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 Bedingte Erwartung |
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nimabu
Junior 
Dabei seit: 11.02.2020
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2022-06-17
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Hallo zusammen,
ich habe eine kleine Verständnisfrage zu bedingten Erwartungswerten und vielleicht kann mir ein liebes Mitglied im Forum weiterhelfen.
Mir ist folgende Definition für den bedingten Erwartungswert einer diskreten ZV gegeben: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/52597_Screenshot_2022-06-17_184902.png
Nun wollte ich Verständnishalber den bedingten Erwartungswert einer Exponentialverteilten ZV X und einer auf {1,2,3} gleichverteilten ZV bestimmen:
\[E[X|Y]= \sum_{y=1}^3 E[X|Y=y]1_{Y=y}= \frac{\int_{Y=1}X(w)dp(w)1_{Y=y}}{\frac{1}{3}} +... = \frac{\int_{X(Y=1)} \lambda x e^{-\lambda x}dx1_{Y=y}}{\frac{1}{3}}+... \]
Erstmal ist das so richtig?
Zweitens weiss ich leider nicht ob/wie ich jetzt weiterrechnen kann. Bzw ich weiss nicht wie ich die Menge X(Y=1) bestimmen kann.
Vg nimabu
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3859
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-23
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Huhu nimabu,
bei Deinem Beispiel liegt einiges im Argen. Darauf könnte man eingehen (und wenn Du magst, werden wir das auch tun); allerdings ist Dein Beispiel auch nicht zielführend.
Solange Deine Zufallsvariablen $X$ und $Y$ unabhängig sind, werden sich $EX$ und $E(X|Y)$ bestenfalls formal unterscheiden (das erste ist eine reelle Zahl $\mu$, das zweite eine Zufallsvariable $Z$, die aber f.s. konstant mit $Z=\mu$ ist).
Ich schlage Dir ein andere Beispiel vor, das vermutlich hilfreicher ist, ein Gefühl für bedingte Erwartungen zu erhalten. Betrachte doch z.B. den Wurf zweier (Spiel-)Würfel, nenne das Ergebnis des Wurfes eines ausgezeichneten Würfels (sagen wir des roten...) $Y$, die Augensumme beider Würfel $X$ und dann kannst Du damit experimentieren.
Wie sieht in diesem Falle $E(X|Y)$ aus? Was ist z.B. konkret $E(X|Y=y)$?
Wenn Du das einmal durchgerechnet hast, kannst Du Dich sicher auch an weitere, "schwierigere" Beispiele wagen.
lg, AK
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Profil
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nimabu
Junior
Dabei seit: 11.02.2020
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-07
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Hallo Ak,
danke erstmal fur die Antwort und sorry fur die spate Ruckmeldung.
Ich hab mir ein paar Gedanken gemacht zu dem vorgeschlagenen Beispiel aber immernoch ein paar Verstandnisprobleme.
Also angenommen wir haben 2 Wurfel einen Roten und einen Grunen.
Sei Y das Ergebnis des Roten Wurfel und X die Augensumme beider Wurfel.
Nun betrachten wir ein paar bedingte Erwartungen bspw. der bedingte Erwartungswert der Augensumme gegeben dass der Rote Wurfel die Zahl 2 zeigt.
Intuitiv wurde ich sagen dieser Erwartungswert musste berechnet werden indem man den Wert der Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeit von X gegeben Y=2 multipliziert. Dementsprechend ist naturlich logisch, dass die Wahrscheinlichkeit beispielsweise die Augensumme 3 zu erhalten gegeben der Rote wurfel zeigt 2 ist gleich 1/6 etc. also:
\[E[X|Y=2] = 1/6 * (3+4+5+6+7+8) = 5.5 \]
Das ist das logischste Ergebnis und laut meiner Google Recherche sollte das auch stimmen.
Nun steht aber im Skript und im Internet folgende Definition fur den Bedingten Erwartungswert : \(E[Y|B] = \frac{E[1_BY]}{P(B)}\). Nun habe ich versucht das so auszurechnen und bin auf folgende Rechnung gekommen in der aber ein Fehler sein muss:
\[E[X|Y=2] = 6*E[1_{Y=2}X] = 6*(P(X=3)*3+P(X=4)*4+P(X=5)*5+P(X=6)*6+P(X=7)*7+P(X=8)*8) = 25 \]
Dies ist offensichtlich falsch. Ich gehe also davon aus, dass ich \(E[1_{Y=2}X]\) falsch berechne, aber ich weiss nicht genau wie es richtig geht... Falls ich noch einen kleinen Tipp diesbezuglich kriegen kann ware ich sehr dankbar :)
VG Amin
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Profil
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michfei
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 02.03.2022
Mitteilungen: 56
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-08
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Hallo Amin,
du hast tatsächlich den Erwartungswert falsch berechnet.
Wenn du es rein wahrscheinlichkeitstheoretisch betrachtest, dann berechnest du ja den Erwartungswert der Zufallsvariable \(1(Y=2) X\). Das heißt, es müsste wenn überhaupt
\[E[X|Y=2] = 6*E[1(Y=2) X] = 6*(P(1(Y=2) X=3)*3+P(1(Y=2) X=4)*4+P(1(Y=2) X=5)*5+P(1(Y=2) X=6)*6+P(1(Y=2) X=7)*7+P(1(Y=2) X=8)*8)\] lauten.
Einfacher ist es jedoch in unserem Fall, \(X = Y + (X-Y)\) zu betrachten.
Überleg dir, was \(X-Y\) in unserem Zufallsexperiment ist und wie es mit \(Y\) in Verbindung steht.
LG
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| nimabu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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