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Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphe Funktionen bestimmen
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Universität/Hochschule Holomorphe Funktionen bestimmen
mathestudent17
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  Themenstart: 2022-07-10

Bestimmen sie alle holomorphen Funktionen $f:K_2(0)\to \mathbb{C}$ mit $f(\frac{n+1}{n})=4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ Hallo, meine Lösung Strategie ist es nun zuerst die Funktionsvorschrift von $f$ zu finden. Danach muss ja die Eindeutigkeit von $f$ gezeigt werden und dies wollte ich mittels Identitätssatz machen. also $f:K_2(0)\to \mathbb{C}$ mit $f(\frac{n+1}{n})=4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}= \frac{4n^2+4n+1}{n^2}=\frac{4(n^2+n)+1}{n^2}=\frac{4n(n+1)+1}{n^2}=\frac{4(n+1)+1}{n}=4 \cdot \frac{(n+1)}{n}+\frac{1}{n}$ nun wollte ich $z:=(\frac{n+1}{n})$ setzten, aber ich bekomme das $\frac{1}{n}$ nicht verarbeitet. Also hätte ich dann $f(\frac{n+1}{n})=4 \cdot z+\frac{1}{n}$ mit $z:=(\frac{n+1}{n})$. Kann mir jemand weiterhelfen?


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Wauzi
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-10

Hallo, f((n+1)/n)=(2+1/n)^2 (n+1)/n=1+1/n Gruß Wauzi


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Kuestenkind
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-10

\quoteon(2022-07-10 16:06 - mathestudent17 im Themenstart) $\frac{4n(n+1)+1}{n^2}=\frac{4(n+1)+1}{n}$ \quoteoff Als Ergänzung: Das ist übrigens grottenfalsch. Differenzen und Summen kürzen nur die ... Gruß, Küstenkind


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mathestudent17
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10

Hallo Leute, sorry, dass ich den Fehler nicht entdeckt habe! Danke, dass ihr drüber geguckt habt, vielen Dank! Aber wie kann ich denn jetzt weitermachen, ich kann doch nicht $z=(2+\frac{1}{n})^2$ setzten oder? folglich dann $f:K_2(0)\to \mathbb{C} , z \mapsto z^2$ ???


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Wauzi
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-10

2+1/n=1+(1+1/n)


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mathestudent17
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-10

Hi, ich steh echt was auf dem Schlauch, sorry @Wauzi Also ist $f: K_2(0) \to ,z \mapsto (1+z)^2$ mit $z= 1+\frac{1}{n}$. Nun müssen wir die Eindeutigkeit von $f$ zeigen. Sei deshalb $g:K_2(0) \to \mathbb{C}$ eine weitere solche Funktion. $Da K_2(0)$ ein Gebiet in $\mathbb{C}$ ist, sind $f$ und $g$ holomorph auf $K_2(0)$ und die Menge $\{1+\frac{1}{n}:n \in \mathbb{N}\}\subseteq \{z\in K_2(0): f(z)=g(z)\}:= M$ hat einen Häufungspunkt $1 \in K_2(0)$. Das heißt, dass $M$ nicht diskret ist in $K_2(0)$. Daraus folgt mit einem Lemma zum Identitätssatz aus meinem Skript, dass $f \equiv g$. Also ist $f$ eindeutig ist der restliche Beweis so richtig?


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