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| Autor |
 Sigma-Algebra, Algebra, Semi-Algebra |
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chicolino
Aktiv 
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 76
 |  Themenstart: 2022-08-04
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Guten Abend!:)
Ich beschäftige mich momentan mit den verschiedenen Mengensystemen in der Maßtheorie und versuche einen klaren Überblick über die ganzen Mengensysteme zu haben. Momentan geht es mir speziell um die $\sigma$ - Algebren, Algebren und Semi - Algebren. Dazu hätte ich ein paar Fragen.
Ich tippe die Definitionen kurz ab:
Definition: $\sigma$ - Algebra ($\sigma$ - Körper)
(1) eine nicht-leere Menge $\Omega$
(2) ein Teilmengensystem $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$
I. $\Omega \in \mathcal{F}$
II. $CF := F^{c} := X \setminus F \in \mathcal{F}\quad$ $\forall\; F \in \mathcal{F}\quad$ (Komplementstabilität)
III. $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} F_{n} \in \mathcal{F}\quad$ $\forall\; (F_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{F}^{\mathbb{N}}\quad$ ($\sigma$ - Vereinigungsstabilität)
Definition: Algebra
(1) eine nicht-leere Menge $\Omega$
(2) ein Teilmengensystem $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$
I. $\Omega \in \mathcal{F}$
II. $CF := F^{c} := X \setminus F \in \mathcal{F}\quad$ $\forall\; F \in \mathcal{F}\quad$ (Komplementstabilität)
III. $F_{1} \cup F_{2} \in \mathcal{F}\quad$ $\forall\; (F_{1}, F_{2})\in \mathcal{F}^{2}$
Definition: Semi - Algebra
(1) eine nicht-leere Menge $\Omega$
(2) ein Teilmengensystem $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$
Dann heißt $\mathcal{F}$ Semi-Algebra in $\Omega$, wenn
I. $\Omega \in \mathcal{F}$
II. $A, B \in \mathcal{F}$ $\Rightarrow$ $A \cup B \in \mathcal{F}$
III. $\forall\; A, B \in \mathcal{F}\;\; \exists\; n \in \mathbb{N}, (C_{1}, \ldots, C_{n}) \in \mathcal{F}^{n} : A \setminus B = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} C_{i}$
Dieses Mengensystem $\mathcal{F}$ heißt auf Wikipedia "Semi-Algebra im weiteren Sinn"
Gilt zusätzlich noch $IV.$ $A \cup \bigcup\limits_{j = 1}^{k} C_{j} \in \mathcal{F}$ für alle $1 \le k \le n$, so heißt $\mathcal{F}$ eine Semi-Algebra im engeren Sinn.
Jede Semi-Algebra im engeren Sinn ist also eine Semi-Algebra im weiteren Sinn.
1. Frage: Die $\sigma$ - Algebra wird manchmal auch $\sigma$ - Körper bezeichnet. Warum eigentlich? Warum versucht man da eine Verbindung herzustellen zwischen Maßtheorie und Algebra? Eine Algebra in der Maßtheorie und einen Körper aus der Algebra haben nichts miteinander zu tun. Würde man in diesem Fall eine Algebra als Körper bezeichnen und eine Semi-Algebra als Halbkörper? Was ist dann mit Semi-Algebra in weiteren Sinn und im engeren Sinn?
2. Frage: Gibt es in der Maßtheorie weitere Abschwächungen einer $\sigma$ - Algebra? Also wir haben hier z.B. die $\sigma$ - Algebra. Als Abschwächung davon haben wir die Algebra. Und als Abschwächung davon hätten wir Semi - Algebra im engeren Sinne und als weitere Abschwächung davon die Semi - Algebra in weiteren Sinne. Gibt es da weitere Abschwächungen?
3. Frage: Kann man bei der Definition der Semi - Algebra (im weiteren Sinne) die Eigenschaft $III.$ $\forall\; A, B \in \mathcal{F}\;\; \exists\; n \in \mathbb{N}, (C_{1}, \ldots, C_{n}) \in \mathcal{F}^{n} : A \setminus B = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} C_{i}$ ersetzen durch die Eigenschaft $III.'$ $\forall\; A \in \mathcal{F}\;\; \exists\; n \in \mathbb{N}, (C_{1}, \ldots, C_{n}) \in \mathcal{F}^{n} : \Omega \setminus A = \bigcup\limits_{i = 1}^{n} C_{i}$ ? Falls ja, wie würde sich die Eigenschaft $IV.$ ändern?
Ich würde mich auf eine Antwort sehr freuen!
Mfg, Chico
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-04
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Hallo,
ich fand diese kleine Übersicht einiger der Zusammenhänge immer sehr nützlich.
LG Nico
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-04
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Hi,
zu deiner ersten und deiner zweiten Frage:
laut dem Buch "Maß- und Integrationstheorie" von J. Elstrodt sind die Begriffe "Ring" und "Körper" von Hausdorff eingeführt worden.
Zitat von Hausdorff: "Die Ausdrücke Ring und Körper sind der Theorie der algebraischen Zahlen entnommen auf Grund einer ungefähren Analogie, an die
man nicht zu weitgehende Ansprüche stellen möge."
Allerdings waren laut dem Buch von Elstrodt die Begriffe damals auch noch etwas anders definiert.
Bezüglich Abschwächungen:
- jede Semi-Algebra ist ein Semi-Ring,
- jede Algebra ist ein Ring,
- jede Sigma-Algebra ein Sigma-Ring.
Und zwar im Sinne der Definitionen, die sich bei Wikipedia finden unter:
https://en.wikipedia.org/wiki/Semiring#semialgebra
https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_of_sets
https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-ring
Und der Begriff des Ringes im Sinne der Maßtheorie besitzt tatsächlich einen direkten Bezug zum Begriff des Ringes im Sinne der Algebra:
Sei $X$ eine Menge, dann ist die Potenzmenge über $X$ mit der symmetrischen Differenz $\triangle$ als Addition zusammen mit dem mengentheoretischen Durchschnitt $\cap$ als Multliplikation ein Ring im Sinne der Algebra mit Nullelement $\emptyset$ und Einselement $X$.
Ein Ring $\mathcal{R}$ (über $X$) im maßtheoretischen Sinne ist nun definiert als ein Unterring von $(\mathcal{P}(X), \triangle, \cap)$ im algebraischen Sinne. Enthält $\mathcal{R}$ auch die Menge $X$, nennt man $\mathcal{R}$ eine Algebra.
Das sind die Definitionen aus dem Buch von Elstrodt.
Sicherheitshalber müsstest du nochmal prüfen, inwiefern sich das mit deinen Definitionen und den obigen Definitionen bei Wikipedia deckt.
Viele Grüße
zathe
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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chicolino
Aktiv
Dabei seit: 05.07.2019
Mitteilungen: 76
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-10
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So, hallo nochmal:)
Tut mir Leid für die späte Antwort, aber ich war ein paar Tage krank. Jetzt gehts wieder.
Ich bedanke mich sehr für eure Antworten. Jetzt ist mir einiges klar! Ich werde mich heute mehr darüber informieren und im Laufe der Tage einen Überblick über die Mengensysteme schaffen und wie sie mit den algebraischen Strukturen in Verbindung stehen.
Wird auch sicher den zukünftigen Lesern nützlich sind.
Ich wünsche euch beiden noch einen schönen Tag.
Mfg, Chico
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| chicolino hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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