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| Autor |
  Harmonische Folge - allgemeine Darstellung |
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William_Wallace
Aktiv 
Dabei seit: 17.03.2009
Mitteilungen: 320
Wohnort: Stirling
 |  Themenstart: 2022-06-24
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Hallo liebe Leute,
ich verstehe die Argumentation, warum die Harmonische Folge sum((1/k),k=1,n) (k>=1) divergiert.
Hier die "Denkskizze":
1/3 + 1/4 > 2* 1/4 = 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 4 * 1/8 = 1/2
1/9 + 1/10 + ... + 1/16 > 8 * 1/16 = 1/2
Die Argumentation ist ja:
sum(k*1/2,k=1,n) < sum((1/k),k=1,n)
Und weil sum(k*1/2,k=1,n) divergiert, divergiert auch sum((1/k),k=1,n)
Könnte mir bitte jemand (zügig) auf die Sprünge helfen, wie man aus dem bisherigen auf die folgende Zeile kommt:
1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+...+1/(2^k+2^k=2^(k+1) )> 2^k *1/(2^(k+1)) = 1/2
Insbesondere, wie kommt man auf das 2^k
Falls, sich in meinen Ausführungen minimale "Darstellungsfehler" eingeschlichen habe, bitte ich um Nachsicht. Gerne Verbessern, aber mir geht es im Wesentlichen um meine Frage.
Danke
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-24
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Hallo,
diese Argumentation lässt sich verallgemeinern und ist dann als "Cauchy-Verdichtungskriterium" bekannt.
Siehe z.B. auch hier.
LG Nico
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William_Wallace
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24
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Danke, der Link beinhaltet die Argumentation.
Er bringt mich aber nicht bei der Frage weiter, woher das 2^k kommt.
Ist vermutlich trivial, aber ich habe gerade einen blinden Fleck.
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Es werden eben immer $2^k$ Summanden durch den kleinsten davon abgeschätzt. Bei der harmonischen Reihe hast du
$$
1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\frac15+\frac 16+\frac 17+\frac 18+\dots.
$$
Die $1$ lassen wir unverändert und beginnen bei $\frac 12$. Dann schauen wir uns $\frac 13+\frac 14$ an, was größer als $\frac 12$ ist. Dann schauen wir uns $\frac15+\frac 16+\frac 17+\frac 18$ an, was größer als $\frac 12$ ist und dann schauen wir uns die nächsten $8=2^3$ Summanden und dann die nächsten $16=2^4$ Summanden an und so weiter. Wir haben also im Prinzip folgendes gemacht:
$$
1+\color{red}{\frac 12}+\color{blue}{\frac 13+\frac 14}+\color{green}{\frac15+\frac 16+\frac 17+\frac 18}+\dots \geq 1+\color{red}{\frac 12}+\color{blue}{\frac 12}+\color{green}{\frac 12}+\dots =
1+\color{red}{2^0\cdot\frac 12}+\color{blue}{2^1\cdot\frac 14 }+\color{green}{2^2\cdot\frac 18}+\dots
$$
Zu "ist vermutlich trivial, aber..." möchte ich auf Kezer's Artikel verweisen.
LG Nico\(\endgroup\)
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46582
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-06-24
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Hi William_Wallace,
2k ist die Anzahl der Summanden in der Summe.
Gruß Buri
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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William_Wallace
Aktiv 
Dabei seit: 17.03.2009
Mitteilungen: 320
Wohnort: Stirling
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-24
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Achso, vielen Dank.
Habe ich richtig verstanden:
Die Anzahlen der Summanden wurden extra so gewählt, dass man sie so als 2^k schreiben kann, bzw. weil dann praktischere Werte rauskommen.
Dh. man hätte theoretisch auch immer nur 2 oder 3 Summanden nehmen können?
Nur dann würde man eben nicht auf so eine Praktische Formel kommen?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 1529
Wohnort: Köln
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-06-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\ \mathrm{d}}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
bei der harmonischen Reihe bietet es sich eben an immer $2^k$ Summanden zu betrachten, da man dann immer "schön" auf $\frac 12$ kommt.
Wenn du dir das allgemeine Argument des Cauchy-Verdichtungskriteriums ansiehst, dann stellst du fest, dass die $2$ hier nicht so wichtig ist. Man könnte auch jeweils $3^k$ Summanden betrachten etc.
Es gibt eine Verallgemeinerung von Schlömilch:
Sei $u\colon \mathbb N\to \mathbb N$ eine streng monoton wachsende Folge derart, dass es ein $N\in \mathbb N$ gibt, so dass
$$
\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)-u(n-1)}\(\endgroup\)
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William_Wallace hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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