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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Grothendieck-Konstruktion für Laien
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Universität/Hochschule Grothendieck-Konstruktion für Laien
Kezer
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  Themenstart: 2022-06-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Hi, in der Theorie von Quasikategorien spielt die berühmte Straightening-Unstraightening Korrespondenz eine wichtige Rolle. Sie richtet sich an die Grothendieck-Konstruktion der Kategorientheorie wie es z.B. in Haugsengs Notizen (S. 75ff.) knapp dargestellt wird. Das entsprechende Resultat von Grothendieck liefert für eine Kategorie $\mathscr{B}$ dann eine Äquivalenz von $2$-Kategorien zwischen den Grothendieck Opfaserungen über $\mathscr{B}$ und den Pseudofunktoren $\mathscr{B} \to \mathbf{Cat}$: \[ \{\text{Grothendieck Opfaserungen über } \mathscr{B} \} \simeq \operatorname{PseudoFun}(\mathscr{B}, \mathbf{Cat}). \] Ich möchte fragen, wo man diese Korrespondenz in der Mathematik sieht, da sie mir noch nicht untergekommen ist, und ich die Version für höhere Kategorien besser verstehen möchte. Ich meine gelesen zu haben, dass die Korrespondenz in der Theorie der Stacks eine Rolle spielt, habe aber keine Ahnung über algebraische Stacks. Mir geht es in dieser Frage also vor allem um (einfachere) toy examples (aber andere Bemerkungen sind auch willkommen).\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-09

Eine "diskrete" Version der Äquivalenz ist die Äquivalenz von Kategorien $\mathbf{Set}/X \simeq \mathbf{Set}^X$ für Mengen $X$. Die Idee ist jeweils dieselbe: Für einen Morphismus $Y \to X$ betrachte die Familie der Fasern $(Y_x)_{x \in X}$.

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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-09

Was stacks usw. angeht empfehle ich immer gerne Vistolis Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory Angelo Vistoli. Hier insbeosondere Abschnitte 3.1.2 und 3.1.3.

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Kezer
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-09

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Danke für die Anmerkungen! Vistoli wollte ich schon seit Längerem mal lesen und diese Äquivalenz für $\mathbf{Set}$ habe ich glaub ich sogar damals erstmals von dir auf dem MP vor einiger Zeit gelernt. 😃\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-09

Falls du es noch nicht kennst: https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+construction

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Kezer
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-13

Ich habe gerade das Buch 2-Dimensional Categories von Johnson, Yau gefunden, wo auch die Grothendieck Konstruktion behandelt wird. Das Buch sieht ziemlich schön aus, muss nur noch dazukommen, es zu lesen.

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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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