| |
| Autor |
  Anfangswertproblem |
|
Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 473
 |  Themenstart: 2022-07-08
|
Hallo,
dies ist eine der Bonusaufgaben, mit der Wir uns Klausurpunkte verdienen können. Zu den Aufgaben haben wir thematisch nichts in der Vorlesung behandelt, sondern wir sollen sie mit Eigenrecherche lösen. Ich habe mich versucht ins Thema Anfangswertprobleme einzulesen und auch Beispiele zu gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung gesehen. Jedoch fängt bei mir schon das Problem bei Beginn an:
Es geht ja allgemeint darum eine Funktion
y^´ = f(x)*g(y) zu finden, sodass die Veränderlichen getrennt sind. Jedoch sind in der Aufgabe \alpha,\beta,K doch alles reelle Zahlen und ich habe doch augenscheinlich nur eine Variable, nämlich t. Wie soll ich also hier Variablen trennen. Eine Hilfestellung / Tipp wäre klasse.
https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55059_cvbnm.JPG
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-08
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Man lässt hier gerne das "von $t$" weg, schreibt also etwas ungenau einfach $y$ anstatt $y(t)$ oder $y(x)$.
Deine Gleichung hat die Form $y'(t)=F(t,y(t))$. Lässt man das "von $t$" weg, dann hat sie die Form $y'=F(t,y)$. Das ist mit den "beiden" Variablen gemeint.
LG Nico
P.S.: Siehe auch https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=258797 den Beitrag #1.
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'DGLen 1. Ordnung' von nzimme10]\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 473
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
|
Hallo,
das ist mir leider noch nicht ganz klar geworden....
Wenn ich das mit dem von dir verlinkten Beitrag kombiniere ergibt sich erstmal für mich folgendes:
Ich betrachte hier ja eine DGL erster Ordnung, welche die Form
y^´=F(t,y(t)) hat, bzw. Hast du ja erklärt, dass man anstatt y(t) auch etwas salopp und ungenau nur y schreibt.
Sprich ich habe hier die Form:
y^´ = F(t,y)
Bedeutet dies für meine Gleichung, dass sie dann folgendermaßen aussieht:
cases(y^´= (\alpha-\beta)*y*(1-(y/K));y(0)=y_0
Jetzt muss ich aber doch trotzdem es schaffen meine Funktion F(t,y) in zwei stetige Funktionen f,g, mit f(t)*g(y) = F(t,y) so seperieren, jedoch habe ich mein t in der Funktion "weggemacht"... Ich glaube ich brauche da noch eine Erklärung und Hilfestellung...
|
Profil
|
Dominik1112
Aktiv 
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 47
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-08
|
Die Funktion $f(t)$ muss nicht von $t$ abhängen, d.h. $f$ kann auch konstant sein
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 473
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
|
Hallo,
also wenn ich hier seperieren möchte, dann geht es folgendermaßen:
y^´= (\alpha-\beta)*y*(1-(y/K))
Trennung der Variablen sorgt für :
y^´ = F(t,y)
F(t,y) = f(t)*g(y) mit
f(t) = (\alpha-\beta) was >0
g(y) = y*(1-(y/K))
|
Profil
|
mathilde01
Aktiv
Dabei seit: 13.07.2021
Mitteilungen: 62
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-07-08
|
Hi,
ja, damit kannst du die DGL durch Trennung der Variablen lösen.
VG
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 473
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
|
Also muss ich dann jetzt folgendermaßen umformen?
y^´ = f(t)*g(y)
<=>
y^´ / (y-(y^2/K) = \alpha-\beta
<=>
1/(y-(y^2/K)) *dy = \alpha-\beta
und dann auf der linken Seite nach y integrieren und auf der rechten Seite nach t ?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-07-08
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
ich hatte extra einen anderen Beitrag von mir verlinkt, damit du das Verfahren "richtig" siehst und nicht in seiner symbolischen und unpräzisen Form. Die präzisen Ausführungen verwenden dabei im Kern lediglich Argumente und Resultate der eindimensionalen Analysis und sollten daher auch für Studierende der mehrdimensionalen Analysis keine Probleme bereiten. Die symbolische Version ist praktisch und bequem, aber auch nur, wenn man genau versteht was man da tut.
Du hast deine DGL nun in der Form $y'=f(t)g(y)$ geschrieben (da $f(t)$ konstant ist, spricht man auch von einer autonomen DGL). Nun kannst du dir mal in dem von mir verlinkten Beitrag ansehen, wie man ab dieser Stelle (das kommt da ganz am Ende) weitermacht.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 473
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
|
Hallo,
ich muss leider sagen, dass ich nicht wirklich verstehe, was ich hier tue / tun soll...Mag aber vielleicht auch daran liegen, dass ich gerade bei 5 Aufgaben aufeinmal gefühlt arbeiten muss und wir das Thema nie in der Vorlesung thematisiert haben. Ich habe mich versucht an deinen Erklärungen runterzuhangeln und versucht zu verstehen, was wir es bringt, dass meine DGL eine autonome DGL ist, aber leider durchblicke ich es nicht,... Das einzige was ich hinbekommen habe, ist mein System wie bei anderen Musteraufgaben umzustellen, sodass ich folgende Gleichung habe:
(-K*dy)/(y^2-Ky) = (\alpha-\beta) dx
Ich werde mir versuchen heute Abend oder Morgen deinen Beitrag in Ruhe durchzulesen und versuchen zu verstehen, was bei solchen Anfangswertproblemen und DGL Aufgaben passiert. Aber es ist doch korrekt, dass ich diese Gleichung jetzt auf beiden Seiten integrieren müsste ???
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-07-08
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Dann hast du doch dein Problem ausreichend geschildert. Wenn man an zu vielen Baustellen gleichzeitig arbeitet, dann wird kein solides Fundament daraus.
Mathematik braucht Zeit und Übung. Man könnte dir das jetzt noch auf viele verschiedene Weisen erklären, aber wenn du gleichzeitig noch 5 andere Sachen machst, dann wird das eben nicht sehr viel bringen. Beschäftige dich damit, wenn du die Zeit dafür findest und einen klaren Kopf hast. Das ist jedenfalls meine Empfehlung.
Ich kann es aber trotzdem nochmal probieren. Seien $I,J\subseteq \mathbb R$ Intervalle und $f\colon I\to \mathbb R$ sowie $g\colon J\to \mathbb R$ stetige Funktionen mit $g\neq 0$ auf $J$. Weiter seien $x_0\in I$ und $y_0\in J$.
Soweit die Voraussetzungen, die man typischerweise bei solch einer Aufgabe nicht immer vorfindet. Wir suchen nun eine differenzierbare Funktion $\varphi\colon I_0\to \mathbb R$, die
$$
\varphi'(x)=f(x)\cdot g(\varphi(x))
$$
für alle $x\in I_0$ und $\varphi(x_0)=y_0$ erfüllt (Ich bezeichne die Funktion absichtlich nicht mit $y(x)$ sondern mit $\varphi(x)$).
Angenommen wir hätten auf einem geeigneten Intervall $I_0$ bereits solch eine Lösung $\varphi$. Dann gilt also
$$
\varphi'(x)=f(x)\cdot g(\varphi(x))
$$
für alle $x\in I_0$. Folglich gilt auch
$$
\frac{1}{g(\varphi(x))}\cdot \varphi'(x)=f(x)
$$
für alle $x\in I_0$. Wir haben also die Gleichheit zweier Funktionen in der Variablen $x$ auf einem Intervall. Für $x\in I_0$ haben wir daher auch
$$
\int_{x_0}^x \frac{1}{g(\varphi(t))}\cdot \varphi'(t)\dd t=\int_{x_0}^x f(t) \dd t.
$$
Mit Hilfe der Substitutionsregel können wir das linke Integral zu
$$
\int_{x_0}^x \frac{1}{g(\varphi(t))}\cdot \varphi'(t)\dd t=\int_{\varphi(x_0)}^{\varphi(x)} \frac{1}{g(t)} \dd t=\int_{y_0}^{\varphi(x)} \frac{1}{g(t)} \dd t
$$
vereinfachen. Damit haben wir
$$
\int_{y_0}^{\varphi(x)} \frac{1}{g(t)} \dd t=\int_{x_0}^x f(t) \dd t
$$
für $x\in I_0$. Definieren wir nun
$$
G\colon J\to \mathbb R, \ G(y):=\int_{y_0}^{y} \frac{1}{g(t)} \dd t, \quad F\colon I\to \mathbb R, \ F(x):=\int_{x_0}^x f(t) \dd t,
$$
so schreibt sich die letzte Gleichung als $G(\varphi(x))=F(x)$ für alle $x\in I_0$.
Nun ist $g\neq 0$ auf $J$ vorausgesetzt. O.B.d.A. sei daher $g>0$ auf diesem Intervall. Dann ist $G$ differenzierbar und es ist $G'(y)=\frac{1}{g(y)}>0$ für alle $y\in J$. Folglich ist $G$ streng monoton wachsend und somit injektiv. Durch Einschränkung des Bildbereichs von $G$ auf $G(J)$ erhalten wir auch die Surjektivität. $G\colon J\to G(J)$ ist also invertierbar (bijektiv).
Wenn nun zusätzlich $F(I_0)\subseteq G(J)$ gilt, dann können wir die Gleichung $G(\varphi(x))=F(x)$ in der Form $\varphi(x)=G^{-1}(F(x))$ auflösen und haben somit zugleich die Eindeutigkeit dieser Lösung gezeigt.
Umgekehrt rechnet man sofort nach, dass $\varphi$ die DGL und das AWP erfüllt, wenn man $\varphi(x)=G^{-1}(F(x))$ definiert. In der Tat, es ist dann
$$
\varphi'(x)=(G^{-1})'(F(x))\cdot F'(x)=\frac{1}{G'(G^{-1}(F(x)))}\cdot F'(x)=\frac{1}{\frac{1}{g(G^{-1}(F(x)))}}\cdot f(x)=f(x)\cdot g(\varphi(x))
$$
und
$$
\varphi(x_0)=G^{-1}(F(x_0))=G^{-1}(0)=y_0.
$$
Wir haben somit insgesamt den folgenden Satz bewiesen.
Satz (Trennung der Variablen). Seien $I,J\subseteq \mathbb R$ (nicht-entartete) Intervalle und seien $f\colon I\to\mathbb R$ sowie $g\colon J\to \mathbb R\setminus\lbrace 0\rbrace$ stetige Funktionen. Für $x_0\in I$ und $y_0\in J$ setzen wir
$$
G\colon J\to \mathbb R, \ G(y):=\int_{y_0}^{y} \frac{1}{g(t)} \dd t, \quad F\colon I\to \mathbb R, \ F(x):=\int_{x_0}^x f(t) \dd t.
$$
Ist $I_0\subseteq I$ ein Intervall mit $x_0\in I_0$ und $F(I_0)\subseteq G(J)$, dann besitzt das Anfangswertproblem
$$
y'=f(x)g(y), \ y(x_0)=y_0
$$
eine eindeutige Lösung $\varphi$ auf $I_0$. Diese erfüllt
$$
G(\varphi(x))=F(x)
$$
für alle $x\in I_0$.
Dieser Satz ist die Rechtfertigung für dein symbolisches Verfahren:
$\bullet$ Man schreibt die Gleichung zunächst als $\frac{\d y}{\d x}=f(x)g(y)$.
$\bullet$ Man formt (symbolisch) zu $\frac{1}{g(y)} \dd y=f(x) \dd x$ um.
$\bullet$ Man integriert auf beiden Seiten $\int \frac{1}{g(y)} \dd y=\int f(x) \dd x$.
Diese symbolische Rechnung reproduziert also einfach die Gleichung $G(y(x))=F(x)$ aus obiger Herleitung (bis auf die fehlenden Integrationsgrenzen).
$\bullet$ Nun muss man die "Gleichung" noch nach $y$ auflösen, was dem Invertieren der Abbildung $G$ entspricht.
$\bullet$ Wenn man sich nicht verrechnet hat, dann hat man somit eine Lösung der DGL gefunden, die noch eine Integrationskonstante $+c$ enthält.
$\bullet$ Abschließend bestimmt man noch die Konstante $c$ so, dass das AWP $y(x_0)=y_0$ erfüllt ist (sofern eines gegeben ist).
Man kann bei Schritt 3 auch gleich mit den richtigen Grenzen integrieren. Dann spart man sich das Bestimmen der Konstanten $c$.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Sekorita
Aktiv
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 473
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-08
|
Ich bedanke mich erstmal herzlich für diese ausführliche und nette Erklärung. Ich werde versuchen erstmal die anderen Aufgaben zu erledigen und mich am Sonntag mit dieser hier in Ruhe beschäftigen.
|
Profil
|
Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
