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 Dispersionsrelation |
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Kiwi98
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 23.10.2019
Mitteilungen: 44
 |  Themenstart: 2022-08-26
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Hallo zusammen,
ich wiederhole gerade nochmal einige Kapitel aus dem Gross und Marx zur Festkörperphysik und mir ist eine kleine (hoffe ich) Verständnislücke aufgefallen.
Es geht wie im Titel schon angedeutet um Dispersionsrelationen und meine Frage dazu:
Warum sind die so ein großes Ding?
Ich verstehe einfach nicht warum Dispersionsrelationen so häufig auftreten. Im Bändermodel, bei Gitterschwingungen (Phononen), Lichtausbreitung (im Medium),...
Dadurch das sie so häufig auftreten aber ich mit Ihnen nichts anfangen kann denke ich dass ich das Konzept dahinter noch nicht richtig begriffen habe.
Ich weiß, dass Dispersionsrelationen den Zusammenhang zwischen Energie einer Schwingung und ihrer Frequenz herstellen und dadurch, dass natürlich nicht alle Schwingungen identisch sind, Situationsspezifisch sind.
Aber was zum Beispiel soll ich jetzt genau mit einer Dispersionsrelation wie in hier anfangen?
Freue mich auf eure Antworten
Grüße
Kiwi
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Kiwi98
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 23.10.2019
Mitteilungen: 44
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-27
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Niemand eine hilfreiche Interpretation parat?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Skalhoef
Aktiv 
Dabei seit: 29.01.2017
Mitteilungen: 269
Wohnort: Uppsala (Schweden)
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-05-04 09:47
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Hej Kiwi,
die Dispersionsrelationen sind diejenigen Abbildungen
$$
\operatorname{Q} \ni \mathbf{q} \longmapsto \omega_{l} ( \mathbf{q} ) \in \mathbb{R}
$$
die man beim Diagonalisieren der dynamischen Matrix (im Rahmen der adiabatischen und Born-Oppenheimer-Näherungen) bei Born-von-Karman-Randbedinungen erhält. (Und $\operatorname{Q}$ bezeichnet die erlaubten Wellenvektoren innerhalb der ersten BZ.)
Wenn man sich die Herleitung dieser Objekte ansieht, dann erkennt man, dass man zu jedem Paar $(\mathbf{q}, l)$ einen harmonischen Oszillator assoziiert, wobei $l$ den "Branch-Index" angibt (der wiederum zum Kristall (=Gitter + Basis) korrespondiert). Diese Dispersionsrelationen für Phononen sind also ein Fingerabdruck davon wie die Ionen im Festkörper schwingen, bzw. (je nach dem welche Interpretation in welchem Buch man liest) welche Energien die phononischen Quasiteilchen annehmen können.
Mit diesen Dispersionsrelationen, und ein bisschen statistischer Physik, kann man dann u.A.
- die spezifische Wärmekapazität (hervorgerufen durch das phononische System; Es gibt auch eine für das elektronische System) errechnen. Eine Standard-Rechnung in jeder Einführung in Festkörperphysik ist es, das Dulong-Petit-Gesetz für hohe Temperaturen nachzurechnen und das (für ein paar Materialien) experimentell bestätigte Verhalten $c_V \propto T^3$ für tiefe Temperaturen nachzurechnen.
- Das Temperaturverhalten des spezifischen elektrischen Widerstands begründen (= proportional zu T für hohe Temperaturen, "proportional" (bis auf eine Konstante) zu T^5 für mittelhohe Temperaturen und konstant für tiefe Temperaturen) indem man sich die Temperaturabhängige Besetzungszahl des phononischen Systems anguckt,
- Raman-Spektroskopie erklären,
- verschiedene Observablen für Phonon-Elektron-Mischsysteme errechnen
- etc. etc.
Diese Dispersionsrelationen (für Phononen) und Bandstrukturen (für Elektronen) sind besonders in der theoretischen Festkörperphysik deshalb wichtig, weil es effektive ein-Teilchen-Modelle sind. Wenn man dann kompliziertere Systeme beschreiben möchte läuft das (im Prinzip genauso wie in einführenden Vorlesungen zur Quantenmechanik) immer so, dass man mit einem einfachen Modell startet (was man exakt lösen kann; in FK ist das dann immer entweder extrem simplifiziert analytisch, oder numerisch) und dann Wechselwirkungen (etwa Coulomb-wechselwirkungen) als "Störung" oben drauf packt... Die Dispersionsrelationen bzw. Bandstrukturen gelten als "einfach" was man lösen kann, Coulomb-Wechselwirkungen und Elektron-Phonon-Wechselwirkungen sind "komplizierte Störungen obendrauf".
Je nach dem wie wissbegierig du bist, kann man noch ein bisschen ausführen, aber der Foreneintrag ist ja schon so alt, deshalb lass' ich es erstmal so stehen...
Med vänliga hälsningar
Sebastian
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