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 DGL 1. Ordnung |
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Red_fox
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 |  Themenstart: 2022-06-20
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Hallo,
ich bin wieder einmal dabei einige DGL zu lösen und bin nun bei der letzten Aufgabe auf folgendes DGL gestoßen:
\(y'-\frac{y}{z}=2y^2\) -> \(\frac{1}{y^2}\cdot \frac{dy}{dz}-\frac{1}{yz}=0\) (ich suche erst die homogene Lösung). Ich würde hier gerne mit
u = \(\frac{1}{y}\) substituieren und dabei entsteht das Problem, das ich kein u' erhalte da u = \(\frac{1}{y}\) -> y'=\(-\frac{1}{u^2}\). Zwar kann ich nach der Substitution nach TdV vorgehen, allerdings fehlt mein u' um anschließend integrieren zu können. Bernoulli DGL hatten wir bisher nicht, ausschließlich Substitution und TdV. Gibts hier vielleicht einen Trick den man anwenden kann um trotzdem noch u' erhalten zu können?
Mit freundlichen Grüßen
Jan
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4643
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-20
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\quoteon(2022-06-20 23:04 - Red_fox im Themenstart)
Ich würde hier gerne mit
u = \(\frac{1}{y}\) substituieren und dabei entsteht das Problem, das ich kein u' erhalte da u = \(\frac{1}{y}\) -> y'=\(-\frac{1}{u^2}\).
\quoteoff
Du hast falsch differenziert: $\displaystyle y'=-\frac{u'}{u^2}$.
--zippy
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Red_fox
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20
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Hallo Zippy,
stehe ich gerade so auf dem Schlauch? u = \(\frac{1}{y}\) -> y= \(\frac{1}{u}\) -> y = \(u^-1\) -> y' = \(-u^-2\) = -\(\frac{1}{u^2}\)
Mit freundlichen Grüßen
Jan
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2965
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-20
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Hallo
Du brauchst die Kettenregel.
Gruß Caban
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4643
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-20
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Nach was differenzierst du denn? Nach $u$ oder $z$?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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Red_fox
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-20
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Hallo,
danke für die Hilfe, ich differenziere ja nach z also -> \(y'=-u^{-1}\cdot u'\) und dann kommt man auf dein Ergebnis \(-\frac{u'}{u^2}\). Danke euch, der Tag war heute wohl zu lange 😐
Mit freundlichen Grüßen
Jan
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Kuestenkind
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-22
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Huhu Jan,
du kommst auch wieder ohne Substitution aus:
\(\displaystyle y'-\frac{y}{z}=2y^2 \quad |\cdot z\)
\(\displaystyle zy'-y=2zy^2 \quad |: y^2\)
\(\displaystyle \frac{zy'-y}{y^2}=2z \)
\(\displaystyle \left(\frac{-z}{y}\right)'=2z \)
Es bleibt dann also nur noch übrig sich Gedanken um \(y=0\) zu machen. Das hast du ja aber hoffentlich schon erledigt, als du dividiert und \(u=\frac{1}{y}\) substituiert hast.
Gruß,
Küstenkind
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