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| Autor |
 Durchschnitt und Summe zweier Untervektorräume |
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Volker
Junior 
Dabei seit: 19.08.2001
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Wohnort: Lübeck
 |  Themenstart: 2001-08-19
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Gegeben habe ich Erzeugendensysteme zweier Untervektorräume. Dank Matroid kann ich jetzt ganz leicht die Dimension und die Basis dieser Untervektorräume errechnen. Ich soll jetzt folgende Aufgabe lösen: "Berechne Dimension und Basis zur Summe von U1 und U2 und zum Durchschnitt von U1 und U2". Wie krieg ich das hin?
Danke,
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matroid
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2001-08-19
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Hallo Volker,
du bist der, der auf mathe-treff die Frage gestellt hat. Willkommen auf dem Matheplaneten.
Seien W und W' Untervektorräume eines K-Vektorraums V.
Die Summe W+W' ist:
- der kleinste Untervektorraum von V, der W und W' enthält
- { veV | es ex. weW und w'eW', so daß v=w+w' }
Es gilt die Dimensionsformel:
dim(W+W') = dim W + dim W' - dim(WÇW')
Wenn (WÇW' = {0} (der Nullvektorraum),
dann ist die Formel besonders einfach.
Wenn nun Basen (Erzeugendensysteme) von W und W' gegeben sind, dan berechnet man die Dimension der Summe W+W' indem man den Rang der Matrix aus den Basisvektoren (allen!) bestimmt.
Gruß
Matroid
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Volker
Junior
Dabei seit: 19.08.2001
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2001-08-19
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cool - das mit der summe ist also ziemlich einfach. wie sieht's mit dem Durchschnitt aus? ich weiss das (nach deinem beispiel) gelten würde:
- { veV | veW und veW' }
(stimmt das überhaupt - glaube ja)...
wenn man also bei der Summe Dimension und Basis aus allen Vektoren der zwei Erzeugendensysteme für W und W' über Gauss-Algorithmus durch Bestimmung des Rangs usw. ganz leicht bilden kann, wie funktioniert das dann beim Durchschnitt?
ich muss die beiden Erzeugendensysteme doch irgendwie kombinieren?
Toll, dass Du Dir die Mühe machst und mir ein wenig hilfst. Wenn Du nichts dagegen hast - ich habe in der nächsten Zeit ungefähr noch tausende  Fragen.
Gruss
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matroid
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|  Beitrag No.3, eingetragen 2001-08-19
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Die Dimension des Durchschnitts würde ich über die Dimensionsformel ausrechnen.
Also dim(W+W')-dim(W)-dim(W')=dim(W Ç W')
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Volker
Junior
Dabei seit: 19.08.2001
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2001-08-21
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und die basis? danke 
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matroid
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2001-08-21
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Wenn Du Basen von W und W' hast, also wi (i=1,...k) und w'i (i=1...k'), dann kannst Du die Basis von W zu einer Basis von W+W' erweitern, indem Du schrittweise die Elemente aus der Basis von W' hinzunimmst, die das ganze linear unabhängig lassen.
Alle Basen haben nämlich die gleiche Anzahl Elemente und nach dem Basisergänzungssatz kann man jede beliebige Menge von linear unabhängigen Vektoren zu einer Basis erweitern.
Das ist dann ein systematisches Probierverfahren. Nicht sehr praktisch.
Mit Gauss-Verfahren kannst Du aber auch die Matrix mit allen Basisvektoren in den Zeilen vereinfachen (durch Zeilentransformationen). Wenn eine obere Dreiecksmatrix erreicht ist, bilden die Zeilenvektoren mir Diagonalelement ungleich 0 eine Basis.
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