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 Lineare Stabilitätsanalyse PDE |
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Cielo
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Dabei seit: 01.05.2017
Mitteilungen: 124
 |  Themenstart: 2022-06-17
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Hallo zusammen,
nach einiger Abwesenheit melde ich mich mal wieder zurück. Ich lese momentan ein Paper, in dem eine lineare Stabilitätsanalyse durchgeführt wird. Ich kriege es aber nicht so ganz hin und wollte euch um Hilfe bitten.
Das Setting ist wie folgt (habe es mal aus dem Englischen übersetzt):
Wir betrachten die folgende PDE (resultiert aus einem biologischem Kontext):
"\[ \frac{\partial \Phi} {\partial t} = \nabla \cdot ( \Phi K(\Phi) \nabla ( f(\Phi) - \Delta \Phi))
\]
Für die Stabilitätsanalyse wird jetzt eine initiale spatial gleichverteilte Zelldichte $\Phi_0$ betrachtet mit einer kleinen Perturbation, also
\[ \Phi = \Phi_0 + \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx).
\]
Die untere Gleichung wird nun in die obere eingesetzt und zur Ordnung $\epsilon$ wird die Wachstumsrate $\lambda$ der Perturbation erhalten, also
\[ \lambda = -D \Phi_0 K(\Phi_0) (k^2 f'(\Phi_0) + \epsilon^2 k^4)." \]
Bisher habe ich eingesetzt und komme dabei auf
\[
\frac{\delta \cos(kx) \partial \Phi \exp(\lambda t)} {\partial t} = \nabla \cdot ( \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx)
\\ K(\Phi_0 + \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx)) \nabla ( f(\Phi_0 + \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx))
\\ - \Delta (\delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx)))) \\
\Leftrightarrow \delta \cos(kx) \left ( \lambda \Phi \exp(\lambda t) + \frac{\partial \Phi}{\partial t} \exp(\lambda t) \right ) = \nabla \cdot \left ( \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx) \\
K(\Phi_0 + \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx)) \nabla ( f(\Phi_0 + \delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx))
\\ - \Delta (\delta \Phi \exp(\lambda t) \cos(kx))) \right )
\]
und dann bin ich mir nicht so sicher, wie ich weitermachen soll. Ich habe diese Antwort https://math.stackexchange.com/questions/2368049/linear-stability-analysis-of-odes-pdes gefunden, demnach müsste ich so eine Art Taylorentwicklung machen und die Eigenfunktionen finden?
Falls mir jemand weiterhelfen kann oder auch eine Quelle, wo das ganze gut erklärt wird, würde ich mich wirklich freuen!
Viele Grüße
Cielo
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