| Autor |
 Beweis durch Widerspruch |
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Mathelehrlingm
Junior 
Dabei seit: 25.05.2022
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2022-06-11
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Wenn a und b durch 7 teilbar sind, ist auch die Summe a+b durch 7 teilbar.
Direkt wäre ja folgendermaßen:
a=7x
b=7y
a+b=7x+7y=7*(x+y)
Könntet ihr mir beim Beweis durch Widerspruch helfen?
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Triceratops
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-11
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Das ist eine Aussage, die nicht durch Widerspruch bewiesen werden muss. Diese Beweismethode würde den Beweis unnötig verkomplizieren.
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Mathelehrlingm
Junior
Dabei seit: 25.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11
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Das weiß ich, aber die Aufgabenstellung fordert einen Beweis durch Widerspruch.
Falls mir jemand helfen könnte, wäre das sehr freundlich.
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8295
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-11
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\quoteon(2022-06-11 14:32 - Mathelehrlingm in Beitrag No. 2)
Das weiß ich, aber die Aufgabenstellung fordert einen Beweis durch Widerspruch.
Falls mir jemand helfen könnte, wäre das sehr freundlich.
\quoteoff
Angenommen, 7 ist kein Teiler von a+b ... jetzt kommt dein Beweis von oben ... also ist 7 doch ein Teiler von a+b. Widerspruch.
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HellsKitchen
Senior 
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 261
Wohnort: Fürth in Bayern
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-11
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Hallo
deinen direkten Beweis könnte man, leicht angepasst, in jedem Ring verwenden.
Die Behauptung folgt sofort aus dem Distributivgesetz.
Die Annahme: \(7 \nmid (a + b)\) führt zu:
7x + 7y = a + b \(\neq 7*z\) insbesondere für z = x + y
Das Distributivgesetz gilt nicht allgemein. Widerspruch!
Gruß
Hellskitchen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Mathelehrlingm
Junior
Dabei seit: 25.05.2022
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-11
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-11
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Die Beweise bisher hier sind ja keine echten Widerspruchsbeweise, sie umschreiben nur den direkten Beweis.
Hier ein echter Widerspruchsbeweis. Nehmen wir anstelle von $7$ auch gleich eine beliebige Primzahl $p$. (Die ursprüngliche Aussage gilt natürlich für jede Zahl, aber der folgende Widerspruchsbeweis eben nur für Primzahlen.)
Seien $a,b \in \IZ$ mit $p \mid a$, $p \mid b$ und $p \not\mid a+b$. Weil $p$ prim ist, bedeutet das $\mathrm{ggT}(p,a)=p$, $\mathrm{ggT}(p,b)=p$ und $\mathrm{ggT}(p,a+b)=1$. Der ggT von $x,y$ ist ein Erzeuger des Ideals $\langle x,y \rangle$. Es folgt
$\IZ = \langle p,a+b \rangle \subseteq \langle p,a \rangle + \langle p,b \rangle = \langle p \rangle + \langle p \rangle = \langle p \rangle,$
Widerspruch.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8295
Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-06-11
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\quoteon(2022-06-11 18:56 - Triceratops in Beitrag No. 6)
Die Beweise bisher hier sind ja keine echten Widerspruchsbeweise, sie umschreiben nur den direkten Beweis.
\quoteoff
#3 sollte eigentlich ein Scherz sein 🙃
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-11
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@StrgAltEntf: Ja, nur leider werden tatsächlich viele "Widerspruchsbeweise" genau so geführt. 😃
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