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Universität/Hochschule J Harmonische Folge - allgemeine Darstellung
William_Wallace
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  Themenstart: 2022-06-24

Hallo liebe Leute, ich verstehe die Argumentation, warum die Harmonische Folge sum((1/k),k=1,n) (k>=1) divergiert. Hier die "Denkskizze": 1/3 + 1/4 > 2* 1/4 = 1/2 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 4 * 1/8 = 1/2 1/9 + 1/10 + ... + 1/16 > 8 * 1/16 = 1/2 Die Argumentation ist ja: sum(k*1/2,k=1,n) < sum((1/k),k=1,n) Und weil sum(k*1/2,k=1,n) divergiert, divergiert auch sum((1/k),k=1,n) Könnte mir bitte jemand (zügig) auf die Sprünge helfen, wie man aus dem bisherigen auf die folgende Zeile kommt: 1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^k+2^k=2^(k+1) )> 2^k *1/(2^(k+1)) = 1/2 Insbesondere, wie kommt man auf das 2^k Falls, sich in meinen Ausführungen minimale "Darstellungsfehler" eingeschlichen habe, bitte ich um Nachsicht. Gerne Verbessern, aber mir geht es im Wesentlichen um meine Frage. Danke


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24

Hallo, diese Argumentation lässt sich verallgemeinern und ist dann als "Cauchy-Verdichtungskriterium" bekannt. Siehe z.B. auch hier. LG Nico


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William_Wallace
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Danke, der Link beinhaltet die Argumentation. Er bringt mich aber nicht bei der Frage weiter, woher das 2^k kommt. Ist vermutlich trivial, aber ich habe gerade einen blinden Fleck.


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Es werden eben immer $2^k$ Summanden durch den kleinsten davon abgeschätzt. Bei der harmonischen Reihe hast du $$ 1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac15+\frac 16+\frac 17+\frac 18+\dots. $$ Die $1$ lassen wir unverändert und beginnen bei $\frac 12$. Dann schauen wir uns $\frac 13+\frac 14$ an, was größer als $\frac 12$ ist. Dann schauen wir uns $\frac15+\frac 16+\frac 17+\frac 18$ an, was größer als $\frac 12$ ist und dann schauen wir uns die nächsten $8=2^3$ Summanden und dann die nächsten $16=2^4$ Summanden an und so weiter. Wir haben also im Prinzip folgendes gemacht: $$ 1+\color{red}{\frac 12}+\color{blue}{\frac 13+\frac 14}+\color{green}{\frac15+\frac 16+\frac 17+\frac 18}+\dots \geq 1+\color{red}{\frac 12}+\color{blue}{\frac 12}+\color{green}{\frac 12}+\dots = 1+\color{red}{2^0\cdot\frac 12}+\color{blue}{2^1\cdot\frac 14 }+\color{green}{2^2\cdot\frac 18}+\dots $$ Zu "ist vermutlich trivial, aber..." möchte ich auf Kezer's Artikel verweisen. LG Nico\(\endgroup\)


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Buri
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-24

Hi William_Wallace, 2k ist die Anzahl der Summanden in der Summe. Gruß Buri [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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William_Wallace
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24

Achso, vielen Dank. Habe ich richtig verstanden: Die Anzahlen der Summanden wurden extra so gewählt, dass man sie so als 2^k schreiben kann, bzw. weil dann praktischere Werte rauskommen. Dh. man hätte theoretisch auch immer nur 2 oder 3 Summanden nehmen können? Nur dann würde man eben nicht auf so eine Praktische Formel kommen?


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nzimme10
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, bei der harmonischen Reihe bietet es sich eben an immer $2^k$ Summanden zu betrachten, da man dann immer "schön" auf $\frac 12$ kommt. Wenn du dir das allgemeine Argument des Cauchy-Verdichtungskriteriums ansiehst, dann stellst du fest, dass die $2$ hier nicht so wichtig ist. Man könnte auch jeweils $3^k$ Summanden betrachten etc. Es gibt eine Verallgemeinerung von Schlömilch: Sei $u\colon \mathbb N\to \mathbb N$ eine streng monoton wachsende Folge derart, dass es ein $N\in \mathbb N$ gibt, so dass $$ \frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}\(\endgroup\)


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