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 Differentialgleichung lösen |
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photon007
Aktiv 
Dabei seit: 21.08.2021
Mitteilungen: 27
Wohnort: Bonn
 |  Themenstart: 2022-08-04
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Hallo zusammen,
ich verzweifle gerade vollkommen. Gesucht ist eine auf ganz R definierte Lösung der DGL x(t)= \(\sqrt[2]{1-x^2}\) mit Anfangswert x(0)=0.
Ebenso eine Lösung der DGL mit AWP x(0)=-1 und der Frage, ob sie eindeutig ist.
Ich tue mich schon schwer mit dem finden einer globalen Lösung. Trennung der Variablen liefert x(t)= sin(t), aber der Sinus hat ja negative Ableitungen und die DGL sagt mir ja, dass die Ableitung immer nichtnegativ ist. Könnte mir das bitte jemand mathematisch sauber erläutern? Vielen Dank!!!
Hinweis: Wir haben Picard-Lindelöf in der Vorlesung gehabt, wüsste aber nicht, was mir das nutzt.
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studkal
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Mitteilungen: 36
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-04
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Die DGL hat zwei konstante Lösungen. Findest du sie?
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Wally
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Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9684
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-04
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Und denke mal an Integrationskonstanten.
Viele Grüße
Wally
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photon007
Aktiv
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04
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Hallo, erstmal vielen Dank.
Die konstanten Lösungen der DGL wären x=-1 und x=+1, die lösen nur beide das AWP x(0)=0 nicht. Das zweite AWP x(0)=-1 wäre durch die Konstante Lösung gelöst. Woher weiß ich, ob meine Lösung zumindest lokal eindeutig ist? Wie mache ich das mit Picard-Lindelöf? Um die 0 bin ich doch lokal Lipschitzstetig, also bin ich da eindeutig ??
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studkal
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Mitteilungen: 36
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)
\quoteon(2022-08-04 22:01 - photon007 in Beitrag No. 3)
Die konstanten Lösungen der DGL wären x=-1 und x=+1, die lösen nur beide das AWP x(0)=0 nicht.
\quoteoff
Richtig. Aber sie helfen dir dabei, die globale Lösung zur Anfangsbedingung $x(0)=0$ zu finden. Mit $x(t)=\sin(t)$, $t \in I$, warst du schon auf der richtigen Spur.
\quoteon
Das zweite AWP x(0)=-1 wäre durch die Konstante Lösung gelöst. Woher weiß ich, ob meine Lösung zumindest lokal eindeutig ist?
\quoteoff
Du könntest jetzt versuchen, noch eine weitere Lösung zu finden, die die Anfangsbedingung $x(0)=-1$ erfüllt. Vielleicht hilft dir hier der Tipp von Wally.\(\endgroup\)
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photon007
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Dabei seit: 21.08.2021
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-04
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Vielen Dank euch! Jetzt habe ich es geblickt. Also wir stückeln unsere Lösung folgendermaßen zusammen:
für t <= -pi/2 sei x(t)=-1
für -pi/2 < t < pi/2 sei x(t) = sin(t)
für x >= pi/2 sei x(t) = 1.
Damit ist die DGL und das AWP x(0)=0 global gelöst.
Bleibt noch das AWP x(0)=-1.
Definiere für t<=0 : x(t)=-1
für 0= pi/2 sei x(t)=1
Bleibt noch die Frage der Eindeutigkeit mit dem zweiten AWP: Wie mache ich das mit Picard-Lindelöf? Lokal Lipschitzstetig um die 0 ist die Funktion sqrt(1-x^2) ja, also müsste ich lokal in einer Umgebung um die 0 doch auch eindeutig sein, oder? Ein Widerspruch dazu, dass ich zwei nicht lokal um die 0 übereinstimmende Lösungen gefunden habe. Wo liegt hier der Fehler?
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studkal
Aktiv
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Mitteilungen: 36
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)
\quoteon(2022-08-04 22:18 - photon007 in Beitrag No. 5)
Bleibt noch die Frage der Eindeutigkeit mit dem zweiten AWP: Wie mache ich das mit Picard-Lindelöf? Lokal Lipschitzstetig um die 0 ist die Funktion sqrt(1-x^2) ja, also müsste ich lokal in einer Umgebung um die 0 doch auch eindeutig sein, oder? Ein Widerspruch dazu, dass ich zwei nicht lokal um die 0 übereinstimmende Lösungen gefunden habe. Wo liegt hier der Fehler?
\quoteoff
Für die Anfangsbedingung $x(0)=0$ liefert Picard-Lindelöf Existenz und Eindeutigkeit, aber für $x(0)=-1$ lässt sich der Satz nicht anwenden.\(\endgroup\)
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