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  Homologien berechnen |
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eisenstein01
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 |  Themenstart: 2022-06-22
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Hi Leute, ich soll zeigen, dass gilt:
$\mathrm{Tor^\mathbb{Z}_i}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A)$ für eine abelsche Gruppe $A$ für
- $i = 0$ isom. ist zu $A/nA$,
- $i = 1$ isom. ist zu $A[n]$ (n-Torsionsmodul von A)
- $i$ größer 2 isom. ist zu 0.
Ich betrachte die projektive Auflösung $P$ von $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$:
$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to 0$, wobei die erste Abb. die Multiplikation mit $n$, die zweite die Projektion ist. Ich würde nun gerne berechenen:
$H_i(P \otimes_\mathbb{Z} A)$.Stimmt das soweit bisher? Ich frage mich aber, was $P \otimes_\mathbb{Z} A$ ist. Zwei Fragen stellen sich mir:
1) Aufgrund der Rechtsexaktheit des Tensorprodukts ist die Folge $P \otimes_\mathbb{Z} A$ aber doch nur exakt, wenn ich links die Null weglasse, und in diesem Fall bleibt die 0 aber doch links stehen und folglich muss die Folge auch nicht exakt sein oder?
2) Wenn die Folge exakt wäre, dann wäre doch jede Homologie = 0. Oder habe ich hier einen Denkfehler?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-23
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Es fehlt die Voraussetzung $n \neq 0$. (Für $n = 0$ haben wir $\mathrm{Tor}_i(\IZ,A)=0$, weil $\IZ$ frei und daher flach über $\IZ$ ist.)
Der Komplex $P \otimes A$ ist definiert durch
$\cdots \xrightarrow{~~~} P_2 \otimes A \xrightarrow{d_2 \otimes A} P_1 \otimes A \xrightarrow{d_1 \otimes A} P_0 \otimes A$
Beachte auch, dass hier alle Komplexe durch $0$ nach rechts fortgesetzt werden können bzw. müssen, damit die $0$-te Homologie richtig berechnet werden kann.
Die projektive Auflösung hier hat die Form $0 \to P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \to \IZ/n\IZ \to 0$ mit $P_1 = P_0 = \IZ$, $d_1 = n$ (=Multiplikation mit $n$), sodass wir also den Komplex
$0 \to \IZ \otimes A \xrightarrow{n \otimes A} \IZ \otimes A \to 0$
erhalten – hier habe ich rechts die Null ergänzt. Es gilt nun $\IZ \otimes A \cong A$ (siehe dazu deine Vorlesungsunterlagen oder auch hier), und unter diesem Isomorphismus entspricht $n \otimes A$ gerade $n : A \to A$, $a \mapsto na$. Der Komplex ist daher isomorph zu
$0 \to A \xrightarrow{n} A \to 0$
Jetzt kann man die Homologie leicht ablesen.
Zu deinen Fragen: Vielleicht wirst du diese dir selbst beantworten können, nachdem du die Aufgabe gelöst hast. Der Komplex $P \otimes A$ ist hier eben nicht immer exakt und daher die Homologie auch interessant. Du kannst die Aufgabe zum Beispiel benutzen, um
$\mathrm{Tor}_1(\IZ/n\IZ,\IZ/m\IZ) \cong \IZ/\mathrm{ggT}(n,m)\IZ$
zu zeigen, die Homologie im Grad $1$ also durchaus $\neq 0$ sein kann. Das drückt gerade aus, dass das Tensorprodukt nicht unbedingt exakt sein muss.
Die Rechtsexaktheit des Tensorproduktes sorgt dafür, dass $\mathrm{Tor}_0(B,A)$ immer zu $B \otimes A$ isomorph ist.
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eisenstein01
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23
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\quoteon(2022-06-23 10:41 - Triceratops in Beitrag No. 1)
$0 \to A \xrightarrow{n} A \to 0$
\quoteoff
Vielen Dank, das habe ich soweit verstanden! Wenn man nun $\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, A)$ berechnen möchte, muss kann ich mir ja die selbe projektive Auflösung hernehmen und auf diese dann den Hom-Funktor anwenden, und erhalte dann eben die Folge
$0 \to Hom(\mathbb{Z}, A) \to Hom(\mathbb{Z}, A) \to 0$. sollte ich mir ja dann eigentlich die Kohomologien berechnen können, allerdings verstehe ich nicht so ganz, was die $0$-te Kohomologie dieser Folge ist. Oder drehe ich allgemein bei einer Kokettenkomplex die Pfeile um?
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-23
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Schau dir doch bitte einfach die allgemeine Definition an, achte auf die Indizes, und schreibe dir hin, was die beteiligten Moduln hier sind. Dann weißt du auch, was die $0$-te Kohomologie hier ist.
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eisenstein01
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23
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\quoteon(2022-06-23 19:13 - Triceratops in Beitrag No. 3)
Schau dir doch bitte einfach die allgemeine Definition an, achte auf die Indizes, und schreibe dir hin, was die beteiligten Moduln hier sind. Dann weißt du auch, was die $0$-te Kohomologie hier ist.
\quoteoff
Bei der Definition habe ich Schwierigkeiten: Wenn ich das richtig verstehe, benötige ich einen Kokettenkomplex um überhaupt einmal eine Kohomologie zu berechnen. Der Kokettenkomplex ist ja nun aber nichts anderes als der Kettenkomplex in der dualen Kategorie, das heißt ich würde mir doch schlichtweg alle Pfeile in meiner Folge, die ich erhalte, wenn ich auf die projektive Auflösung von $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ den Hom-Funktor anwende, gerade einmal umdrehen, so dass dann eben die $0$-te Kohomologie auf der "Linken-Seite" meiner Folge "steht". Bis hierin hoffe ich, das richtig verstanden zu haben.
Nun muss ich mir ja $kern(\delta_0)/im(\delta_{-1})$ berechnen um auf $H^0$ zu kommen, das macht aber keinen Sinn, da "links neben $\delta_0$" keine Abbildung mehr steht und $H^0 \cong A[n]$ sein soll (nach Aufgabe). Also entweder habe ich wahrscheinlich das Prinzip des Dualisierens falsch verstanden oder meine Indizierung ist schlichtweg Mist.
Oder vielleicht anders gefragt: Muss ich noch etwas tun, um aus $\mathrm{Hom}(P,A)$ einen Kokettenkomplex zu machen, weil wenn nicht, wo ist dann der Unterschied zu dem Komplex oben? Ist dieser dann auch einfach ein Kokettenkomplex?
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-23
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Ich meinte das hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Ext_functor
Der Abschnitt
"An alternative definition uses the functor G(A)=HomR(A, B), for a fixed R-module B. [...] Then ...
... is the cohomology of this complex at position i. "
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eisenstein01
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23
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\quoteon(2022-06-23 19:34 - Triceratops in Beitrag No. 5)
Ich meinte das hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Ext_functor
Der Abschnitt
"An alternative definition uses the functor G(A)=HomR(A, B), for a fixed R-module B. [...] Then ...
... is the cohomology of this complex at position i. "
\quoteoff
Danke, ich versuche es.
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eisenstein01
Aktiv
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-23
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\quoteon(2022-06-23 19:34 - Triceratops in Beitrag No. 5)
Ich meinte das hier: https://en.wikipedia.org/wiki/Ext_functor
Der Abschnitt
"An alternative definition uses the functor G(A)=HomR(A, B), for a fixed R-module B. [...] Then ...
... is the cohomology of this complex at position i. "
\quoteoff
Frage: Warum ist $Hom_\mathbb{Z}(\mathbb{Z},A) \cong A$? Also ich stehe grade total auf dem Schlauch, einen Iso kann ich angeben, aber warum gilt das Kategorientheoretisch? Ist eine bel. abelsche Gruppe $A \cong \mathbb{Z}$?
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-06-23
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Vielleicht schaust du einfach morgen noch einmal auf diese Frage(n).
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eisenstein01 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
eisenstein01 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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