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 Ungleichung zeigen? |
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robertoprophet
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
 |  Themenstart: 2022-08-26
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Hallo,
ich vermute stark, dass folgende Ungleichung gilt:
\[2\sqrt{R^2+x^2+z^2+2R(x\cos(e_1)\sin(a_1)-z\sin(e_1))}-\sqrt{R^2+x^2+z^2+2R(x\cos(e_2)\sin(a_2)-z\sin(e_2))}+(x\cos(e_2)\sin(a_2)-z\sin(e_2))\ge R+2(x\cos(e_1)\sin(a_1)-z\sin(e_1))\]
mit
\[R,x,z,a_1,e_1,a_2,e_2\in\mathbb{R}, R>0, -\pi/2\le a_1,e_1,a_2,e_2\le +\pi/2\]
Kann man das mit Mathematica irgendwie zeigen?
EDIT: Sie gilt doch nicht in der allgemeinen Form. Mit "Reduce" liefert Mathematica allerdings keine Ergebnisse bei mir, ich muss den Ausdruck vorher einschränken.
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ThomasRichard
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Dabei seit: 08.04.2010
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Wohnort: Aachen
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-26
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Hallo,
kann es sein, dass mit den Indizes bei \(a\) und \(e\) noch einiges durcheinander ist? In der Ungleichung treten jeweils 1 und 2 auf, in den Bedingungen nur 1 - aber dafür doppelt...
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robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-26
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Hi,
danke für den Hinweis. Ist nun korrigiert.
Ich benutze Mathematica zum ersten Mal und frage mich immer mal, was genau ich falsch mache.
Z.B. verstehe ich nicht, wieso mir "Reduce" hier nichts liefert:
\sourceon Mathematica
u2 = -Sqrt[x^2 + z^2]/2 <= x*Cos[e]*Sin[a] - z*Sin[e] <=
Sqrt[x^2 + z^2]/2
Reduce[u2 && -Pi/2 <= a <= Pi/2 && -Pi/2 <= e <= Pi/2, {a, e}, Reals]
\sourceoff
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MontyPythagoras
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Dabei seit: 13.05.2014
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-28
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Hallo robertoprophet,
geht es Dir nur darum, es mit Mathematica zu zeigen, oder geht es darum, es überhaupt zu zeigen? Sind $x$ und $z$ eventuell klein im Verhältnis zu $R$? Wenn man die Gleichung durch $R$ teilt, folgt mit $\xi=\frac xR$ und $\zeta=\frac zR$:
$$2\sqrt{1+\xi^2+\zeta^2+2(\xi\cos(e_1)\sin(a_1)-\zeta\sin(e_1))}-2(\xi^2+\zeta^2+\xi\cos(e_1)\sin(a_1)-\zeta\sin(e_1))-\sqrt{1+\xi^2+\zeta^2+2(\xi\cos(e_2)\sin(a_2)-\zeta\sin(e_2))}+(\xi^2+\zeta^2+\xi\cos(e_2)\sin(a_2)-\zeta\sin(e_2))-1\ge -(\xi^2+\zeta^2)$$Mit
$$f(y)=\sqrt{1+y}-y$$kann man das schreiben als:
$$2f(\xi^2+\zeta^2+2(\xi\cos(e_1)\sin(a_1)-\zeta\sin(e_1)))-f(\xi^2+\zeta^2+2(\xi\cos(e_2)\sin(a_2)-\zeta\sin(e_2)))-f(0)\ge -(\xi^2+\zeta^2)$$Das wäre z.B. aufgrund der strengen Monotonie von $f(y)$ für $y > -\frac34$ auf jeden Fall gegeben, falls
$$\xi^2+\zeta^2+2(\xi\cos(e_1)\sin(a_1)-\zeta\sin(e_1)) < \xi^2+\zeta^2+2(\xi\cos(e_2)\sin(a_2)-\zeta\sin(e_2)) < 0$$gilt. Ganz allgemein wird es wohl nicht gelten, wie Du schon sagtest, aber besondere Fälle könnte man vielleicht schon zeigen. Da bräuchte es ein wenig mehr Background.
Ciao,
Thomas
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ThomasRichard
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Dabei seit: 08.04.2010
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Wohnort: Aachen
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-29
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Moin,
hier ein Gegenbeispiel (Maple-Code, aber das sollte hierfür ja egal sein):
\sourceon Maple
eval(ungl,[R=1,x=-1,z=-1,a__1=-Pi/4,e__1=Pi/4,a__2=0,e__2=Pi/4]);
(1/2) (1/2)
(1/2) / (1/2)\ / (1/2)\ 1 (1/2)
2 + 2 <= 2 \4 + 2 / - \3 + 2 / + - 2
2
evalf(%);
3.414213562 <= 3.259796331
\sourceoff
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robertoprophet
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-29
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Hallo,
es geht mir darum sie allgemein zu zeigen oder besser gesagt, die entsprechenden Bedingungen zu identifizieren.
Deine Terme kommen mir bekannt vor. Mir reicht es (erst mal) auch, den Fall \(\alpha_2=\epsilon_2=0\) zu zeigen. Das ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, für \( <\left(\begin{array}{c}\cos\epsilon_1\sin\alpha_1 \\\cos\epsilon_1\cos\alpha_1 \\-\sin\epsilon_1 \\\end{array}\right),\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)>\le \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2} \) der Fall, oder mit anderen Worten: Wenn die Länge der Orthogonalprojektion des Vektors \(\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)\) auf den Richtungsvektor mit Azimut \(\alpha_1+\pi\) und Elevation \(-\epsilon_1\) höchstens gleich der Hälfte der Länge des Vektors ist. Das ist hier (\(y=0\)) genau dann der Fall, wenn der Richtungsvektor innerhalb des geraden Kreiskegels mit der Spitze im Ursprung, Grundfläche parallel zur x-z-Ebene und Öfnungswinkel 60° liegt (in meinem Koordinatensystem ist Azimut null auf der positiven y-Achse; es ist generell aus bestimmten Gründen etwas unüblich definiert).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
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robertoprophet
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-29
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\quoteon(2022-08-29 09:42 - ThomasRichard in Beitrag No. 4)
Moin,
hier ein Gegenbeispiel (Maple-Code, aber das sollte hierfür ja egal sein):
\sourceon Maple
eval(ungl,[R=1,x=-1,z=-1,a__1=-Pi/4,e__1=Pi/4,a__2=0,e__2=Pi/4]);
(1/2) (1/2)
(1/2) / (1/2)\ / (1/2)\ 1 (1/2)
2 + 2 <= 2 \4 + 2 / - \3 + 2 / + - 2
2
evalf(%);
3.414213562 <= 3.259796331
\sourceoff
\quoteoff
Hi, dass sie nicht allgemein gilt, hatte ich dann selbst schon frühzeitig erkannt (siehe Edit im Eingangspost).
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-29
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Hallo robertoprophet,
\quoteon(2022-08-29 10:14 - robertoprophet in Beitrag No. 5)
Hallo,
es geht mir darum sie allgemein zu zeigen oder besser gesagt, die entsprechenden Bedingungen zu identifizieren.
Deine Terme kommen mir bekannt vor. Mir reicht es (erst mal) auch, den Fall \(\alpha_2=\epsilon_2=0\) zu zeigen. Das ist, wenn ich mich nicht verrechnet habe, für \( <\left(\begin{array}{c}\cos\epsilon_1\sin\alpha_1 \\\cos\epsilon_1\cos\alpha_1 \\-\sin\epsilon_1 \\\end{array}\right),\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)>\le \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2} \) der Fall, oder mit anderen Worten: Wenn die Länge der Orthogonalprojektion des Vektors \(\left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right)\) auf den Richtungsvektor mit Azimut \(\alpha_1+\pi\) und Elevation \(-\epsilon_1\) höchstens gleich der Hälfte der Länge des Vektors ist. Das ist hier (\(y=0\)) genau dann der Fall, wenn der Richtungsvektor innerhalb des geraden Kreiskegels mit der Spitze im Ursprung, Grundfläche parallel zur x-z-Ebene und Öfnungswinkel 60° liegt (in meinem Koordinatensystem ist Azimut null auf der positiven y-Achse; es ist generell aus bestimmten Gründen etwas unüblich definiert).
\quoteoff
Es war wohl gestern Abend schon ein bisschen spät. Jedenfalls habe ich einen Fehler eingebaut mit den ganzen "2"en, wodurch es etwas tückischer wird. Ich hatte schon vermutet, dass x und z (und das fehlende y) vermutlich Koordinaten sind, die innerhalb einer Kugel mit Radius R liegen und bestimmte Eigenschaften haben sollen. Die 2 unter der Wurzel resultiert vermutlich aus einer Quadrierung. Daher wäre meine nächste Frage gewesen, ob man das Problem nicht geometrisch formulieren kann, und das scheint ja der Fall zu sein. Ich werde auch noch einmal ein wenig drüber nachdenken, oder betrachtest Du die Frage schon als gelöst?
Ciao,
Thomas
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robertoprophet
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-29
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Ich danke dir zunächst schon mal für deinen Input.
Ja, die Problemstellung hat einen geometrischen Hintergrund, den ich aber aus gewissen Gründen nicht näher erläutern will.
Mit dem Ergebnis oder besser gesagt der gefundenen Bedingung zur Erfüllung des Spezialfalles bin ich so weit erst mal zufrieden. Aber eigentlich sollte der Thread mehr in Richtung "Was kann Mathematica und was nicht?" gehen.
Am allerliebsten würde ich ja folgende Integrale berechnen können:
\(\int \limits_{z_1}^{z_2}\int \limits_{x_1}^{x_2}f_1dxdz\), \(\int \limits_{z_1}^{z_2}\int \limits_{x_1}^{x_2}f_2dxdz\)
mit
\[f_1(x,z)=\sqrt{R^2+x^2+z^2+2R(x\cos\epsilon_1\sin\alpha_1-z\sin\epsilon_1)}-R-(x\cos\epsilon_1\sin\alpha_1-z\sin\epsilon_1)\]
und
\[f_2(x,z)=\sqrt{R^2+x^2+z^2+2R(x\cos\epsilon_1\sin\alpha_1-z\sin\epsilon_1)}-\sqrt{R^2+x^2+z^2+2R(x\cos\epsilon_2\sin\alpha_2-z\sin\epsilon_2)}+(x\cos\epsilon_2\sin\alpha_2-z\sin\epsilon_2)-(x\cos\epsilon_1\sin\alpha_1-z\sin\epsilon_1)\]
Ich stelle mir vor, dass ich dann Ergebnisse in Abhängigkeit von R und den Winkeln sowie den Integrationsgrenzen erhalte und diese Ergebnisse dann auch miteinander vergleichen kann.
Es reicht natürlich die erste Funktion auszurechnen, denn die zweite ist nichts anderes als die Differenz von zwei f1-en mit unterschiedlichen Winkeln. Aber "Integrate" liefert mir da nichts, auch kein unbestimmtes Integral.
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3417
Wohnort: Werne
| Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-29
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Hallo robertoprophet,
jetzt bin ich ein bisschen verwirrt.
Mit Mathematica kann ich Dir leider nicht helfen, da habe ich nur rudimentäre Kenntnisse.
Aber das Integral
$$\int\int\sqrt{R^2+x^2+z^2+2R(x\cos\epsilon_1\sin\alpha_1-z\sin\epsilon_1)}\;\mathrm dx\mathrm dz$$ist doch elementar berechenbar (und der Rest von $f_1$ sowieso), wenn auch ein wenig unübersichtlich. Oder übersehe ich da was?
Ciao,
Thomas
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robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2061
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-29
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Ja klar, ist es auch, aber der Term wird leider riesig. Ich hatte gehofft, dass das mit Mathematica irgendwie relativ leicht handhabbar geht - insbesondere der Vergleich der beiden bestimmten Integrale.
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