & \vdots \\ Av_n &=Av=v_{n-1} \\ \end{align*} \] gilt. Das heißt, $v_1$ ist ein Eigenvektor, $v_2$ wird von $A$ auf $v_1$ abgebildet, $v_3$ wird von $A$ auf $v_2$ abgebildet und so weiter. Schreiben wir nun noch die oben erhaltenen Vektoren wieder als Koordinatenvektoren bezüglich der Basis $B$, so erhalten wir $$ Av_1=0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}_B, \quad Av_2=v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}_B, \quad Av_3=v_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}_B $$ und so weiter. Die darstellende Matrix der Abbildung $w\mapsto Aw$ bezüglich der Basis $B$ hat also in diesem Fall die Form $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ldots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}. $$ Ich hoffe damit ist es etwas klarer geworden. Wie gesagt: Ich denke, dass es sinnvoll ist zunächst wirklich zu verstehen, was eine darstellende Matrix bezüglich einer Basis genau ist und wie man so eine Matrix zu interpretieren hat. Dann sollte vieles klarer werden. LG Nico\(\endgroup\)


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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-28

Hallo Nico, das war bis jetzt wohl die beste Erklärung zu der Jordanform die ich gesehen habe 😄 Deine Erklärung ist wirklich super! In der Vorlesung war die Jordanform eher eine nebensächliche Erwähnung die ich aber eigentlich ganz spannend finde. Wie genau die zu Stande kommt wusste ich erst gar nicht aber deine Erklärung zu all dem ist wirklich gut. Auch was Haupträume angeht und warum die Jordanform ausgerechnet 1 über der Hauptdiagonalen haben kann gibt mir jetzt ein deutlich besseres Bild. Vielen Dank dir für die doch ausführliche Erklärung!😃 Mit besten Grüßen


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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-05-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Wenn die Matrix $A$ nicht nilpotent ist, dann bestimmt man zunächst die paarweise verschiedenen Eigenwerte $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ von $A$. Hier muss man zunächst zumindest annehmen, dass das charakteristische Polynom von $A$ über $K$ vollständig in Linearfaktoren zerfällt, also der Körper $K$ alle Eigenwerte von $A$ enthält. Dann betrachtet man für $j=1,\dots,r$ die Matrix $B_j:=A-\lambda_j \mathbb I$. Diese ist dann nilpotent und man kann auf $B_j$ das obige Verfahren anwenden. Man erhält dadurch eine Jordan Normalform von $B_j$. Addiert man dann auf diese Jordan Normalform wieder die Matrix $\lambda_j\mathbb I$ auf, dann erhält man den Teil der gesamten Jordan Normalform von $A$, der zum Eigenwert $\lambda_j$ gehört. (Hier fehlen sicher ein paar Details. Mir geht es ums Prinzip). Vielleicht solltest du dir mal eine Matrix suchen, die verschiedene Eigenwerte hat und das Verfahren daran probieren. LG Nico Anmerkung: Wenn es dich wirklich interessiert, dann ist auch interessant, wo die JNF eigentlich herkommt. Ursprünglich war die Motivation von Jordan nämlich das Lösen linearer Differentialgleichungssysteme. Wenn du dich mal mit DGLn beschäftigst, wirst du daher auch ständig der JNF über den Weg laufen. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]\(\endgroup\)


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Hallo Nico, ich verstehe was du meinst. Ich werde das definitiv mal für eine Matrix mit unterschiedlichen Eigenwerten ausprobieren. Das mit der DFG und der Jordanform finde ich tatsächlich sehr spannend denn wie mein Matheprof meint, arbeiten wir uns auf dem Weg zu Differentialgleichungen über die lineare Algebra zu 😁 Daher meine ich wäre die JNF doch ganz wichtig. Deswegen großes Dank für die gute Erklärung.


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