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Funktionentheorie » Holomorphie » Funktion konstruieren
Autor
Universität/Hochschule Funktion konstruieren
Student10023
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  Themenstart: 2022-06-27

Sei $G = B_1(0)-\{0\}$. Konstruieren Sie $f:G \to \mathbb{C}$, sodass f nicht konstant ist, holomorph ist und unendlich viele Nullstellen hat. Wegen des Identitätssatzes darf die Menge der Nullstellen von f keinen Häufungspunkt in G haben, ich hab allerdings keine Idee wie ich so etwas konstruieren soll. Hat jemand eine Idee?

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Student10023
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  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-27

Funktioniert evtl. $f = sin(1/z) $, denn diese Funktion geht ja immer "hoch und runter" und je näher bei 0 ist, desto so schneller tut sie das und hat also unendlich viele Nullstellen, aber alle Nullstellen sind isoliert, da zwischen einer Nullstelle und der nächsten der Sinus noch einmal hochgehen muss und runter. Funktioniert das ?

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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-06-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-06-27 16:52 - Student10023 in Beitrag No. 1) Funktioniert das? \quoteoff Das kannst du doch nun wunderbar selbst prüfen. Alle Anforderungen an solch eine Funktion $f$ hast du bereits genannt. Prüfe also: - Ist $f$ auf $G$ definiert? - Ist $f$ holomorph? - Ist $f$ nicht konstant? - Besitzt $f$ unendlich viele Nullstellen in $G$? Wenn du alle Fragen mit "Ja" beantworten kannst: super, du bist fertig. Wenn nicht, dann nicht. Bonusfrage: Die Nullstellenmenge deiner Funktion hat einen Häufungspunkt in $\mathbb C$. Warum widerspricht das nicht dem Identitätssatz? LG Nico\(\endgroup\)

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