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| Autor |
 Beweis von Ungleichung |
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ArmoredGatto
Neu 
Dabei seit: 29.11.2019
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-06-26
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Hallo!
Ich hätte folgende Frage:
Wie beweist man folgende Ungleichung:
\(n^2 > ln(n)^3\) für alle \(n\in\mathbb{N}\)
Intuitiv macht das viel Sinn, aber wie zeigt man das formell? Durch Umformungen komm ich nicht weit und die vollständige Induktion führt mich auch nicht weiter.
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
vielleicht nicht die eleganteste Idee: beide Terme als Funktion auf \(\IR^{+}\) auffassen, die Ungleichheit für \(x=1\) nachrechnen und dann über die Ableitungen argumentieren.
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2623
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
In Anlehnung an Diophants Beitrag:
Betrachte $f(x)=\frac{\ln(x)^3}{x^2}$ und zeige, dass
$$
f(x)\leq f(\e^{3/2})=\frac{27}{8\cdot\e^3}<1
$$
für alle $x\in (0,\infty)$ gilt.
LG Nico\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2583
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-26
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Huhu ArmoredGatto,
vielleicht kennst du ja auch die Reihenentwicklung der \(\exp\)-Funktion. Da \(n>0\) kannst du auch \(n=e^t\) setzen:
\(\displaystyle n^2> \left(\ln n\right)^3 \iff e^{2t}>t^3\)
Nun ist: \(e^{2t}=1+(2t)+\frac{(2t)^2}{2!}+\underbrace{\frac{(2t)^3}{3!}}_{=\frac{4}{3}t^3}+\ldots\)
Gruß,
Küstenkind
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| ArmoredGatto hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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