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 O-Notation |
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jaz1905
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 02.05.2020
Mitteilungen: 143
 |  Themenstart: 2022-08-12
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Hallo,
leider habe ich Probleme die O Notation zu verstehen. Ich habe mich da schon in Wikipedia reingelesen aber habe dennoch Schwierigkeiten den folgenden Beweis zu verstehen.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/53001_Screenshot_2022-08-12_at_12.30.33.png
Kann mir vielleicht jemand helfen, zu verstehen, wie letzten 3 Gleichheiten entstehen? Danke.
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michfei
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 56
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-12
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Hallo jaz1905,
hier wurde einfach Taylor-entwickelt. Dabei hat man den Term zweiten oder höheren Grades in den Fehlerterm \(O(n p^2)\) absorbiert.
LG
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jaz1905
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Hallo michfei,
und gibt es eine Bedeutung, weshalb man genau $np^2$ wählt?
Ich habe diese Notation in der Uni leider nicht wirklich kennengelernt und tue mich momentan damit schwer.
LG
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dietmar0609
Senior 
Dabei seit: 29.06.2007
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-12
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Um die gewünschte Abschätzung zu erhalten, reicht die Log Reihenentwicklung bis zum quadratischen Term offensichtlich aus.
Am Ende setzt er dann
p = log(n)/n
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jaz1905
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Achso, verstehe! Ich glaube, das ist mir jetzt etwas klarer geworden.
Vielen Dank, Ihnen beiden!
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dietmar0609
Senior
Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 3230
Wohnort: Oldenburg , Deutschland
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-12
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schreib dir die letzten drei Zeilen nochmal im Detail hin und überlege dir, wie das c zustande kommt.
Im Übrigen duzen wir uns hier, nach dem Motto: you can say you to me ....
LG Dietmar
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jaz1905
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-12
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Also ich habe das versucht nochmal nachzurechnen und ich glaube es wird $p = \dfrac{\log n}{n} + \dfrac{c}{n}$ gesetzt. Das war jetzt leider ein Fehler meinerseits. Etwas oben steht, dass $np - \log n \rightarrow c$.
Nur ist mein Problem jetzt, dass dadurch noch weitere Terme auftauchen, die hier nicht ausgeführt werden. Werden sie in dem Fehlerterm mitberücksichtigt?
Ich komme momentan auf:
$-(\log n +c) + \dfrac{\log n + c}{n} + O(\dfrac{(\log n + c)^2}{n})$
Anders kann ich mir auch nicht erklären, wo das $c$ herkommt.
$c$ ist eine beliebige, endliche Zahl
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michfei
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 56
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-12
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\quoteon(2022-08-12 14:54 - jaz1905 in Beitrag No. 6)
$c$ ist eine beliebige, endliche Zahl
\quoteoff
Ich nehme an, du meinst damit, dass \(c\) eine beliebige reelle Zahl ist.
Ich denke tatsächlich, dass hier \(p = \frac{\log n + c}{n-1}\) gesetzt wurde.
Dann haut es mit dem ersten Summanden hin.
Verifiziere nun, ob auch tatsächlich
\[\frac{(\log n)^2}{n} \in O \Biggl( \frac{n (\log n + c)^2}{(n -1)^2} \Biggr)\]
gilt (vgl dazu den Wikipedia-Artikel zu den Landau-Symbolen).
Daraus folgt dann die vorletzte Zeile.
LG
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jaz1905
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-13
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Hi michfei,
vielen Dank! Ich schaue das mir dann noch genauer an :)
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2023-12-02 12:45 U <
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