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  DGL 2.Ordnung partikulär schwererer Ansatz |
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marathon
Aktiv 
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
 |  Themenstart: 2022-05-30
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hallo hier habe ich noch eine DGL die für mich schon eine echte Herausforderung darstellt......in der Tat
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gut hier heißt es
y''-2y'+2y=e^(2x)*sinx zuerst löse ich wie immer den homogenen Teil
\lambda^2 -2\lambda + 2 =0
=(+2+-sqrt(-2^2-4*2))/2 =1+-i nun habe für den partikulären Ansatz
y_p= e^(2x)*(Asin(x)+Bcos(x)) ausgemacht dies wieder 2*ableiten
y'_p=2e^(2x)*(Asin(x)+Bcos(x))+e^(2x)*(Acos(x)-Bsin(x))
y''_p = 4e^(2x)*(Asin(x)+Bcos(x))+2e^(2x)*(Acos(x)-Bsin(x))
2e^(2x)*(Acos(x)-Bsin(x))+e^(2x)*(-Asin(x)-Bcos(x)) nun einsetzen
y''-2y'+2y=e^(2x)*sinx
4e^(2x)*(Asin(x)+Bcos(x))+2e^(2x)*(Acos(x)-Bsin(x))
2e^(2x)*(Acos(x)-Bsin(x))+e^(2x)*(-Asin(x)-Bcos(x))-2((2e^(2x)*(Asin(x)+Bcos(x))+e^(2x)*
(Acos(x)-Bsin(x)))+2(e^(2x)*(Asin(x)+Bcos(x)))=e^(2x)*sinx nun kürze ich auf beiden Seiten das e^(2x) ergibt
4(Asin(x)+Bcos(x))+2(Acos(x)-Bsin(x))
2(Acos(x)-Bsin(x))+(-Asin(x)-Bcos(x))-2(Asin(x)+Bcos(x))+
(Acos(x)-Bsin(x)) )+2((Asin(x)+Bcos(x)))=sinx
sinx(4A-2B-2B-A-2A-B+2A)=sinx
1A-5B=1 A=1+5B
cos(4B+2A+2A-B-2B+A+2B)=0
3B+5A=0
3B+5(1+5B)=0 =>28B=-5 B=-5/28
A=3/28 sieht schon falsch aus
y_p= e^(2x)*3/28*sin(x)-5/28*cos(x)und gesamt
c_1e^x*sin(-x)+c_2e^xcos(x)+e^(2x)*3/28*sin(x)-5/28*cos(x)gut dies war natürlich total verheddert, wenn mich einer von den Profis aus dem Urwald meiner Verwirrungen befreien könnte.
Need help need help
wäre super toll wenn mich jemand aus dem Labyrinth befreien könnte danke!!!
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gonz
Senior 
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4726
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-05-31
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Hallo Marathon,
da hilft nur - Ueile für Zeile überprüfen. Vielleicht vorher eine Runde rausgehen und "um den Block rennen", danach ist der Kopf vielleicht klarer.
Verdächtig erscheint mir die Zeile
1A-5B=1 A=1+5B
Viel Erfolg!
Gerhard/Gonz
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-05-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo marathon,
du würdest dir (und uns) einen großen Gefallen tun, wenn du bei einer solchen Rechnung grundsätzlich sinnvoll faktorisieren würdest. So könnte man hier grundsätzlich die Vielfachen jeweils der Sinus- und der Kosinusfunktion zusammenfassen und würde klarer sehen.
Deine beiden Ableitungen sind jedenfalls richtig, soweit bin ich oben mitgekommen.
Wenn man damit in die DGL eingeht, sollte das letztendlich auf das folgende LGS hinauslaufen:
\[\begin{matrix}2A+B&=&0\\A-2B&=&1\end{matrix}\]
Dabei steht die erste Gleichung für die Anteile mit der Kosinusfunktion, die zweite für die mit der Sinusfunktion.
Rechne nochmal nach, jetzt hast du ja eine Lösungskontrolle.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Lineare DGL 2. Ordnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31
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frage gibt es hier eine Strategie wie man geschickt ausklammert oder ist dies eben eine Sisyphusarbeit die es eben ist....
im Repetitorium der höheren mathematik hab ich etwas dazu gefunden dies war aber nur auf ein e^x(Asin(x)+Bcos(x))und wir hatten ja 2e^x
oder wie schon gefragt super fleißarbeit verbunden mit relativ hoher Sicherheit
danke!!!! für den Support markus
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10673
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-05-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-05-31 16:24 - marathon in Beitrag No. 3)
frage gibt es hier eine Strategie wie man geschickt ausklammert oder ist dies eben eine Sisyphusarbeit die es eben ist....
im Repetitorium der höheren mathematik hab ich etwas dazu gefunden dies war aber nur auf ein e^x(Asin(x)+Bcos(x))und wir hatten ja 2e^x
oder wie schon gefragt super fleißarbeit verbunden mit relativ hoher Sicherheit
\quoteoff
Beim Ableiten von Funktionen des Typs \(\exp(x)\cdot \text{"etwas anderes"}\) empfiehlt es sich stets, nach jedem Ableiten die Exponentialfunktion auszuklammern, da sie ja als Faktor in jedem Summanden beim Anwenden der Produktregel wieder vorkommen wird.
In diesem speziellen Fall solltest du eben das auch tun, und dann in der entstehenden Klammer zusätzlich noch Sinus und Kosinus ausklammern, so dass man in der Klammer jeweils ein Vielfaches dieser Funktionen stehen hat. Die erste Ableitung würde bei mir so aussehen:
\[\ba
f(x)&=e^{2x}\cdot\left(A\sin(x)+B\cos(x)\right)\\
\\
f'(x)&=2e^{2x}\cdot\left(A\sin(x)+B\cos(x)\right)+e^{2x}\cdot\left(A\cos(x)-B\sin(x)\right)\\
\\
&=e^{2x}\cdot\left((2A-B)\cdot\sin(x)+(A+2B)\cdot\cos(x)\right)
\ea\]
Das leitet sich doch jetzt viel leichter ein zweites mal ab. Und mit der zweiten Ableitung verfährst du genauso: dann kannst du das LGS zur Bestimmung der Konstanten nachher doch viel einfacher aufstellen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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marathon
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-05-31
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an Diophant und natürlich auch die Anderen danke!!!!!!!!
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marathon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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