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  Besonderes Dreieck in einer triangulierten Kategorie und modulo 4 Beziehungen |
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1852
 |  Themenstart: 2022-06-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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Hi,
hat jemand vielleicht einen Tipp für folgende (ziemlich coole) Aufgabe?
Sei $n \geq 1$ and $E \neq 0$ ein Objekt in einer triangulierten Kategorie $\mathscr{T}$, sodass $$E \xrightarrow{n \cdot \id_E} E \xrightarrow{n \cdot \id_E} E \xrightarrow{h} \Sigma E$$ ein ausgezeichnetes Dreieck ist. Dann ist $n \equiv 2 \pmod 4$ und $4 \cdot \id_E = 0$.
Dass zwei aufeinanderfolgende Abbildungen zu $0$ verketten, hat mir nicht geholfen. Versuchen Abbildungen zwischen Dreiecken über (T4) zu erhalten, gibt mir auch keine Information. Und ich sehe auch nicht, wie mir die exakten Sequenzen der Hom-Gruppen für ausgezeichnete Dreiecke helfen kann.\(\endgroup\)
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Triceratops
Aktiv 
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 6472
Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-23
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Ich habe hier https://www.math.uni-bonn.de/people/schwede/nomodel-InvMath.pdf eine Lösung gefunden (Remark 12). Suchbegriff war: triangulated category exercise "n is odd". Wenn du knobeln möchtest, gebe ich mal nur den Tipp, zwischen den Dreiecken
$E \xrightarrow{n} E \xrightarrow{n} E \xrightarrow{h} \Sigma E$
$E \xrightarrow{n} E \xrightarrow{h} \Sigma E \xrightarrow{-n} \Sigma E$
einen Isomorphismus $\psi : E \to \Sigma E$ zu finden. Dann gilt $2n \psi = 0$ (wieso?) und daher $2n \cdot \mathrm{id}_E = 0$ auf $E$. Jetzt wende die Exaktheit auf $2 \cdot \mathrm{id}_E$ an.
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1852
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24
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Oh wow, Schwede stellt echt gerne Hausaufgaben zu Resultaten aus seinen Papers 😁
Danke dir! Der Hinweis war gut, ich habe damit essentiell den selben Beweis wie in dem verlinkten Text vervollständigen können.
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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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