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Mathematik » Topologie » Lorentzgruppe ist 6-dim Untermannigfaltigkeit des R^4x4
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Universität/Hochschule Lorentzgruppe ist 6-dim Untermannigfaltigkeit des R^4x4
l4r5
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  Themenstart: 2022-06-30

Grüße! Eine Bekannte hängt gerade verzweifelt an ihrer Matheaufgabe und wir kommen einfach nicht mehr weiter. Zu zeigen ist, dass die Gruppe O(3,1) der reellen 4x4-Matrizen A, welche der Bedingung A^T * D * A = D mit D=diag(1,1,-1,-1) genügen, eine 6-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^4x4 ist. Wir haben schon versucht eine geeignete Funktion zu konstruieren und dann unsere Definition einer UMF zu benutzen, kommen hier aber auch nicht wirklich weiter.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, betrachte eventuell die Abbildung $$ f\colon \mathbb R^{4\times 4} \to S_4(\mathbb R), \ X\mapsto X^tDX-D, $$ wobei $S_4(\mathbb R)$ die symmetrischen $4\times 4$-Matrizen bezeichnet. Zeige dann, dass $\d f_X\colon T_X\mathbb R^{4\times 4}\to T_{f(X)}S_4(\mathbb R)$ für jedes $X\in O(3,1)$ surjektiv ist. Beachte zuletzt, dass $\dim(\mathbb R^{4\times 4})=16$ und $\dim(S_4(\mathbb R))=10$ gilt. Anmerkung: Meinst du eventuell $D=\opn{diag}(1,1,1,-1)$? LG Nico\(\endgroup\)


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l4r5
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Oh ja, sollte diag(1,1,1,-1) sein. Mein Fehler... 6-dimensional dürfte ja dann folgen, weil wir eine Basis B des S4(R) wählen können und dann ist B=(A, A^2, A^3, ... A^9, I), mit I als Einheitsmatrix (bzw. A^0) und A eine symmetrische Matrix. Korrekt? Dann würde aus Linearer Algebra folgen dimS4 = 10, und mit Dimensionsformel dann ker(f)=6, und ker(f) ist ja genau die UMF, oder? Nochmal dickes danke. Wenn das oben passt, haben wir's :)


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-06-30

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Kommt jetzt eben ein bisschen auf eure Definition von Untermannigfaltigkeit an. Ich möchte auf den Satz vom regulären Wert hinaus. Dieser lautet: Seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten, $f\colon M\to N$ differenzierbar und $n\in N$. Wenn $\d f_p\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ für jedes $p\in f^{-1}(\lbrace n\rbrace)$ surjektiv ist, dann ist $f^{-1}(\lbrace n\rbrace)$ eine $\dim(M)-\dim(N)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $M$. Wenn du sagst, dass $\ker(f)$ die Untermannigfaltigkeit wäre, dann gehst du bestimmt davon aus, dass $f$ eine lineare Abbildung ist. Ist dem denn so? In jedem Fall ist $O(3,1)=f^{-1}(\lbrace 0_4\rbrace)$. LG Nico\(\endgroup\)


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l4r5
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-06-30

Aahhhhh, jetzt sehen wir es auch! Okay, dann war das mit ker(f) ein blöder Gedanke von uns. Dickes Dankeschön!! Fühl dich gedrückt. :)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-06-30

\quoteon(2022-06-30 15:00 - l4r5 in Beitrag No. 4) Fühl dich gedrückt. :) \quoteoff Ungerne.


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