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| Autor |
 Münzwurfspiel |
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WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 476
 |  Themenstart: 2022-07-18
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Hallo zusammen,
folgendes Spiel:
Eine Münze wird solange geworfen bis einer der zwei Spieler gewinnt. Spieler $A$ gewinnt, wenn die Wurfkombination $(Z,K,Z)$ erscheint und Spieler $B$ bei $(K,K,K)$. Wie ist die Gewinnwahrscheinlichkeiten von Spieler $A$?
Wir dürfen nur bedingte Wahrscheinlichkeiten, Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes verwenden.
(Wie mir so langsam dämmert, ist das wohl ein Problem das eigentlich in den Themenbereich der Markov-Ketten fällt, die wir aber explizit nicht verwenden sollen!)
Mein Problem ist nun, dass ich keine Ahnung habe wie man überhaupt einen geeigneten WSK-Raum, definierten sollte, um dann sauber mit bedingten WSKs argumentieren zu können.
Ich hatte mal probiert einfach anzunehmen, man befände sich in irgendeinem Stadium des Spiels bei dem noch niemand gewonnen hat. Dann kann der letzte Münzwurf $K$ oder $Z$ gewesen sein, wobei wir annehmen, dass beide Ergebnisse mit gleicher WSK auftreten, also $0.5$. Wir definieren weiterhin die beiden Mengen $B_{K}$ und $B_{Z}$, die jeweils die weiteren Spielverläufe enthalten, falls gerade $K$ oder $Z$ geworfen wurde
$\begin{align*}
&B_{K}:=\{\omega_1=K,\omega_2\in\{Z,K\},\omega_3\in\{Z,K\},\dots\}\\
&B_{Z}:=\{\omega_1=Z,\omega_2\in\{Z,K\},\omega_3\in\{Z,K\},\dots\}.
\end{align*}$
Man kann ja jetzt einfach mal annehmen, dass wir einen Grundraum $\Omega$ betrachten, der aus allen künftigen Spielverläufen besteht, die mit $K$ oder $Z$ starten. Die obigen beiden Mengen zerlegen dann $\Omega$ disjunkt und sind gleich groß/gleich wahrscheinlich (Einfach eine Bijektion konstruieren). Sei nun $A$ die Menge der Tupel bei denen Spieler $A$ bei den künftigen Spielverläufen gewinnt. Dann gilt aufgrund des Satzes der totalen WSK:
$$
P(A)=P(A\mid B_{K}) P(B_{K})+P(A\mid B_{Z}) P(B_{Z})=0.5\cdot(P(A\mid B_{K}) +P(A\mid B_{Z})).
$$
Ist das soweit überhaupt brauchbar? Oder wie würde man da vorgehen?
viele Grüße
WagW
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Kuestenkind
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Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-18
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Huhu WagW,
ich habe es nicht durchgerechnet, aber vielleicht hilft dir ja ein Blick dorthin für etwas Inspiration.
Gruß,
Küstenkind
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 476
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-18
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Hallo Kuestenkind,
Danke für den Link. Den Artikel kannte ich bisher gar nicht, aber dort wird leider auch nur mit einer Intuition argumentiert, anstatt das Ganze sauber mit einem WSK-Raum aufzuziehen.
Um mal bei der Notation des Artikels zu bleiben:
Wenn man nun $P(E\mid H)$ betrachtet, wird dort einfach gesagt, dass dies eine bedingte WSK ist. Es ist aber nicht klar auf welchem Grundraum bzw. $\sigma$-Algebra die WSK-Funktion definiert ist und ob sie überhaupt wohldefiniert ist!?
Irgendwie machen alle Artikel, die ich irgendwo im Internet gefunden habe genau um diesen Aspekt einen ganz großen Bogen...
viele Grüße
WagW
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Kuestenkind
Senior
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Mitteilungen: 2566
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-18
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Huhu,
der Grundraum wird wohl dieser sein, oder?
Gruß,
Küstenkind
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 476
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-18
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Hallo Kuestenkind,
Vielen Dank für das raussuchen von dem Artikel😃
Bist Du auf diese Konstruktionsmethode bzw. diesen Artikel auch nur durch rum-googlen gekommen oder ist das ein "Standard"-Problem, für jemanden der schon etwas tiefer in Maß-/Integrationstheorie drin ist?
Ich weiß nicht ob Du dir den Artikel durchgelesen hast, aber eine Frage hätte ich dazu:
Und zwar war ich mir zunächst nicht sicher, ob die Menge die den Sieg des Spielers $A$ definiert, also das irgendwann $ZKZ$ auftaucht, auch in der $\sigma$-Algebra, die in dem Artikel konstruiert wird, enthalten ist. Folgendermaßen würde ich das beweisen:
Ich kann den Sieg von $A$ ausdrücken durch:
Ich wähle die ersten $k\geq0$ Einträge eines $\omega\in\Omega$ so aus, dass das Spiel noch nicht zu Ende ist, bspw. $\omega_1=\bar{\omega}_1,\dots, \omega_k=\bar{\omega}_k$. Dies sei dann meine $1$.te Möglichkeit und ich definiere dann
$$B_{k1}:=\{\omega\in\Omega\mid \omega_1=\bar{\omega}_1,\dots, \omega_k=\bar{\omega}_k,\omega_{k+1}=Z,\omega_{k+2}=K,\omega_{k+3}=Z\}$$
Diese Menge liegt offensichtlich in der $\sigma$-Algebra aus dem Artikel. Es gibt nun für die ersten $k$ Einträge von $\omega$ endlich viele Möglichkeiten, sagen wir mal $m$-viele, sie so zu wählen, dass das Spiel noch nicht zu Ende ist. Wir haben also endlich viele verschiedene Mengen deren Vereinigung $B_k:=\bigcup\limits_{j=1}^mB_{kj}$ natürlich in der $\sigma$-Algebra liegt.
Meine gesuchte Menge $A$ lässt sich nun durch die abzählbare unendliche Vereinigung $A=\bigcup\limits_{k=0}^{\infty}B_k$ darstellen. Damit liegt $A$ in der $\sigma$-Algebra des Artikels und ist messbar. Anders gesagt, es macht Sinn über Wahrscheinlichkeiten dieser Menge $A$ oder Mengen, die bspw. an irgendeiner Stelle im Spiel die Sequenz $KK$ oder $ZK$ haben, zu sprechen.
Ist das so korrekt?
viele Grüße
WagW
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