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 Beweis für Mengenring |
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gordon_freeman
Junior 
Dabei seit: 20.06.2022
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2022-06-20
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Hallo,
ich komme bei (i) nicht ganz zurecht:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55681_Capture.PNG
Dazu hätte ich versucht die drei Eigenschaften für einen Mengenring zu prüfen:
1. Für ein beliebiges k, bspw. k=1 ist der Beweis erbracht, dass R nicht die leere Menge ist.
2. Es sei \[A =~]a_1, b_1] ~\cup~ ... ~\cup~ ]a_{n-1}, b_{n-1}] ~~~ und ~~~ B =~]a_n, b_n] ~\cup~ ... ~\cup~ ]a_k, b_k] ~~~ \Rightarrow ~~~ \\ A ~\cup~ B = ~]a_1, b_1] ~\cup~ ... ~\cup~ ]a_k, b_k] \in R.\]
3. Hier bin ich planlos.
Geht das in die richtige Richtung?
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Qing
Senior 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 344
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-20
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Hallo,
dass $\mathcal{R}$ nicht die leere Menge ist, kannst du wohl schöner begründen, indem du ein konkretes Element der Menge angibst.
Ist dir zum Beispiel klar, weshalb $\emptyset\in\mathcal{R}$ liegt? Das ist wohl das einzig lehrreiche Element, was man angeben kann. Es reicht natürlich irgendeins anzugeben.
(Ansonsten ist dies aber so offensichtlich, dass man es wohl ausnahmsweise mit einem "klar" abfertigen darf...)
Dein Beweis für die zweite Eigenschaft, ist mir ein bisschen zu dünn.
Es reicht hier etwa, wenn du dich auf den Fall einschränkst, dass du wirklich nur zwei halboffene Intervalle vereinigst.
Danach folgt die Aussage etwa induktiv.
Bei zwei Mengen kannst du dann etwa ein paar Fälle unterscheiden, und es so zeigen.
Machst du das sorgfältig, kannst du auch 3. zeigen.
Edit: Ich habe die Aufgabe nicht sorgfältig gelesen, und nicht beachtet, dass die Intervallgrenzen durch $<$ geordnet sind.
Das macht es aber eigentlich sowieso einfacher.
Ob man dann für die 1. schon die leere Menge direkt als Beispiel angeben kann, liegt ein wenig daran, ob man die obige Bedingung als
$\bigcup_{n=1}^k (a_n,b_n]$ mit $k\geq 0$ verstehen möchte, oder nicht.
(Davon ist aber auszugehen)
Eigentlich hatte ich aber $\emptyset=(a,a]$ im Sinn. Was aufgrund von $<$ aber nicht funktioniert. Für $\leq$ natürlich schon.
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3818
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-20
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Huhu gordon_freeman und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!
Du gehst natürlich in die richtige Richtung. Du musst einfach die drei charakteristischen Eigenschaften eines Rings nachweisen.
Für die Abgeschlossenheit bezüglich der Differenzbildung, kannst Du ja zunächst einmal überlegen, welche Konstellationen bei der Differenz zweier Element $A=(a_1,b_1]$ und $B=(a_2,b_2]$ auftreten können und vergewissere Dich, dass dabei nur die leere Menge oder eine Vereinigung halboffener Intervalle "entstehen" kann.
Vielleicht fällt Dir dann noch ein kombinatorisches Argument ein, mit dessen Hilfe Du zeigen kannst, dass dann auch die Differenz allgemeiner Elemente des Rings nur eine (endliche) Vereinigung halboffener Intervalle sein kann.
lg, AK
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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gordon_freeman
Junior 
Dabei seit: 20.06.2022
Mitteilungen: 6
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20
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Ok danke für die Vorschläge, ich habe, so weit wie möglich, versucht diese einzubauen. Nun habe ich:
1. \( \bigcup_{n=1}^{k}]a_n,b_n] ~~mit~~ k = 0 ~~~ \Rightarrow ~~~ \emptyset \in R ~~~\Rightarrow ~~~ R \neq \emptyset\).
2. Mit \( A=~]a_n,b_n],~B=~]a_k,b_k],~folgt~dass~ A ~\cup~ B =~]a_n,b_n] ~\cup~]a_k,b_k] \in R. \)
3. Drei Fallunterscheidungen:
I: \( A=~]a_n,b_n],~B=~]a_k,b_k]. Wobei~n...k-1,~k...i~~~mit~n,k,i \in \mathbb{R}. ~~~ A \setminus B = ]a_n,b_n] \in R. \)
II: \( A=~]a_n,b_n] ~\cup~ ]a_k,b_k] ,~B=~]a_k,b_k] ~\cup~ ]a_i,b_i].~A \setminus B = ]a_n,b_n] ~\cup~ ]a_i,b_i] \in R. \)
III: \( A=~]a_n,b_n],~B=~]a_n,b_n].~A \setminus B = \emptyset \in R.\)
Wie sieht es nun aus?
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Triceratops
Wenig Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-20
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\quoteon(2022-06-20 21:37 - Qing in Beitrag No. 1)
Es reicht hier etwa, wenn du dich auf den Fall einschränkst, dass du wirklich nur zwei halboffene Intervalle vereinigst.
Danach folgt die Aussage etwa induktiv.
\quoteoff
Das ist nicht richtig. Der Induktionsschritt funktioniert so nicht.
@gordon_freeman: Du musst beim Nachweis des Abschlusses unter Vereinigungen beachten, dass die Intervallgrenzen echt aufsteigend sein müssen. Daher muss man hier dann auch ggf. Anpassungen vornehmen und die Intervalle miteinander "verschmelzen".
Beispiel: ${]1,2]} \cup {]2,5]}$ muss dann als $]1,5]$ geschrieben werden, damit es als Element von $\mathcal{R}$ anerkannt werden kann. Und ${]1,5]} \cup {]2,6]}$ muss als $]1,6]$ geschrieben werden. Diese Überlegungen musst du verallgemeinern.
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gordon_freeman
Junior
Dabei seit: 20.06.2022
Mitteilungen: 6
|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20
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Verstehe... auch ist mir bei 3. aufgefallen, dass man ja III tauschen könnte mit (neuer 3.):
Also ist nun,
2. \( A=~]a_1,a_2] ~\cup~ ... ~\cup~ ~]a_{k-1},a_k],~ B=~]b_1,b_2] ~\cup~ ... ~\cup~ ~]b_{k-1},b_k].\\ ~~~ A ~\cup~ B =~]a_1, a_2] ~\cup~ ... ~\cup~ ]a_{k-1}, a_k] ~\cup~ ]b_1,b_2] ~\cup~ ... ~\cup~ ]b_{k-1}, b_k] ~=~ ]a_1,b_k] \in \mathcal{R}.\)
3.
IV (III): \( A=~]a_1,b_1] ~\cup~ ... ~\cup~ ]a_k, b_k],~ B=~]a_1,b_1] ~\cup~ ... ~\cup~ ]a_n, b_n],~~~ wobei~~n \leq k~~mit~~n,k \in \mathbb{R}.\\ A \setminus B = \emptyset \in \mathcal{R}, ~~wenn~~ n = k.\\A \setminus B =~]a_{n+1}], b_{n+1}] ~\cup~ ]a_k, b_k] \in \mathcal{R}, ~~wenn~~ n \lt k. \)
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gordon_freeman
Junior
Dabei seit: 20.06.2022
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-21
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Ist das so richtig, oder muss bei 2. ebenfalls wieder Fallunterscheidungen gemacht werden?
Auch verstehe ich nicht ganz:
\quoteon(2022-06-20 22:48 - Triceratops in Beitrag No. 4)
Beispiel: ${]1,2]} \cup {]2,5]}$ muss dann als $]1,5]$ geschrieben werden, damit es als Element von $\mathcal{R}$ anerkannt werden kann. Und ${]1,5]} \cup {]2,6]}$ muss als $]1,6]$ geschrieben werden. Diese Überlegungen musst du verallgemeinern.
\quoteoff
Da \(b_{k-1} \lt a_k \) sein muss, kann ein Fall wie \({]1,2]} \cup {]2,5]}\) ja gar nicht auftreten bzw. können Intervalle dieser Menge nie "verschmelzen", oder liege ich da falsch?
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