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Lineare Algebra » Bilinearformen&Skalarprodukte » Umkehrabbildung des Rieszschen Isomorphismus
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Universität/Hochschule J Umkehrabbildung des Rieszschen Isomorphismus
frege_fanatiker
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  Themenstart: 2022-07-03

Hallo Leute, in einer Übungsaufgabe zu LA II habe ich einen Rieszschen Isomorphismus \[ \Theta: \mathbb{R}^{3} \rightarrow (\mathbb{R}^{3})^{*}, w \mapsto \langle \cdot, w \rangle \] gegeben. Nun brauche ich für die Aufgabe dessen Umkehrabbildung. Genauer gesagt habe ich \[ \times: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, (v,w) \mapsto \Theta^{-1}(\varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, u \mapsto det(v \vert w \vert u)) \] und soll $v \times w$ mit $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}, w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{3}$ berechnen. Ich weiß aber nicht, wie $\Theta^{-1}$ aussieht und entsprechend weiß ich auch nicht, wie ich $\Theta^{-1}(\varphi)$ berechnen soll. Könnte mir jemand helfen? Danke im Voraus.


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-04

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, nach Definition ist doch nun $p:=\Theta^{-1}(\varphi)\in \mathbb R^3$ der eindeutig bestimmte Vektor derart, dass $$ \det(v\mid w\mid u)=\langle u,p\rangle $$ für alle $u\in \mathbb R^3$ gilt. Setze nun mal auf beiden Seiten $u=(u_1,u_2,u_3)$ sowie die Komponenten von $v$ und $w$ ein. Setze außerdem $p=(p_1,p_2,p_3)$. Entwickle die Determinante auf der linken Seite nach der letzten Spalte und rechne auch das Skalarprodukt rechts aus. Vergleiche im Anschluss die Koeffizienten von $u_1,u_2,u_3$ auf beiden Seiten. Das führt zu der bekannten Formel für $v\times w$. \showon Etwas zusätzliche Erläuterung dieses Vorgehens: Betrachten wir für feste Vektoren $v=(v_1,v_2,v_3)$ und $w=(w_1,w_2,w_3)$ die Abbildung $\varphi\colon \mathbb R^3\to \mathbb R$ gegeben durch $$ \varphi(u_1,u_2,u_3)=\det\begin{pmatrix} u_1 & v_1 & w_1 \\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix}. $$ Durch die Eigenschaften der Determinante wissen wir, dass $\varphi$ eine lineare Abbildung ist und folglich $\varphi\in (\mathbb R^3)^*$ gilt. Mit deinem Isomorphismus folgt nun, dass es einen eindeutig bestimmten Vektor $p\in \mathbb R^3$ gibt, so dass $\varphi(u)=\langle p,u\rangle$ für alle $u\in \mathbb R^3$ gilt. Schreiben wir $p=(p_1,p_2,p_3)$ und entwickeln die obige Determinante nach der ersten Spalte, so erhalten wir durch Koeffizientenvergleich $$ p=\begin{pmatrix} v_2w_3-w_2v_3 \\ w_1v_3-v_1w_3 \\ v_1w_2-w_1v_2 \end{pmatrix} =v\times w. $$ Nun wollen wir die Gleichung $\varphi(u)=\langle p,u\rangle$ geometrisch deuten. Nach Konstruktion der Determinante ist $\varphi(u)$ bis auf ein Vorzeichen das Volumen des von $u,v,w$ aufgespannten Parallelepipeds $P(u,v,w)$. Bezeichnet $A(v,w)$ den Flächeninhalt des von $v$ und $w$ aufgespannten Parallelogramms und $h(u)$ die signierte Höhe* von $P(u,v,w)$, so gilt $$ \varphi(u)=A(v,w)\cdot h(u), $$ was gerade der Formel "Volumen $=$ Grundfläche $\times$ Höhe" entspricht. Ist $n\in \mathbb R^3$ orthogonal zu $v$ und $w$ mit $\lVert n\rVert=1$, so ist weiter $$ h(u)=\langle u,n\rangle=\lVert u\rVert\cdot \cos(\alpha(u)), $$ wobei $\alpha(u)$ den Winkel zwischen $u$ und $n$ bezeichnet. Das bedeutet nichts anderes, als dass die Höhe von $P(u,v,w)$ die Länge der orthogonalen Projektion von $u$ auf den zu $v$ und $w$ senkrecht stehenden Vektor $n$ ist (bis auf das Vorzeichen, siehe *). Insgesamt erhalten wir daher $$ \varphi(u)=A(v,w)\cdot h(u)=A(v,w)\cdot \lVert u\rVert\cdot \cos(\alpha(u)). $$ Sei nun $\tilde p=A(v,w)\cdot n\in \mathbb R^3$. Dann gilt $$ \langle \tilde p, u\rangle=\lVert \tilde p\rVert\cdot \lVert u\rVert \cdot \cos(\alpha(u))=A(v,w)\cdot \lVert u\rVert \cdot \cos(\alpha(u))=\varphi(u). $$ Da der Vektor $p$ mit $\varphi(u)=\langle p,u\rangle$ aber eindeutig bestimmt ist, folgt $\tilde p=p$. $\tilde p$ steht allerdings nach Konstruktion senkrecht auf $v$ und $w$ und es gilt $\lVert \tilde p\rVert=A(v,w)$. Wir haben hier also zwei Möglichkeiten vorgeführt, wie man das signierte Volumen von $P(u,v,w)$ bestimmen kann. Zum einen mit der Abbildung $\varphi$ (also durch die Determinante) und zum anderen "geometrisch" durch "Grundfläche $\times$ Höhe". Das Kreuzprodukt vermittelt auf gewisse Art und Weise zwischen diesen beiden Möglichkeiten. Dieser Zugang zum Kreuzprodukt ist daher meiner Meinung nach sehr elegant. Auf diese Weise wird zum einen ersichtlich, wo die "komische" Formel für das Kreuzprodukt herkommt, aber gleichzeitig auch, warum es senkrecht auf den beiden Vektoren steht und warum seine Norm dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms entspricht. *$|h(u)|$ soll die Höhe von $P(u,v,w)$ sein. Wenn $\varphi(u)$ negativ ist, dann versehen wir $h(u)$ mit einem negativen Vorzeichen \showoff LG Nico\(\endgroup\)


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frege_fanatiker
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-09

Danke für die Antwort und die geometrische Interpretation! Es ist immer wieder schön, zu verstehen, wo irgendwelche Formeln oder Eigenschaften, die man in der Schule ohne größere Erklärung einfach vorgesetzt bekommen hat, eigentlich herkommen.


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-09

Gerne. Ich kann dir auch sehr empfehlen dieses Video von 3Blue1Brown dazu anzusehen. Dort wird meine obige geometrische Deutung sehr schön visualisiert. LG Nico


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