Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Funktionalgleichung f(2a) - f(2b) = 2 f(a) - 2 f(b)
Autor
Universität/Hochschule Funktionalgleichung f(2a) - f(2b) = 2 f(a) - 2 f(b)
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Themenstart: 2022-08-15

Hi Leute, Gesucht sind alle Funktionen \(f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\), die folgende Gleichung erfüllen: \[f(2a)-f(2b) = 2f(a)-2f(b)\] Angeblich ist die Antwort, dass die Funktion linear sein muss. Mittels einer Probe kann ich das auch bestätigen, aber wie genau kommt man zu dieser Erkenntnis? Und wie kann gezeigt werden, dass wirklich alle Lösungen diese Form haben und es nicht noch weitere Funktionen geben kann, die die Gleichung erfüllen?


   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 9642
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15

Hallo, kann man hier nicht einfach argumentieren, dass die geforderte Eigenschaft äquivalent ist zur Definition von linearen Abbildungen? Gruß, Diophant


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-15

Das war auch mein erster Gedanke, aber aus der Gleichung folgt ja nicht einmal zwingend, dass \(f(2a)=2f(a)\) sein muss, geschweige denn, dass die Homogenität für beliebige Faktoren gilt. Und die Additivität erkenne ich daraus auch nicht.


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4048
  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-15

\quoteon(2022-08-15 15:26 - MasterWizz im Themenstart) Angeblich ist die Antwort, dass die Funktion linear sein muss. \quoteoff Kannst du nicht einfach $f$ auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann mit $f(0)=0$ und $f\left(2^k\,u\right)=2^kf(u)$ für $u$ ungerade auf ganz $\mathbb Z$ fortsetzen? --zippy


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, zippy's Idee führt in die richtige Richtung. Es muss aber nicht $f(0)=0$ gelten. Sei $c:=f(0)$. Sei $u\in \IZ$ ungerade und $m_u:=f(u)-c$. Welchen Wert hat dann $f(2^ku)$ für $k\in \IN$?\(\endgroup\)


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4048
  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-15

\quoteon(2022-08-15 16:12 - Nuramon in Beitrag No. 4) zippy's Idee ist beinahe richtig. \quoteoff Ich habe nicht behauptet, dass das die allgemeine Lösung ist, sondern nur zeigen wollen, dass $f$ nicht linear sein muss. Hättest du mit der allgemeinen Lösung nicht noch etwas warten können?


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-08-15 16:21 - zippy in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-08-15 16:12 - Nuramon in Beitrag No. 4) zippy's Idee ist beinahe richtig. \quoteoff \quoteoff Ich habe zwischenzeitlich die Formulierung geändert. \quoteon Ich habe nicht behauptet, dass das die allgemeine Lösung ist, sondern nur zeigen wollen, dass $f$ nicht linear sein muss. \quoteoff Ich hatte den Eindruck, dass alle Beiträge bisher die Annahme, dass $f(0)=0$ gelten müsste, gemacht haben. \quoteon Hättest du mit der allgemeinen Lösung nicht noch etwas warten können? \quoteoff Ich würde meinen Beitrag noch nicht als Komplettlösung ansehen, sehe aber ein, dass ich weniger explizit hätte sein können. Ein Problem ist aber auch , dass Dein Beitrag 3 noch nicht existierte, als ich angefangen habe, meinem zu tippen. Tut mir leid, dass es daher zu diesem "Konflikt" kam. \(\endgroup\)


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

\quoteon(2022-08-15 15:54 - zippy in Beitrag No. 3) Kannst du nicht einfach $f$ auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann mit $f(0)=0$ und $f\left(2^k\,u\right)=2^kf(u)$ für $u$ ungerade auf ganz $\mathbb Z$ fortsetzen? \quoteoff Wenn ich mir \(f\) beliebig vorgebe, z.B. \(f(u)=\mathrm{e}^u\) mit \(f(0)=1\), dann gilt ja nicht \(f(2^k\cdot u)=2^k\cdot f(u)\). In diesem Sinn versteh ich leider die Idee nicht so recht.


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-16

Um eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen zu definieren, kann man sich die Werte auf einer Basis beliebig vorgeben und diese Definition dann linear fortsetzen. So ähnlich ist es hier bei dieser Funktionalgleichung. Du kannst die Funktionswerte auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann die passenden Funktionswerte auf den geraden Zahlen aus der Funktionalgleichung herleiten.


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

\quoteon(2022-08-16 11:08 - Nuramon in Beitrag No. 8) So ähnlich ist es hier bei dieser Funktionalgleichung. Du kannst die Funktionswerte auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben und dann die passenden Funktionswerte auf den geraden Zahlen aus der Funktionalgleichung herleiten. \quoteoff Wie funktioniert das hier, um auf die Funktionen \(f\) zu kommen, die die Gleichung erfüllen? Die Exponentialfunktion erfüllt die Gleichung ja zB nicht.


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Angenommen man kennt $f(0)$ und $f(1)$. Wie kann man dann $f(2)$ berechnen? Wie $f(4)$?\(\endgroup\)


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

\quoteon(2022-08-16 12:21 - Nuramon in Beitrag No. 10) Angenommen man kennt $f(0)$ und $f(1)$. Wie kann man dann $f(2)$ berechnen? Wie $f(4)$? \quoteoff \[f(2)-f(0) = 2\left(f(1)-f(0)\right),\quad\dots,\quad f(2^k)-f(0)=2^k\left(f(1)-f(0)\right)\]


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.12, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Richtig. Angenommen man kennt jetzt zusätzlich noch $f(3)$. Welche Werte kann man damit dann berechnen?\(\endgroup\)


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Ah ok, also zusammengefasst können wir zu jedem bekannten Funktionswert \(f(u)\) (zusammen mit \(f(0)\)) auch die Funktionswerte \(f(2^ku)\) berechnen und damit auf alle Funktionswerte kommen. Wie hilft das jedoch weiter, um auf alle Funktionsgleichungen selbst zu kommen?


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.14, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Du weißt jetzt also, wie man aus den Werten bei $0$ und den ungeraden Zahlen alle anderen Werte berechnen kann. Du solltest jetzt prüfen, ob man sich die Werte bei $0$ und den ungeraden Zahlen beliebig vorgeben kann oder ob es noch weitere Bedingungen gibt, die erfüllt werden müssen. Dazu musst Du testen, ob jede Wahl dieser Funktionswerte wirklich für alle $a,b\in \IZ$ die Funktionalgleichung $f(2a)-f(2b)=2f(a)-2f(b)$ erfüllt. (Bisher hast Du nur den Fall $b=0$ betrachtet.)\(\endgroup\)


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Wow, deine Weitsicht hätte ich gerne!! Ok ich lasse mich auf das Spiel ein haha. Seien \(u,v\in\mathbb{Z}\) ungerade und \(a=2^ku\) und \(b=2^\ell v\). Dann ergibt \[f(2^ku)-f(2^\ell v) = 2^kf(u)-2^\ell f(v)-f(0)\cdot\left(2^k-2^\ell\right).\] Die Funktionalgleichung ist aber nur dann erfüllt, wenn \(k=\ell\), also falls \(a=2^ku\) und \(b=2^kv\). Ist das soweit richtig und worauf du hinaus wolltest? Leider erkenne ich noch immer noch den größeren Zusammenhang, auch wenn wir gefühlt der Lösung schon sehr nahe sind.


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.16, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon Die Funktionalgleichung ist aber nur dann erfüllt, wenn \(k=\ell\), also falls \(a=2^ku\) und \(b=2^kv\). \quoteoff Das ging mir jetzt zu schnell. Bisher hast Du nur die linke Seite die Hälfte der rechten Seite der Funktionalgleichung vereinfacht. \(\endgroup\)


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Das verstehe ich nicht ganz. Wenn ich die Funktionalgleichung auf die linke Seite anwende (mit \(k,\ell\geq1\)), ergibt sich \[f(2^ku)-f(2^\ell v) = 2f(2^{k-1}u)-2f(2^{\ell-1}v)\] Muss das jetzt mit unsere vorherigen Erkenntnis \[f(2^ku)-f(2^\ell v) = 2^kf(u)-2^\ell f(v)-f(0)\cdot\left(2^k-2^\ell\right)\] zusammengefasst werden? Ich sehe leider nicht so ganz worauf das hinausläuft.


   Profil
Nuramon
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 3613
  Beitrag No.18, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Zu prüfen ist, ob $f(2a)-f(2b) = 2(f(a)-f(b))$ ist. In No. 15 hast Du $f(a)-f(b)$ ausgerechnet (also die Hälfte der rechten Seite). Jetzt solltest Du noch die linke Seite ausrechnen und die Ergebnisse vergleichen.\(\endgroup\)


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2264
Wohnort: Franken
  Beitrag No.19, eingetragen 2022-08-16

Hallo MasterWizz, aus f(2a) - f(2b) = 2f(a) - 2f(b) folgt durch umstellen f(2a) - 2f(a) = f(2b) - 2f(b), woraus wiederum folgt, dass f(2a) - 2f(a) = k eine Konstante sein muss. Mit a = 0 ist f(0) - 2 f(0) = -f(0) = k und daher kann man die Funktionalgleichung vereinfachen zu f(2a) - 2f(a) = -f(0) oder f(2a) = 2f(a) - f(0). Substituiert man darin f(x) = g(x) + f(0), so folgt g(2x) + f(0) = 2(g(x) + f(0)) - f(0) = 2g(x) + f(0), woraus g(2x) = 2g(x) folgt. D. h. alle Lösungen f können als Summe f(x) = g(x) + f(0) mit einem beliebigen "Startwert" f(0) und einer Funktion g dargestellt werden, wobei g die Gleichung g(2a) = 2g(a) erfüllt. Offenbar gilt g(0) = 0 und g(2ka) = 2kg(a). Ich glaube, das ist der aktuelle Stand nochmal zusammengefasst. Welche Vermutungen stehen nur für g noch im Raum und wie sind diese zu beweisen? Gruß Bozzo [Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-16 14:57 - Bozzo in Beitrag No. 19) Offenbar gilt g(0) = 0 und g(2ka) = 2kg(a). \quoteoff Eine Vermutung könnte sein, dass wegen der Homogenität die Funktion \(g\)linear ist, aber dafür fehlt noch die Additivität. EDIT: Wie wäre es damit zu argumentieren, dass die Sekante zwischen beliebigen Punkten den gleichen Anstieg hat? Denn es gilt ja: \[\frac{f(2a)-f(2b)}{2a-2b}=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}\] Jetzt müsste nur geschlussfolgert werden, dass der Zusammenhang für beliebige Argumente der Funktion gilt. Steckt das nicht schon mit in dem, was wir bisher besprochen haben?


   Profil
Bozzo
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2264
Wohnort: Franken
  Beitrag No.21, eingetragen 2022-08-17

Die Sekante zwischen zwei beliebigen Punkten (a|f(a)) und (b|f(b)) auf dem Graphen der Funktion hat denselben Anstieg wie die Sekante zwischen den (nicht beliebigen) Punkten (2a|f(2a)) und (2b|f(2b)). Ich denke, es ist schon alles da, was benötigt wird. Es fehlt nur noch einmal scharf hinschauen und alle Puzzlestücke im Kopf richtig zusammenzusetzen, so dass sich das richtige Gesamtbild ergibt. Lies dir evtl. auch nochmal die ersten Beiträge von zippy und Nuramon durch und guck, ob du denen mittlerweile mehr entnehmen kannst.


   Profil
MasterWizz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 133
  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-19 10:58

Sry für die späte Antwort, ich komme leider erst jetzt wieder dazu mich in das Thema reinzudenken. Allerdings verstehe ich jetzt, dass die linke und rechte Seite gleich sind bei der Wahl von \(a=2^ku\) und \(b=2^{\ell}v\), einfach durch simples Einsetzen. Die Funktionsvorschrift scheint also immer erfüllt zu sein, sobald ich mir Funktionswerte auf den ungeraden Zahlen beliebig vorgebe, so wie es zippy in Beitrag No. 3 gesagt hat und mit \(f(0)=c\) beliebig fortsetzen. Aber wie gehts dann weiter? Wie können wir aus dieser Information eine Funktionvorschrift bestimmen? Gehts das überhaupt allgemein?


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4048
  Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-22 20:07

Für den Fall $f(0)=0$ hatte ich in Beitrag Nr. 3 schon angegeben, wie sich $f$ für einen beliebigen Wert aus den Werten für die ungeraden Zahlen berechnen lässt. Im allgemeinen Fall betrachte einfach $\tilde f(z)=f(z)-f(0)$. Diese Funktion erfüllt immer noch die Funktionalgleichung und es ist $\tilde f(0)=0$.


   Profil

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]