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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Lebesgue-Integral » Lebesgue-Integral konvergiert gegen 0
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Universität/Hochschule Lebesgue-Integral konvergiert gegen 0
elef0300
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 15.11.2021
Mitteilungen: 15
  Themenstart: 2022-06-05

Hallo, ich habe folgende Frage aus der Integrationstheorie: Sei $(X,\mathscr A,\mu)$ ein Maßraum und $f_n,n\in\mathbb N$ sowie $f$ Lebesgue integrierbare Funktionen, wobei $f_n$ punktweise fast überall gegen $f$ konvergiert und $\int_X f_nd\mu$ konvergiert gegen $\int_X fd\mu$. Zeigen Sie, dass dann $\lim\limits_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|d\mu$=0. Hinweis: Betrachten sie $g_n:=|f|-|f_n|+|f_n-f|$. Ich habe es schon mit dem Satz über majorisierte Konvergenz versucht, habe aber keine geeignete Majorante gefunden. Schonmal Danke für Hinweise.

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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
semasch
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 359
Wohnort: Wien
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-05

Moin elef0300, die zu beweisende Aussage stimmt nicht. Betrachte als Gegenbeispiel etwa auf $(\mathbb{R}, \mathfrak{B}, \lambda)$ die Funktionen $f, f_n$ mit $f(x) := 0$ und $f_n(x) := 1_{[0,2/n]}(x) (n-n^2x)$. LG, semasch

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