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Universität/Hochschule J Oberflächenintegrale
nDawn
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  Themenstart: 2022-06-11

Folgende Angabe: Sei f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 und sei F das Stück der Ebene x+y+z=1 mit 0<=x<=y<=1 . Berechnen Sie das Integral int(f,O,F,) . Ich bin hier nur unschlüssig was genau ich hier integrieren muss und wie ich meine Unter -bzw. Obergrenze bestimme. Mein Ansatz wäre gewesen, dass ich zuerst F parametrisiere. Dies würde dann aus x+y+z=1 -> F' = (x;y;1-x-y) machen. Anschließend hätte ich den Normalvektor bestimmt indem ich das Kreuzprodukt Fx' vec(x) Fy' bilde. Daraus würde der Normalvektor (1;1;1) folgen. Von diesem nun die Länge, also sqrt(3) ist mein nun zu integrierender Wert. Ich weiß jetzt aber nicht was oder wie ich mir die Unter -und Obergrenze herleite, bzw. ob meine Rechnung bis hier überhaupt stimmt. Ich denke hierfür benötigt man dann Polarkoordinaten! LG


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-11

Hallo nDawn, die Parametrisierung F(x,y,z)=F'(x,y) sollte funktionieren und die Integrationsgrenzen von F'(x,y) erhältst du aus der gegebenen Bedingung 0<=x<=y<=1 . Ob die übrige Rechnung stimmt kann ich nicht sagen, weil ich das zugrundeliegende Rechenverfahren nicht sehe und ich muss das selber auch erst versuchen mit dem Transformationssatz. Polarkoordinaten sind glaube ich nicht nötig. Viele Grüße, Stefan


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nDawn
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-13

Achso verstehe, dann habe ich jetzt folgende Rechnung nachdem ich mir das ganze noch einmal angeschaut habe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55640_image0_3_.jpg Stimmt das denn jetzt auch so?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-13

Das Ergebnis scheint mir richtig zu sein. Beim Integrieren kannst du übrigens die Bedingung $x\le y$ auch erstmal ignorieren und dann vom Ergebnis die Hälfte nehmen, da $f$ gegen die Vertauschung von $x$ und $y$ invariant ist. --zippy


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nDawn
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-13

Ah sehr gut! Vielen Dank. :)


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