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| Autor |
  Lösung für AWP |
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dorfschmied
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2021
Mitteilungen: 52
 |  Themenstart: 2022-07-22
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Hallo, ich habe eine Verständnisfrage. Und zwar habe ich für folgende Aufgabe zwei Lösungen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54068_A7756029-F24B-4159-9B08-EA9F05C5ADF4.jpeg
Hier ist nun meine Lösung:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54068_ED03CF77-C1D0-4CBF-8705-1BD3492CCAB9.jpeg
Und hier die vorgegebene Lösung, wo ich den Lösungsweg leider nicht verstanden habe:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/54068_38E3FCF6-6B63-4209-A499-EF210DA477D3.jpeg
Es reicht mir schon wenn jemand bestätigen kann das eine der beiden Lösungen korrekt ist.
MfG
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-07-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
beide Formeln sind im Prinzip gleich. Bei der ersten Version wurde eben unbestimmt integriert und um das AWP zu lösen, muss noch die Konstante $c$ passend gewählt werden. (Edit: Siehe auch zippy's Kritik an dieser schlechten Formulierung weiter unten).
Bei der zweiten Formel wurde das durch die korrekten Integrationsgrenzen gleich bedacht. Also bei der zweiten Formel erhält man eine Lösung ohne irgendwelche übrigen Integrationskonstanten, die die gewünschte Anfangsbedingung erfüllt.
Edit: Zum Lösungsweg: Zunächst wurde hier vermutlich die homogene DGL
$$
u'(t)=a(t)u(t)
$$
betrachtet und eine Lösung $f$ dieser DGL mit Anfangsbedingung $f(0)=1$ bestimmt. Durch Trennung der Variablen kommt man auf
$$
f(t)=\exp\left(\int_0^t a(\tau)\dd\tau\right).
$$
Rechne es gerne nach! Nun wurde der Ansatz "Variation der Konstanten" versucht. Dabei nimmt man an, dass eine Lösung deiner ursprünglichen DGL die Form $u(t)=c(t)\cdot f(t)$ hat. Setzt man diesen Ansatz für $u$ in deine DGL ein, dann erhält man
$$
(c(t)f(t))'=a(t)c(t)f(t)+h(t) \ \Leftrightarrow \ c'(t)f(t)+c(t)f'(t)=a(t)c(t)f(t)+h(t).
$$
Unter Verwendung von $f'(t)=a(t)f(t)$ wird daraus
$$
c'(t)f(t)=h(t) \ \Leftrightarrow \ c'(t)=\frac{h(t)}{f(t)}=\frac{h(t)}{\exp\left(\int_0^t a(\tau)\dd\tau\right)}.
$$
Nun suchen wir also eine Stammfunktion $c(t)$ von $c'(t)$, so dass $c(0)=u_0$ gilt. Offenbar erfüllt
$$
c(t)=u_0+\int_0^t \frac{h(\tau)}{\exp\left(\int_0^\tau a(s)\dd s\right)} \dd\tau
$$
diese Bedingung. Wir sehen daher, dass
$$
u(t)=c(t)f(t)=\left(u_0+\int_0^t \frac{h(\tau)}{\exp\left(\int_0^\tau a(s)\dd s\right)} \dd\tau\right)\cdot \exp\left(\int_0^t a(\tau)\dd\tau\right)
$$
das ursprüngliche AWP löst.
LG Nico\(\endgroup\)
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4422
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-07-22
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In deiner Lösung tauchen unbestimmte Integrale und der undefinierte Parameter $c$ auf. Um zu einer Lösung des AWP zu kommen, musst du an die Integrale die passenden Grenzen schreiben und $c$ durch $u_0$ ausdrücken.
--zippy
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4422
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-07-22
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\quoteon(2022-07-22 16:16 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
und um das AWP zu lösen, muss noch die Konstante $c$ passend gewählt werden.
\quoteoff
Das reicht noch nicht. Es tauchen einfach zu viele unbestimmte Integrale auf, als dass man deren Integrationskonstanten unabhängig voneinander wählen könnte.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-07-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-07-22 16:24 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2022-07-22 16:16 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
und um das AWP zu lösen, muss noch die Konstante $c$ passend gewählt werden.
\quoteoff
Das reicht noch nicht. Es tauchen einfach zu viele unbestimmte Integrale auf, als dass man deren Integrationskonstanten unabhängig voneinander wählen könnte.
\quoteoff
Es ist klar, dass man sich zuerst bei jedem der unbestimmten Integrale für jeweils eine explizite Stammfunktion entscheiden muss. Anschließend muss man alle noch auftretenden Konstanten bestimmen.
Natürlich ist es da viel einfacher und sinnvoller, wenn man gleich mit passenden Grenzen integriert.
LG Nico \(\endgroup\)
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dorfschmied
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 03.01.2021
Mitteilungen: 52
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-07-22
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Danke Nico für die super genaue Antwort! ich werde mich dann mal weiter damit befassen, ich glaube das ich das im Grunde genommen verstanden habe!
LG Dorfschmied
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dorfschmied hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
dorfschmied hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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